2.3 Оцінка точності функцій виміряних величин

Література: [4], С. 48-52, С. 54-60; [5], С. 251-260; [6] С. 31-34.

Питання для самоперевірки

1. На які види діляться вимірювання за точністю, за кількістю, за фізичним виконанням?

2. З якою метою виконують надлишкові вимірювання?

3. Приведіть приклади прямих і непрямих вимірювань в геодезії.

4. Сформулюйте основну теорему теорії похибок.

5. Чим відрізняється запис функції в явному та неявному вигляді?

6. Що називають похідною функції?

Мета роботи: практичне застосування основної теореми теорії похибок для оцінки точності функцій виміряних величин.

Вихідні дані. Видаються викладачем за індивідуальним номером варіанту.

Зміст роботи. При непрямих вимірюваннях значення шуканою величини отримують через безпосередньо виміряні величини. Оскільки значення безпосередньо виміряних величин отримані з похибками, то і значення шуканої величини, як функції від них, також буде отримано з якоюсь похибкою. Тому виникає задача визначення середньої квадратичної похибки функції виміряних величин.

Якщо є функція

аргументи якої – незалежні результати безпосередніх вимірювань величин , виконаних із середніми квадратичними похибками, то середня квадратична похибка даної функції дорівнюватиме

де – часткові похідні функції виміряних величин;

–середні квадратичні похибки виміряних величин.

Необхідно вирішити три задачі на визначення середньої квадратичної похибки функції виміряних величин відповідно до свого варіанту.

Порядок роботи

1. Записати умову задачі в скороченому вигляді.

2. Накреслити пояснювальну схему до розв’язання задачі.

3. Встановити функціональну залежність між шуканою величиною та безпосередньо виміряними величинами.

4. Записати функцію (6) в явному вигляді.

5. Знайти часткові похідні цієї функції за всіма незалежними змінними.

6. Підставити часткові похідні й середні квадратичні похибки в формулу (7).

7. Виконати необхідні математичні перетворення й отримати кінцевий результат.

Приклад. Обчислити прирости координат ,та їх середні квадратичні похибки,, якщо довжина лінії виміряна з середньою квадратичною похибкою = 0.1 м, і становить = 120.0 м, а її дирекційний кут= 60˚00' виміряний з середньою квадратичною похибкою = 1.5' (рис.4)

Рис. 4 – Схема, що пояснює зміст задачі

Виразимо функціонально прирости координат та через лініюта її дирекцій ний кут

;

.

Обчислюємо значення приростів координат та

Користуючись таблицею похідних (додаток Е), знайдемо часткові похідні функцій та за змінними і .

Обчислимо значення часткових похідних ,,і.

Підставляємо значення часткових похідних та середніх квадратичних похибок у вираз (2)

де = 3438' – кількість мінут у радіані.

Ділення на в даному прикладі здійснюється тому, що середні квадратичні похибки,виміряних приростів, виражаються в лінійних одиницях.

Отже прирости координат дорівнюють

2.4 Математичне опрацювання рівноточних вимірювань однієї величини

Література: [4], С. 60-68; [5], С. 260-263, С. 270-27; [6], С. 13-15, С. 16-18, С. 21-23.

Питання для самоперевірки

1. Які вимірювання називають рівноточними?

2. Чому за кінцевий результат вимірювань приймають арифметичну середину?

3. Назвіть властивості простої арифметичної середини.

4. За якою формулою обчислюють середню квадратичну похибку простої арифметичної середини?

5. Яка величина служить оцінкою точності результатів рівноточних вимірювань?

Мета роботи: практичне застосування формул математичного опрацювання рівноточних вимірювань однієї величини; засвоєння методу визначення найбільш надійного або вірогіднішого значення вимірюваної величини та оцінки точності вимірювань.

Вихідні дані. Видаються викладачем за індивідуальним номером варіанту.

Зміст роботи. В результаті повторних рівноточних вимірювань однієї величини X, істинне значення якої є невідомим, отриманий ряд результатів

.

Необхідно обчислити найбільш надійне значення вимірюваної величини X, обчислити середні квадратичні похибки одного вимірювання і простої арифметичної середини результатів вимірювань. Оцінити їх надійність.