Варіант 1

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Варіант 2

1. ;

2. ;

3. 

4. 

5. ;

6. .

Варіант 3

1. ;

2. ;

3. 

4. 

5. 

6. 

Варіант 4

1. ;

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Варіант 5

1. 

2. 

3. 

4. ;

5. 

6. 

Варіант 6

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Практична робота №8

Тема: Визначений інтеграл. Методи його інтегрування.

Мета: Відпрацювання вмінь та навичок знаходження визначених інтегралів.

Завдання: Виконати завдання згідно вашому варіанту. Оформити роботу. Відповісти на контрольні запитання.

Зміст звіту: 1. Тема роботи. 2. Мета роботи. 3. Завдання до роботи. 4. Порядок виконання завдань. 5. Підсумки виконання роботи.

Теоретичні відомості

Основні властивості визначеного інтегралу:

1. ,де с – число

2.

Властивість2 справедливо для будь-якого кінцевого числа доданків.

3.

4. ,де a<c<b

Властивість 4 дозволяє розбивати відрізок інтегрування на частини. Властивість застосовують при обчисленні площ фігур. Визначений інтеграл застосовують для вирішення геометричних і фізичних задач . Наприклад, обчислення площ фігур, об'ємів тіл обертання, роботи змінної сили, відстані при прямолінійній переміщенні, довжини дуги плоскої кривої, об’єму тіл, площі поверхні обертання, статичних моментів і координат центра ваги плоскої кривої та багато інших прикладних завдань.

Для обчислення визначеного інтеграла від функції f ( x ) на відрізкузастосовують формулу Ньютона - Лейбніца:

Для обчислення визначеного інтеграла треба спочатку знайти відповідний йому невизначений інтеграл, а потім обчислити різницю первісних від верхньої та нижньої границь інтегрування.

Формулу Ньютона-Лейбниця також записують у вигляді

Приклади знаходження визначених інтегралів.

Приклад 1. Обчислити: .

.

Приклад 2. Обчислити: .

Знайдемо одну з первісних для функції

,

Тоді за формулою Ньютона-Лейбниця

Розв’язання записуємо у вигляді

Приклад 3. Розв’язання:

Приклад 4. Розв’язання:

Обчислити

Приклад 5. Розв’язання:

Проведемо заміну змінної

 , Нові границі інтегрування

Примітка: У розглянутому інтегралі - якраз той випадок, коли доречно застосувати властивість певного інтеграла .

Приклад 6. Розв’язання:

Заміна  Нові границі інтегрування:

Приклад 7. Розв’язання:

інтегруємо частинами

 

Приклад 8. Обчисліть: .

Приклад 9. Обчисліть:.

Завдання для самостійного виконання

Варіант 1

1. 

2. 

3. 

4. 

Варіант 2

1. 

2. 

3. 

4. 

Варіант 3

1. 

2. 

3. 

Варіант 4

1. 

2. 

3. 

4. 

Варіант 5

1. 

2. 

3. 

4. 

Варіант 6

1. 

2. 

3. 

4. 

Контрольні питання

1. Поняття визначеного інтегралу.

2. Властивості визначеного інтегралу.

3. Формула Ньютона-Лейбниця для знаходження інтеграла.

4. Фізичний та геометричний зміст визначеного інтеграла.

Задания для самостоятельной работы

Задания	Ответы
1.	256
2.
3.
4.
5.
6.

Для вычисления определённого интеграла методом подстановки (замены переменной) полезно находить пределы интегрирования для новой переменной. Приведём примеры.

Пример 2.4. Вычислить

Пусть , тогда

Вычислим пределы интегрирования для новой переменной t.

Если , то верхний предел интегрирования для новой переменной

Если , то нижний предел

Решение записывают в виде:

Пример 2.5. Вычислить