4.3 Приклади розв’язання задач

Завдання №1

Оцінити число можливих мод в оптичному резонаторі з наступними параметрами: радіус освітленої плями на поверхні дзеркала а=1 см, довжина резонатора L= 1 м, λ =488 нм, =3,5 ГГц.

Рішення.

Число мод оптичного резонатора

Оскільки і , то число мод

(мод).

Завдання №2

Резонатор утворений увігнутим сферичним дзеркалом з радіусом R1=1,5 м і опуклим сферичним дзеркалом з радіусом R2=1 м. Якою повинна бути відстань між дзеркалами, щоб резонатор залишався стійким?

Рішення.

Умова стійкості оптичних резонаторів 0g₁g₂1 або . Використовуємо ліву частину нерівності. Ця нерівність виконується, якщо обидва співмножники більше нуля, тобто якщо і .

З першої нерівності виходить

,

R₁  L,

1,5 М  l.

Друга нерівність очевидна.

Використовуємо праву частину нерівності .

Перетворимо його

Оскільки L>0, тоR₁-R₂L. Підставивши в отриману нерівність значення R1 і R2, отримаємо

L1,5-1=0,5 (м).

Тоді

.

Завдання №3

Розрахувати на скільки частота моди ТЕМ₀₁ відстає від частоти моди ТЕМ₀₀ в конфокальному резонаторі, в якому дзеркала квадратного перетину мають радіуси кривизни R1=2 м, R2=2 м і знаходяться на відстані L=2 м.

Рішення.

Зрушення частот двох сусідніх типів коливань в конфокальному резонаторі з квадратним перетином дзеркал визначається співвідношенням

.

Тоді

.

Завдання № 4

Обчислити добротність оптичного резонатора, довжина якого L=1 м, λ₀=1,15 мкм, коефіцієнт віддзеркалення дзеркал r=0,9.

Рішення.

Добротність відкритого резонатора

.

4.4 Завдання для самостійного вирішення

1 Обчислити різницю частот між двома сусідніми подовжніми модами відкритого плоского резонатора, довжина якого L=1м.

2 Обчислити різницю частот між двома сусідніми подовжніми модами конфокального відкритого резонатора, довжина якого L=1м.

3 Резонатор складається з двох плоских дзеркал. Який може бути довжина цього резонатора, щоб він був стійкий?

4 Сферичний резонатор складається з двох дзеркал з радіусами R1=0,85м і R2=0,15 м. Який може бути максимальна довжина цього резонатора, щоб він був стійким?

5 Обчислити добротність оптичного резонатора, довжина якого L=1м, λ₀=1,15мкм, коефіцієнти віддзеркалення дзеркал r₁ =0,9, r₂ =1.

6 Побудувати графік залежності дифракційних втрат від числа Френеля для мод відкритого плоськопараллельного резонатора, що характеризуються індексами m і n, які задані таблицею 4.1, при довжині резонатора L=100 см, аппертурном розмірі дзеркала від 0,4 до 0,9 см, λ=1,5 мкм.

Для визначення втрат можна використовувати аналітичне співвідношення, отримане Л.А.Вайнштейном:

де _n(m+1) – (m+1)-й корінь функції Бесселя першого роду n-го порядку. Значення коефіцієнтів при числі Френеля N_F-3/2 для індексів m і n, які необхідно використовувати в рішенні задачі, приведені в таблиці 4.1.

Таблиця 4.1

5,2310^-2^2n(m+1)
m	n=1	n=2	n=3
1	2,57	3,7	4,98

7 Визначити і порівняти між собою дифракційні втрати типів коливань ТЕМ₀₀ (основний тип) і ТЕМ₀₁, ТЕМ₀₂, ТЕМ₀₃ для резонатора з плоскими дзеркалами круглої форми. Довжина резонатора L=80см, довжина хвилі випромінювання λ=1,15мкм, аппертурний розмір дзеркала а=0,5см. Для визначення втрат використовувати співвідношення, приведене в завданні 3.9. Значення коефіцієнтів при числі Френеля N_F для індексів m = 0 і n= 0, 1, 2, 3 приведені в таблиці 4.2.

Таблиця 4.2

5,2310^-2^2n(m+1)
m	N=0	N=1	n=2	n=3
0	0,3	0,767	1,38	2,13

8 Дзеркала резонатора мають коефіцієнти віддзеркалення r1=1 і r2=0,9 і нанесені прямо на торці стрижня активної речовини довжиною L=10 см. Визначити коефіцієнт квантового посилення активного середовища, необхідного для виникнення генерації в лазері. При розрахунку не враховувати втрати.

9 У Не -Ne - лазері, що працює на довжині хвилі λ=0,6328 мкм, використовується плоский резонатор довжиною L=1 м. Знайти, скільки різних по частоті мод лежить в межах ширини лінії Ne, рівної .

10 У Не -Ne - лазері, що працює на довжині хвилі λ=0,6328 мкм, використовується конфокальний резонатор довжиною L=1 м. Знайти, скільки різних по частоті подовжніх мод лежить в межах ширини лінії = 1,7 ГГц.

11 Розрахувати на скільки частота моди ТЕМ₀₁ відстає від частоти моди ТЕМ₀₀ в конфокальному резонаторі, в якому дзеркала круглого перетину мають радіуси кривизни R1=2м, R2=2м і знаходяться на відстані L=2м.

12 Розрахувати, на скільки частота моди ТЕМ01 отстоїт від частоти моди ТЕМ00 в резонаторі з плоскими дзеркалами круглого перетину (радіус дзеркал а =1 м), розташованими на відстані L = 0,8 м.

13 Оцінити число можливих типів коливань, а також ширину частотного інтервалу що доводиться на один тип коливань в діапазоні доплеровські розширеної спектральної лінії аргонового лазера (λ=0,45 мкм), при кімнатній температурі =300 МГц в звичайному резонаторі у формі куба з ребром L=1 см. Добротність резонатора Q=10⁶.

14 Визначити добротність резонатора якщо ширина лінії випромінювання аргонового лазера (λ=0,45 мкм) що працює в одномодовому режимі рівна =300 МГц.

15 Визначити добротність плоского резонатора завдовжки 1м одне з дзеркал якого має коефіцієнт віддзеркалення r = 1 якщо генерація випромінювання на довжині хвилі λ=1,06мкм починається при значенні коефіцієнта посилення a=0,008 см^-1. Втратами в активному елементі нехтувати.