- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства
- •Математична обробка геодезичних вимірів|вимірів|
- •Харків хнамг 2012
- •Зміст|вміст|
- •1. Основні відомості про технологію навчання|вчення|
- •1.1. Параметри технології навчання|вчення| і ієрархія її цільових установок
- •1.2. Зміст|вміст| навчального модуля
- •1.3. Мережева|мережна| модель технології навчання
- •1.4. Термінологічна модель змісту|вмісту| навчального матеріалу
- •1.5. Схема технології навчання|вчення| як складова частина структурно-логічної схеми підготовки фахівця
- •1.6. Особливості вивчення навчального матеріалу
- •2. Основні відомості з метрології
- •2.1. Витоки математичного оцінювання геодезичних вимірів.|вимірів| Видатні науковці
- •2.2. Фізичні величини
- •2.3. Вимірювання|виміри| і їх класифікація
- •2.4. Похибки вимірів і їх класифікація
- •2.5. Властивості випадкових похибок
- •Додаткові джерела інформації
- •3. Кількісні критерії оцінювання точності вимірів
- •3.1. Моделі розподілу випадкових похибок вимірів|вимірів|
- •0 «Трикутник розподілу» Сімпсона р -1
- •3.2. Моделі розподілу систематичних похибок вимірів|вимірів|
- •3.3. Кількісні критерії оцінювання точності ряду рівноточних вимірів однієї величини
- •Додаткові джерела інформації
- •4. Оцінка точності функцій безпосередньо виміряних величин
- •4.1. Основна теорема теорії похибок
- •4.2. Застосування|вживання| основної теореми для розрахунку гранично допустимої нев'язки|нев'язки|
- •4.3. Апостеріорна оцінка точності функцій виміряних|виміряти| величин
- •Додаткові джерела інформації
- •5. Математична обробка ряду рівноточних результатів вимірів однієї і тієї ж величини
- •5.1. Проста арифметична середина і її властивості
- •5.2. Формула розрахунку емпіричної середньої квадратичної| похибки
- •5.3. Послідовність математичної обробки ряду|лави| рівноточних| вимірів|вимірів| однієї і тієї ж величини
- •Додаткові джерела інформації
- •6. Нерівноточні виміри
- •6.1. Вага як спеціальна міра відносної точності результатів нерівноточних| вимірів
- •6.2. Вага функцій результатів нерівноточних| вимірів|вимірів|
- •6.3. Загальна|спільна| арифметична середина і її властивості
- •6.4. Формула емпіричної середньої квадратичної| похибки одиниці ваги
- •6.5. Послідовність математичної обробки ряду нерівноточних|лави| | вимірів|вимірів| однієї і тієї ж величини
- •Додаткові джерела інформації
- •7. Подвійні виміри|виміри|
- •7.1. Загальні|спільні| положення
- •7.2. Оцінка точності за різницями подвійних рівноточних| вимірів|вимірів|
- •7.3. Оцінка точності за різницями подвійних нерівноточних| вимірів
- •Додаткові джерела інформації
- •Короткі відомості про залежні випадкові величини і залежні похибки
- •8.1. Види залежностей
- •2. Стохастична|самодифузія| залежність
- •3. Відсутність залежності
- •8.2. Кількісні характеристики лінійної стохастичної|самодифузія| залежності
- •8.3. Залежні випадкові похибки в геодезії
- •9. Зрівнювання результатів геодезичних вимірів методами математичної статистики
- •9.1. Сутність задачі зрівнювання результатів вимірів в геодезії
- •9.2. Два підходи до розв’язання задачі зрівнювання геодезичних побудов|шикувань|
- •9.3. Сутність методу найменших квадратів і обґрунтування його використання у зрівнюванні геодезичних побудов|шикувань|
- •10. Параметричний спосіб зрівнювання геодезичних побудов |шикувань|10.1. Постановка задачі. Рівняння поправок
- •10.2. Мінімум Нормальні рівняння
- •10.3. Матричне представлення параметричного методу зрівнювання. Розв'язання нормальних рівнянь
- •10.4. Оцінка точності зрівняних|урівнювати| значень невідомих геодезичних вимірів
- •10.5. Обчислення|підрахунок| емпіричної середньої квадратичної похибки| за поправками, одержаними|одержувати| із|із| зрівнювання.
- •10.6. Середня квадратична похибка виміряних|виміряти| величин після|потім| зрівнювання
- •10.7. Зрівнювання і оцінка точності при нерівноточних| вимірах|вимірах|
- •10.8. Приклади|зразки| складання рівнянь поправок для різних видів геодезичних вимірів|вимірів| і мереж|сітей|
- •11. Корелатний спосіб зрівнювання
- •11.1. Постановка задачі. Умовні рівняння
- •11.2. Знаходження умовного мінімуму методом найменших квадратів. Нормальні рівняння корелат і їх розв’язання
- •11.3. Оцінка точності функцій зрівняних величин
- •11.4. Обчислення середніх квадратичних похибок емпіричних і зрівняних величин поправок
- •11.5. Зрівнювання і оцінка точності нерівноточних вимірів
- •11.6. Застосування метода тріангуляції для зрівнювання виміряних величин, пов’язаних умовами
- •11.6.1 Геодезичний чотирикутник
- •11.6.2 Центральна система
- •11.6.3 Вставлення в жорсткий кут
- •11.6.4 Ланцюг трикутників між двома сторонами, довжини і дирекційні кути яких відомі
- •12. Зрівнювання системи виміряних величин, пов’язаних умовами, з додатковими невідомими
- •Тезаурус
- •Розподіли випадкових величин
- •Похідні функцій
- •Ряд Тейлора
- •Математична обробка геодезичних вимірів |вимірів|
10.4. Оцінка точності зрівняних|урівнювати| значень невідомих геодезичних вимірів
Завершальною процедурою зрівнювання геодезичних вимірів параметричним способом, як це відомо|показний| із попереднього підрозділу, є оцінка точності зрівняних|урівнювати| значень невідомих. Розглянемо|розглядуватимемо| цю процедуру детально. Як і в математичній обробці однієї величини оцінюватимемо точність декількох невідомих, тобто визначимо їх середні квадратичні похибки| . Розв’язання даної задачі має деякі особливості, що полягають в тому, що поправки, ,, …,, – величини залежні. Причому математичному аналізу піддається не одна функція, а декілька.
Оскільки величини , ,…, (див. п.п. 10.1) виміряні|виміряти| незалежно і рівноточно|, їх середні квадратичні похибки| дорівнюють
.
Відповідно будуть рівні і їх ваги , а також середні квадратичні похибки вимірівm і середні квадратичні похибки одиниць ваги μ, .
Звернемося до рівняння (10.18), де елементи матриць Δ і λ є змінними, а елементами зворотної матриці є безперервні функції (10.10), що диференціюються, і відповідно до основної теореми теорії похибок (див. п.п.4.1) характеризуються стандартами даних функцій. Тоді зворотна матриця може бути представлена функціональним визначником матриці Якобі (Якобіаном), елементи якого, є часткові похідні.
Запишемо:
. (10.19)
Підставимо отриману матрицю (10.19), а також матриці Δ і λ у вираз (10.18) і враховуючи властивості операцій над матрицями отримаємо наступне співвідношення:
.
Спрощуючи отриману|одержувати| формулу матимемо:
. (10.20)
Отримана|одержувати| і записана в матричному вигляді формула для розрахунку середньої квадратичної похибки| сукупності поправок за умови рівноточних| вимірів і незалежності поправок , ,, …,.
Для обчислення точності зрівняних значень невідомих у разі їх залежності виконаємо наступні процедури. Враховуючи, що матриця симетрична, замінимо в ній діагональні елементи на вагові коефіцієнти, величини яких дорівнюють зворотним вагам невідомих
Відмітимо, що діагональні елементи формованої матриці Q завжди позитивні. Недіагональні елементи можуть бути як позитивними, так і негативними. Вони є кореляційними моментами, обумовленими залежністю певних невідомих. Наприклад, елементі рівний йому елементслід розглядати як кореляційний момент, обумовлений залежністю величинx і у, тобто .
Позитивне значення свідчить про те, що збільшення або зменшення похибкинеминуче приводить до збільшення або зменшення величини. І, навпаки, негативне значеннясвідчить про те, що збільшеннятягне за собою зменшення, а зменшення– збільшення.
Тоді справедливо записати, що, і . У розгорненому вигляді формула (10.20) набере вигляду
. (10.21)
Звідси витікає, що квадрат середньої квадратичної похибки сукупності невідомих x, у, z,…, t є матрицею, яка отримана множенням квадрата середньої квадратичної похибки m виміряних величин на матрицюQ.
При обчисленні середніх квадратичних похибок невідомих x, у, z,…, t враховуватимемо, що ваги функцій результатів вимірів пов'язані із стандартом і стандартом одиниці ваги співвідношенням (6.8). Тоді справедливо записати наступні співвідношення:
, ,…,. (10.22)
З проведеного аналізу виходить, що хоча величини виміряні рівноточно і незалежно, отримані в результаті зрівнювання значення незалежних величинx, у, z,…, t є нерівноточними і залежними величинами.
Приклад|зразок| 10.1.
Якщо шуканими невідомими є координати x, y пунктів геодезичної мережі, то сукупна похибка положення пункту в даній системі координат відповідно до виразу (10.21) характеризується матрицею:
. (10.23)
Отримана|одержувати| формула дає можливість|спроможність| розрахувати наступні точності| характеристики положення|становища| точки|точки| на площині|площині|:
Середні квадратичні похибки по осях координат і, обчислювані за формулами (10.22). Вони залежать від вибору системи координат (рис. 10.1).
Кругову середню квадратичну похибку|, обчислювану за формулою:
, (10.24)
яка знайшла широке застосування|вживання| в геодезичній практиці, при цьому виходячи з припущення|гадки|, що розсіювання вимірів по осях X і Y має однакову ймовірність.
Рис. 10.1 – Ілюстрація для прикладу|приміром| 10.1
Еліпс похибок, орієнтація і розміри осей якого визначають найбільш вірогідні напрями|направлення| і величину максимальної і мінімальної середньої квадратичної похибки| положення геодезичного пункту.
Для визначення сукупної похибки положення геодезичного пункту скористаємося співвідношенням (10.23) і рис. 10.1, де показано, що поворотом осей навколо точки Р можна підібрати таку систему координат UV, при якій недіагональні елементи матриці Q дорівнюватимуть нулю і даний вираз матиме вигляд:
. (10.25)
Необхідний для такого перетворення кут|ріг| повороту осей обчислюється за формулою:
а елементи на основі рівнянь:
.
Велика і мала піввісь еліпса похибок будуть відповідно дорівнювати:
, . (10.27)
Таким чином, детально розглянута|розглядувати| процедура (див. п.п.10.3 процедура 12) оцінювання точності зрівняних|урівнювати| значень невідомих. На прикладі|зразку| демонструється послідовність обчислення точнісних|підрахунку| |характеристик.