2.2 Розрахунок структури змінних електромагнітних полів у хвилеводі

Загальне завдання

Для заданого типу хвилі з початковою амплітудою поля кВ/см, що поширюється в прямокутному хвилеводі перерізом, одержати аналітичні вирази поздовжніх і поперечних компонент полів у комплексній формі запису і для миттєвих значень. Для числових параметрів завдання побудувати епюри полів по осях,,, а також картину розподілів полів у площинахі. Розрахувати задані характеристики полів і побудувати їх залежності від частоти.

Дані завдання

Хвиля ,мм;мм;. Розрахувати фазову й групову швидкості.

Розв’язання

Ескіз досліджуваного хвилеводу в масштабі 1:1 наведений на рисунку 2.3.

Рисунок 2.3

Для заданого типу хвилі виконується така умова [Error: Reference source not found]:

, ,,

Відповідно до цього хвильове рівняння для поздовжніх компонент поля буде мати вигляд [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found]:

, (36)

де – хвильове число;

– довжина хвилі в необмеженому просторі;

– кругова частота;

і– відповідно абсолютні електрична й магнітна проникності.

Спростимо рівняння (36) шляхом підстановки розв’язку вигляду [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found]:

, (37)

де – поздовжній коефіцієнт поширення у хвилеводі;

– довжина хвилі у хвилеводі.

Скорочуючи на множник , маємо

. (38)

Для розв’язання рівняння (38) скористаємося методом поділу змінних [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found; Error: Reference source not found]. Із цією метою позначимо, що

, (39)

і підставимо в (38):

. (40)

Розділимо (40) на і одержимо

.

Сума двох незалежних функцій у лівій частині рівняння може дорівнювати постійному числу лише в тому випадку, якщо кожна із цих функцій є стале число. Переходячи від часткових похідних до звичайних, маємо:

,. (41)

У наведеному вище виразі через іпозначені сталі поділу (поперечні хвильові числа, незважаючи на те, що у поперечному напрямку поширення хвиль не відбувається), що задовольняють рівності:

. (42)

Подвійний запис означає, що, виходячи зі зручності, можна вибрати кожну із функцій, поки сталі інтегрування тане визначені.

Виходячи зі співвідношення (39), маємо вираз для амплітуди (хвильовий множник опускається) поздовжньої складової електричного поля

, (43)

де – початкова комплексна амплітуда;

,– сталі інтегрування.

Для знаходження поперечних компонент поля скористаємося рівняннями Максвелла в проекціях на осі координат за умови [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found]. Операцію знаходження компонент полів та сталих інтегрування для заданих параметрів хвилі студент проводить повністю і самостійно з подальшим відображенням результатів у звіті до курсової роботи.

(44)

Оскільки характер зміни полів по осі задається виразом (37), то у (44) візьмемо, що. Розглядаючи потім перше й п'яте рівняння як систему дляй, а друге і четверте –і, і вирішуючи ці системи рівнянь (студент наводить дане розв’язання повністю), одержуємо такі вирази для поперечних складових полів через поздовжні:

(45)

Підставляючи в (45) значення , одержуємо вираз для поперечних складових поля (студент операцію підстановки проводить повністю):

(46)

Відповідно до граничних умов на стінках хвилеводу прий[Error: Reference source not found] одержуємо і, деБеручи, щотакож на широких стінках хвилеводу, одержуємой, де n = 0, 1, 2, … (процедуру визначення сталих інтегрування студент описує докладно).

Остаточні вирази для складових поля після підстановки сталих набирають вигляду:

(47)

де – еквівалентний опір хвилеводу для Е-хвилі [Error: Reference source not found];

– хвильовий опір необмеженого середовища;

– критична частота.

Аналітичні вирази для складового поля хвилі одержуємо з (47) при:

(48)

Для відновлення дійсних значень необхідно компоненти полів домножити на опущений раніше хвильовий множник , перейти за формулою Ейлера[Error: Reference source not found] до тригонометричної форми запису й взяти дійсну частину отриманого виразу. Продемонструємо цю операцію на прикладі компоненти:

(49)

Фазова швидкість визначається з (9), а групова в загальному випадку визначається таким співвідношенням [Error: Reference source not found]:

(50)

де – швидкості електромагнітної хвилі в необмеженому середовищі з параметрамийвідповідними параметрами діелектричного заповнення хвилеводу (у нашому випадку).

Вхідні в (49) значення ,ідорівнюють:

,Ом,.

Їх числові значення при мм,мм,мм,,м/с,м/с.

Для співвідношень (49), (50) складаємо блок-схему і програму розрахунку залежностей компонент поля від координат хвилеводу і значень івід. Програма для розрахунку епюр електромагнітних полів і шуканих характеристик наведена в додатку Е. Результати розрахунків зводимо в таблиці для побудови графіків або будуємо їх машинним методом. На рисунку 2.4 зображені епюри розподілу електричного й магнітного полів хвилі.

Рисунок 2.4

Із цих графіків бачимо, що кількість напівперіодів поля, що вкладаються відповідно вздовж широкої і вузької стінок хвилеводу, відповідає індексам заданого типу хвилі. Вздовж осінаявна біжуча хвиля. Розрахункові залежності фазової і групової швидкостей від частоти подані на рисунку 2.5. Із графіків бачимо, що фазова швидкість перевищує швидкість світла у вакуумі, а групова швидкість не може бути більшою швидкості світла.

Рисунок 2.5