2.8 Кореляційний аналіз сукупності вимірювань

Література: [2], С. 63-65; [4], С. 101-107; [5], С. 226-230.

Питання для самоперевірки

1. Які види залежностей можуть існувати між виміряними величинами?

2. Що називають стохастичною залежністю?

3. Яку залежність називають кореляційною?

4. Назвіть кількісні характеристики лінійної стохастичної залежності.

5. Назвіть властивості коефіцієнта кореляції.

6. За яким критерієм визначають значимість вибіркового коефіцієнта кореляції, якщо n > 50?

Мета роботи: засвоєння основ використання методів кореляційного аналізу для опрацювання результатів геодезичних вимірювань.

Вихідні дані. Видаються викладачем за індивідуальним номером варіанту.

Зміст роботи. За наведеними даними необхідно виконати аналіз сукупності результатів вимірювань, при заданій довірчій вірогідності встановити наявність кореляційної залежності між ними та побудувати рівняння регресії.

Порядок роботи

1. Обчислити вибірковий кореляційний момент , який є однією з характеристик оцінки тісноти зв’язку між величинамиі. Кореляційний момент обчислюють за формулою

де – об’єм вибірки, тобто кількість пар величин і ;

–середнє значення ;

–середнє значення .

Величина залежить від розмірності величині, і в цьому відношенні вона не є зручною. Найбільш ефективним критерієм тісноти зв’язку є вибірковий коефіцієнт кореляції.

2. Обчислити вибірковий коефіцієнт кореляції за формулою

де ,– середні квадратичні відхилення величин і, які в свою чергу обчислюють за формулами:

3. Оцінити значущість коефіцієнту кореляції методом побудови довірчого інтервалу з використанням функції Фішера

яка підпорядковується нормальному закону розподілу. Довірчий інтервал для величини буде таким

де – обчислене значення функції Фішера для відповідного значення ;

–параметр нормального розподілу, який отримують із таблиці інтеграла вірогідності для заданої довірчої вірогідності (див. Додаток Г).

4. Після знаходження довірчого інтервалу для функції , розв’язавши обернену задачу, отримати довірчий інтервал для коефіцієнта кореляції.

5. Зробити висновки щодо існування лінійної кореляційної залежності між величинами і.

6. В разі встановлення лінійної кореляційної залежності між величинами і, побудувати рівняння регресії вигляду

яке описує стохастичну залежність між величинами і.

Приклад. Встановити наявність кореляційної залежності між виміряними довжинами ліній і середніми квадратичними похибками, які отримані при їх вимірюванні (табл. 7) із довірчою вірогідністю. Побудувати рівняння регресіїна.

Знаходимо суми довжин ліній і середніх квадратичних похибок

.

Результати заносимо до табл. 7, колонка 2 і 3 відповідно.

Визначаємо середні значення довжини лінії та середньої квадратичної похибки за формулами

Таблиця 7 – Вихідні дані та результати кореляційного аналізу

№	, км	, мм
1	2	3	4	5	6	7	8
1	1.70	10.6	-0.291	-0.09	0.0847	0.0081	0.0262
2	1.62	10.5	-0.371	-0.19	0.1376	0.0361	0.0705
3	2.38	10.9	0.389	0.21	0.1513	0.0441	0.0817
4	2.64	11.0	0.649	0.31	0.4212	0.0961	0.2012
5	1.53	10.4	-0.461	-0.29	0.2125	0.0841	0.1337
6	3.77	12.1	1.779	1.41	3.1648	1.9881	2.5084
7	1.59	10.4	-0.401	-0.29	0.1608	0.0841	0.1163
8	1.63	10.4	-0.361	-0.29	0.1303	0.0841	0.1047
9	1.92	10.7	-0.071	0.01	0.0050	0.0001	-0.0007
10	1.88	10.7	-0.111	0.01	0.0123	0.0001	-0.0011
11	1.45	10.1	-0.541	-0.59	0.2927	0.3481	0.3192
12	1.78	10.5	-0.211	-0.19	0.0445	0.0361	0.0401
Σ	23.89	128.3			4.8177	2.8092	3.6002

Обчислюємо різниці і , результати заносимо до табл. 7, в колонки 4 і 5 відповідно.

Обчислюємо квадрати різниць і і знаходимо їх суми. Результати заносимо до табл. 7, в колонки 6 і 7 відповідно.

Обчислюємо добутки і знаходимо їх суму. Результати заносимо до табл. 7, колонка 8.

Обчислюємо вибірковий кореляційний момент за формулою (46)

Обчислюємо середні квадратичні відхилення довжини лінії та середньої квадратичної похибкиза формулами (48)

Обчислити вибірковий коефіцієнт кореляції за формулою (47)

За формулою (49) находимо значення функції Фішера для

За довірчою вірогідністю знаходимо в таблиці інтеграла вірогідностей (додаток Г) параметр нормального розподілу. Зіставляємо довірчій інтервал (50) для величини

.

Значення вибіркового коефіцієнта кореляції , які відповідають значенням функції Фішерата, відповідно дорівнюютьта(див. Додаток Г). Звідси довірчий інтервал для коефіцієнта кореляціїбуде таким:

.

Отже, з вірогідністю встановлюємо, що значення коефіцієнта кореляції лежить в межах віддо.

Коефіцієнт кореляції буде значущім, якщо довжина одержаного інтервалу буде менше, ніж значення коефіцієнта кореляції

.

В даному випадку ,

тому з вірогідністю 0.95 можна стверджувати, що між виміряними довжинами ліній і середніми квадратичними похибкамиіснує лінійна кореляційна залежність. в протилежному випадку, тобто коли довжина довірчого інтервалу є більшою від значення вибіркового коефіцієнта кореляції, лінійної кореляційної залежності між випадковими величинамиіне існує.

Так як встановлено, що залежність між виміряними довжинами ліній і середніми квадратичними похибкамизначуща, то може бути побудоване рівняння регресії (51)