Тема 1. Основные понятия теории вероятностей

План темы

1. События и их классификация.

2. Действия над событиями.

3. Определения вероятности события. Свойства вероятности.

3.1. Классическое определение вероятности

3.2. Геометрическое определение вероятности

3.3. Статистическое определение вероятности.

1. События и их классификация

При построении любой математической теории, прежде всего, выделяют простейшие понятия, которые принимаются в качестве исходных. Такими основными понятиями в теории вероятностей являются понятие случайного эксперимента, случайного события, вероятности случайного события.

Случайный эксперимент – это процесс регистрации наблюдения за интересующим нас событием, которое осуществляется при условии заданного стационарного (не изменяющегося во времени) реального комплекса условий , включающего в себя неизбежность влияния большого числа случайных (не поддающихся строгому учету и контролю) факторов.

Эти факторы не позволяют делать полностью достоверные выводы о том, произойдет или не произойдет интересующее нас событие. При этом предполагается, что мы имеем принципиальную возможность (хотя бы мысленно реально осуществимую) многократного повторения нашего эксперимента или наблюдения в рамках того же комплекса условий .

Приведем несколько примеров случайных экспериментов.

1. Случайный эксперимент, состоящий в подбрасывании идеально симметричной монеты, включает в себя такие случайные факторы, как сила, с которой брошена монета, траектория полета монеты, начальная скорость, момент вращения и т.д. Эти случайные факторы не дают возможности точно определить исход каждого отдельного испытания: «при бросании монеты появится герб» или «при бросании монеты появится решка».

2. Завод «Стальканат» производит испытание изготовленных тросов на максимально допустимую нагрузку. Нагрузка изменяется в некоторых пределах от одного эксперимента к другому. Это обусловлено такими случайными факторами, как микро дефекты в материале, из которых изготовлены тросы, различные помехи в работе оборудования, происходящие при производстве тросов, условия хранения, режим проведения экспериментов и т.д.

Каждый из рассматриваемых случайных экспериментов можно многократно повторить в одних и тех же условиях. Наличие большого числа случайных факторов, характеризующих условия проведения каждого такого эксперимента, делает невозможным полностью определенного заключения о том, произойдет или не произойдет интересующее нас событие в отдельном испытании. Отметим, что в теории вероятностей такой задачи не ставится.

Определение. Реализация определенного комплекса условий называется испытанием. Результат испытания называется событием.

Обозначаются случайные события заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C,… или заглавной буквой с индексом: .

Например, сдача экзамена при осуществлении заданного комплекса условий (экзамен письменный, включающий рейтинговую пятибалльную систему оценки, и т.д.) – это испытание для студента, а получение определенной оценки – это событие. В рассматриваемом случае возможны следующие события:

студент получил оценку пять на экзамене;

студент получил оценку четыре на экзамене;

студент получил оценку три на экзамене;

студент получил оценку два на экзамене.