2 Квантові переходи. Форма і ширина спектральній лінії

2.1 Основні питання теми

• Енергетичний спектр квантової системи.

• Спонтанні переходи і їх властивості.

• Вимушені переходи і їх властивостей.

• Безвипромінювальні переходи.

• Коефіцієнти Ейнштейна. Зв'язок між ними.

• Ймовірність квантових переходів. Дозволені і заборонені переходи.

• Розширення спектральних ліній (розподіл).

• Однорідне розширення спектральних ліній.

• Неоднорідне розширення спектральних ліній.

2.2 Основні формули теми

Вірогідність спонтанного переходу в одиницю часу

. (2.1)

Коефіцієнт Ейнштейна для спонтанного випромінювання

(2.2)

де - матричний елемент дипольного моменту.

Вірогідність вимушеного переходу в одиницю часу

(2.3)

де - спектральна щільність енергії електромагнітного поля.

Коефіцієнт Ейнштейна для вимушеного випромінювання

(2.4)

де - кратність звироднілості енергетичних рівнів.

Коефіцієнти Ейнштейна для спонтанного і вимушеного випромінювань зв'язані між собою співвідношенням

(2.5)

Середній час життя:

- щодо спонтанного переходу

; (2.6)

- щодо вимушеного переходу

. (2.7)

Добротність спектральної лінії випромінювання

(2.8)

де - ширина спектральної лінії.

Ширина спектральної лінії при природному розширенні

. (2.9)

Функція Лоренца

. (2.10)

Функція Гауса

. (2.11)

Ширина спектральної лінії при розширенні на ефекті Доплера

(2.12)

де Т - абсолютна температура, М - маса частинки.

2.3 Приклади розв’язання задач

Завдання № 1

Довжина випромінюваної хвилі рівна 10,6 мкм. Обчислити різницю енергій рівнів, між якими спостерігається цей перехід. Вказати частоту відповідного випромінювання.

Рішення.

Частота випромінювання

.

Різниця енергії між рівнями

,

(Гц),

(Дж).

Завдання №2

Довжина хвилі, що випромінюється гелій, - неоновим лазером, мкм, довжина хвилі, що випромінюється лазером на пучку атомів водню, см.

Визначити, в скільки разів вірогідність спонтанного переходу для He-Ne -лазера більше, ніж для лазера на атомах водню.

Рішення.

Вірогідність спонтанного переходу між рівнями n і m рівна .

Використовуємо зв'язок довжини хвилі з частотою . Вірогідність спонтанного переходу, виражена через довжину хвилі, має вигляд .

Відношення вірогідності спонтанного переходу для He-Ne -лазера і для водневого лазера дорівнює

.

Тоді

.

Завдання №3

Знайти ширину лінії Лоренца.

Рішення.

Скористаємося співвідношенням, що описує лінію Лоренца:

.

Згідно визначенню ширина лінії - це інтервал частот , на краях якого інтенсивність лінії зменшується удвічі в порівнянні з максимальним значенням.

Максимальна інтенсивність лінії Лоренца буде в точці і рівна .

Точки, в яких інтенсивність лінії падає удвічі, визначаються з рівності:

Відстань між цими крапками по частоті рівна ширині лінії Лоренца

де  - ширина лінії на рівні 0,5 від максимуму.

Задача№4

Визначити, в скільки разів відрізняється доплеровська розширена лінія у атома неону і молекули СО₂ при Т=400 К.

Рішення.

Ширина спектральної лінії, обумовлена ефектом Доплера

.

Доплеровські розширені лінії атома Ne і молекули СО₂

Відношення ширини лінії атома Ne до ширини лінії молекули СО₂

.