3. Кількісні критерії оцінювання точності вимірів
3.1. Моделі розподілу випадкових похибок вимірів|вимірів|
Вище було показано, що випадкова похибка є|з'являється| наслідком впливу на результат вимірів різних випадкових взаємопов'язаних чинників|факторів|. Її можна інтерпретувати як алгебраїчну суму безлічі елементарних випадкових похибок.
Проаналізуємо процес формування випадкових похибок на прикладі|зразку| вимірювання|виміру| перевищення при геометричному нівелюванні. Для цього розглянемо|розглядуватимемо| випадкові похибки округлення відліку, узятого по рейці із точністю до 1 мм. Задамо інтервал вимірів|вимірів|, і вважатимемо|гадатимемо|, що вимірювання|виміри| виконують в інтервалі від -0,5 до +0,5 (рис.3.1).
Усі
можливі значення похибок округлення
укладаються|вкладаються|
в десять|десятеро|
фіксованих рівно імовірних інтервалів:
1) [- 0,5 – - 0,4]; 2) [- 0,4 – - 0,3]; 3) [- 0,3 – - 0,2]; 4) [- 0,2 – - 0,1];
5) [- 0,1 –| 0]; 6) [0 – 0,1]; 7) [0,1 –| 0,2]; 8) [0,2 – 0,3]; 9) [0,3 – 0,4];
10) [0,4 – 0,5].
Тут квадратними дужками позначені інтервали округлення на осі Δ(u). Ймовірність потрапляння похибок округлення у будь-який з інтервалів, представлених|уявляти| на рис. 3.1, дорівнює 0,1.
Рис. 3.1 – Рівномірний розподіл помилок вимірів
Процес округлення вимірів має дискретний характер|вдача| і тому при оцінюванні точності вимірів у певному випадку можна скористатися відомими з|із| теорії ймовірності властивостями закону рівномірного розподілу випадкових величин (вимірів): функцією ймовірності, функцією розподілу, математичним очікуванням|чеканням|, медіаною та ін.
Відзначимо|помітимо|, що так само будуть розподілені елементарні похибки округлення відліків по горизонтальному і вертикальному кругу теодоліта, відліків по рейці при визначенні відстаней нитковим далекоміром, відліків рахункового механізму планіметра і в інших випадках геодезичної практики.
Відомо, що перевищення дорівнює різниці відліків h = uз – uп. Усі можливі значення похибок округлення Δ(h) обчисленого|обчисляти| перевищення наведені в табл. 3.1.
Таблиця 3.1 – Значення можливих похибок округлення
|
Δ(h) |
-0,5 |
-0,4 |
-0,3 |
-0,2 |
-0,1 |
0 |
+0,1 |
+0,2 |
+0,3 |
+0,4 |
+0,5 |
|
-0,5 |
0 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
-0,4 |
-0,5 |
-0,6 |
-0,7 |
-0,8 |
-0,9 |
-1,0 |
|
-0,4 |
+0,1 |
0 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
-0,4 |
-0,5 |
-0,6 |
-0,7 |
-0,8 |
-0,9 |
|
-0,3 |
+0,2 |
+0,1 |
0 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
-0,4 |
-0,5 |
-0,6 |
-0,7 |
-0,8 |
|
-0,2 |
+0,3 |
+0,2 |
+0,1 |
0 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
-0,4 |
-0,5 |
-0,6 |
-0,7 |
|
-0,1 |
+0,4 |
+0,3 |
+0,2 |
+0,1 |
0 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
-0,4 |
-0,5 |
-0,6 |
|
0 |
+0,5 |
+0,4 |
+0,3 |
+0,2 |
+0,1 |
0 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
-0,4 |
-0,5 |
|
+0,1 |
+0,6 |
+0,5 |
+0,4 |
+0,3 |
+0,2 |
+0,1 |
0 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
-0,4 |
|
+0,2 |
+0,7 |
+0,6 |
+0,5 |
+0,4 |
+0,3 |
+0,2 |
+0,1 |
0 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
|
+0,3 |
+0,8 |
+0,7 |
+0,6 |
+0,5 |
+0,4 |
+0,3 |
+0,2 |
+0,1 |
0 |
-0,1 |
-0,2 |
|
+0,4 |
+0,9 |
+0,8 |
+0,7 |
+0,6 |
+0,5 |
+0,4 |
+0,3 |
+0,2 |
+0,1 |
0 |
-0,1 |
|
+0,5 |
+1,0 |
+0,9 |
+0,8 |
+0,7 |
+0,6 |
+0,5 |
+0,4 |
+0,3 |
+0,2 |
+0,1 |
0 |
Усього можливе 121 значення похибок округлення в межах усього інтервалу вимірів|вимірів| [-0,5 – +0,5], які можна об'єднати в 21 групу рівних значень, враховуючи, що ймовірність округлення вимірів|вимірів| в межах одного інтервалу, наприклад [-0,5 – -0,4] або [+0,5 – +0,4] або [+0,1 – +0,2] вища, ніж ймовірність округлення в інтервалах [-0,5 – -0,3] або [-0,5 – -0,2] або [+0,1 – +0,5] і таке інше. Ймовірність таких округлень розподілена за законом Сімпсона, «трикутник розподілу». Аналітичний вираз|вираження| трикутного розподілу Сімпсона, характеристична функція і його властивості наведені в додатку Б|застосуванні|.
Для наведеного вище прикладу|зразка| випадкових похибок округлення розподіл Сімпсона показаний на рис. 3.2.