3.2. Геометрическое определение вероятности

Рассмотрим мерное вещественное пространство. Пусть производится испытание, состоящее в бросании наудачу точки на некоторую ограниченную областьпространства. Все точки области«равноправны» в отношении попадания в нее случайно брошенной точки. Требуется определить вероятность события, состоящего в попадании точки на некоторую область.

Геометрическое определение вероятности. Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события, к мере области

.

Точное определение меры множества выходит за пределы курса. Поэтому здесь мы только отметим, что в одномерном случае мера отрезка равна его длине, в двумерном случае мера фигуры равна ее площади, в трехмерном пространстве мера тела равна его объему.

Заметим, что в геометрическом определении вероятность события пропорциональна мере области и не зависит ни от расположения области относительно , ни от формы области .

Задача. После бури между пунктами и, расположенными соответственно на 40-м и 70-м километрах телефонной линии, произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что

обрыв произошел между 50-м и 55-м километрами?

Решение.

Задача о встрече. Два партнера условились встретиться между 17 и 18 часами. Причем каждый является на место встречи в любой момент между 17 и 18 часами, ждет другого в течении 30 минут и уходит, если встреча не состоялась. Найти вероятность того, что назначенная встреча состоится.

Решение. Для решения задачи воспользуемся геометрическим определением вероятности.

у В К С N 0,5 O M D х Рис. 1.

В прямоугольной системе координат возьмем за начало отсчета 17 ч, а за единицу масштаба 1 ч. Пусть первый партнер явился на место встречи в момент , а второй в момент. По условию задачи значения иизменяются в пределах , .

Этим неравенствам удовлетворяют точки области , которая представляет собой квадратсо стороной, равной 1. поэтому

(ед. мас.)²

Событие – встреча двух партнеров состоится, если модуль разности междуине превзойдет 0,5 ч, т.е.

Откуда

.

С геометрической точки зрения, решением последнего неравенства являются точки, лежащие внутри заштрихованной полосы (рис 1), ограниченной прямыми и. Найдем площадь области

Поэтому вероятность встречи двух партнеров определяется по формуле

.

3.3. Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности, лежащее в основе так называемой «классической» теории вероятностей, вплоть до ХIX в. считалось универсальным. Задачи, к которым классическое определение было не применимо, сводились к нему с помощью искусственных приемов.

В настоящее время классическое определение вероятности рассматривают как метод непосредственного подсчета вероятностей для испытаний, сводящихся к схеме случаев, т.е. для испытаний, которые обладают равновозможностью исходов. Однако равновозможность исходов испытания является наиболее трудно достижимым условием в реальной действительности. Если условия симметричности нарушаются (например, монета сплющена, игральная кость имеет смещенный центр тяжести, карты расположены в определенном порядке и т.д.), то определить вероятность, пользуясь классическим определением, невозможно. Кроме того, существует огромный класс событий, которые в принципе нельзя свести к схеме случаев. К таким событиям относятся:

1) обнаружение поломок при контроле за работой оборудования в течение заданного промежутка времени;

2) попадание при выстреле и т.д.

Поэтому более удобным для приложений является статистическое определение вероятности, основанное на свойстве устойчивости относительных частот.

Введем понятие частоты события, которое является очень важным в теории вероятностей. Взяв в качестве основного понятия частоту события, можно построить все здание теории вероятностей. Именно такое построение теории вероятностей в начале ХХ в. было предложено Р. Мизесом (1883-1954). В настоящее время многие авторы предпочитают излагать теорию вероятностей на частотной основе.

Пусть проводятся испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие.

Определение. Число появлений события в независимых испытаниях называется частотой события .

Частота появления события обозначается буквой .

Определение. Относительной частотой или частостью события называется отношение частотык числу проведенных испытаний

.

Пример. При бросании монеты 10 раз герб появился 3 раза. Найти частоту и относительную частоту появления герба.

Решение.

Если с той же монетой провести новую серию, состоящую из 100 испытаний, то при появлении герба 53 раза относительная частота

.

При небольшом числе испытаний относительная частота носит случайный характер. Однако при большомчастостьтеряет свой случайный характер изменения, стабилизируясь с незначительными отклонениями около некоторой постоянной величины. В этом состоит свойствоустойчивости частот.

Проводя испытания с бросанием монеты, французский естествоиспытатель Бюффон и английский биолог Пирсон получили следующие результаты.

Число бросаний	Число появлений герба	Относительная частота	Экспериментатор
4040	2048	0,5069	Бюффон
12000	6019	0,5016	Пирсон
24000	12012	0,5005	Пирсон

Из приведенных примеров следует, что относительные частоты

.

при увеличении числа проведенных экспериментов приближаются к числу, которое, согласно классическому определению, является вероятностью появления герба.

В общем случае, если проводить серии, состоящие из большого количества независимых испытаний, и в каждой серии отмечать число проведенных испытанийи соответствующие частотынаступления события, то мы увидим, что относительные частоты при возрастаниибудут приближаться к некоторому числу. Это число принимается в качестве статистической вероятности события.

Отметим, что приближение последовательности относительных частот событияA к вероятности этого события при увеличении числа проведенных экспериментов отличается от «стремления к пределу» в математическом смысле.

Напомним, что с математической точки зрения, последовательность стремиться к числу, если для любого существует такой номер , что при всехвыполняется неравенство.

Для последовательности частостей и вероятности события такого числа указать невозможно. На практике относительная частота события может значительно отклониться от его вероятности, однако при увеличении числа испытаний такие отклонения становятся все более редкими. Таким образом, приходим к понятию сходимости по вероятности.

Определение. Говорят, что случайная величина сходится по вероятности к величине , если для любого вероятность выполнения неравенства с увеличениемнеограниченно приближается к единице

.

Такой способ приближения одних величин к другим лежит в основе большинства выводов и прогнозов теории вероятностей и математической статистики.

Определение. Статистической вероятностью события A называется величина, к которой по вероятности сходятся относительные частоты события при неограниченном увеличении числа проведенных случайных экспериментов

.

Все свойства, доказанные для классической вероятности, остаются верными и для статистической.

Отметим различия между статистическим и классическим определениями вероятностей:

1. статистическое определение вероятностей является величиной эмпирической, экспериментальной, а классическое определение вероятностей является величиной теоретической;

2. для определения вероятности события на основе классического определения вероятности достаточно описания опыта, а для вычисления частости события нужно также располагать определенным массивом статистических данных

Ниже (в теме 3) мы рассмотрим аксиоматическое определение вероятности события.

20