Задания для самостоятельного решения

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:	Ответы
1.	ед^2
2.	21 ед^2
3.	ед^2
4.	18 ед^2
5.	ед^2
6.	104 ед^2
7.	ед^2
8.	ед^2
9.	ед^2
10.	ед^2
11.	ед^2
12.	ед^2
13.	ед^2
14.	4,25 ед^2
15.	ед^2

4. Вычисление объёмов тел вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси абсцисси прямыми, вычисляется по формуле

.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси ординати прямыми, вычисляется по формуле

.

Пример 4.1. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

- ветвь параболы, расположенная выше оси OX, т.к. ;

- прямая, параллельная оси OY;

- ось OX.

Рис. 11.

При вращении криволинейной трапеции (рис.11) вокруг оси ох образуется тело вращения.

Т. к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси ох, то объём тела вращения вычислим по формуле .

По условию , т.е., тогдаПри этом, т.е.

Тогда (ед³.)

Пример 4.2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

- гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных углах;

- прямая, параллельная оси OX;

- прямая, параллельная оси OX;

- ось OY.

Рис. 12.

При вращении криволинейной трапеции (рис.12) вокруг оси оу образуется тело вращения.

Т.к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси оу, то объём тела вращения вычислим по формуле .

По условию , т.е., тогда.

При этом , т.е..

Тогда

(ед³.)

Пример 4.3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

- парабола с вершиной в точке , симметрична относительно осиOY;

- парабола с вершиной в точке , симметрична относительно осиOX.

- прямая, параллельная оси OX;

- ось OY.

Рис. 13.

При вращении криволинейной трапеции (рис.13) вокруг оси OX образуется тело вращения.

По условию фигура вращается вокруг оси OX. Тогда искомый объём равен разности двух объёмов: объёма V_x1, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями и объёмаV_x2, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями Т.о.

Вычислим .

Для V_x1: , при этом. Тогда

(ед³.)

Вычислим .

Для V_x2: ,т. еТогда(ед³.)

Т.о. (ед³.)

Задания для самостоятельной работы

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:	Ответы
1.	9π ед^3
2.	18π ед^3
3.	ед^3
4.	ед^3
5.	ед^3
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:
1.	8π ед^3
2.	30π ед^3
3.	8π ед^3
4.	7,5 ед^3
5.	ед^3