6. Определение интегральной функции распределения и доказательство ее св-в.

Интергральной функцией распределения F(x) случйной величины Х называется функция, принимающая в точке х значение равное вероятности того, что СВ примат значения меньше х F(x)=P(X<x)

Свойства интегральной функции распределения:

1. Область изменения интегральной функции распределения F(x) есть сегмент [0;1], справедливость свойства следует из определения функции как вероятности события.

2. Функция F(x) есть неубывающая функция при любых хЕR, т.е. если х1<х2, то F(x1) <=F(x2).Доказательство: Пусть х1<х2. Рассмотрим Р(Х<х2)=Р(Х<х1либох1<=х2). Применяя теорему сложения для несовместных событий, получим Р(Х<х2)=Р(Х<х1)+Р(х1<=Х<х2) или Р(Х<х2)-Р(Х<х1)=Р(х1<=Х<х2) и т.к. вероятность события неотрицательная величина, то Р(Х<х2)- Р(Х<х1)>=0и т.к. по определению интегральной функции определения F(хі)=Р(Х<хі) имеем F(x2)-F(x1) >=0или F(x2) >=F(x1).

3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет отдельное значение равна 0, т.е. Р(Х=х1)=0.Доказательство: Рассмотрим разность . По условию Х-непрерывная СВ, следовательно,F(x)непрерывная функция и при Получили, что Р(Х=х)=0.

4. Вероятность невозможного события равна0, а вероятность достоверного события1.

5. Вероятность попадания СВ Х на сегмент [x1;x2] равна приращению ее интегральной функции распределения на этом сегменте. P(x1<=X<=x2)=F(x2)-F(x1).

7. Доказать теоремы: «Формула полной вероятности», «Формула Байеса».

Пусть событие A может произойти только вместе с одним из событий H₁, H₂, ..., Hn, образующих полную группу. Событие Н_і называют гипотезами. Известны: вероятности событий Н_і, Р(Н_і) и и условные вероятности соб.А, Р_Hi(А).

Полная вероятность. Теорема. Вероятность соб.А равна сумме произведений вероятностей всех гипотез, образующих полную группу, на соответствующие условные вероятности соб.А: Р(А)=Р(Н₁)Р_Н1(А)+Р(Н₂)Р_Н2(А)+…+ +P(H_n)P_Hn(A) либо

Док-во. Соб.А может произойти только вместе с одним из событий Н₁,Н₂ …, H_n, образующих полную группу, т.е.

А=Н₁А+Н₂А+...+Н_nA.

Для нахождеия вероятности соб.А воспользуемся теоремой сложения для несовместных событий и теоремой умножения для зависимых. Р(А)=Р(Н₁А+Н₂А+...+Н_nA)=

=Р(Н₁А)+ Р(Н₂А)+...+Р(Н_nA)=

=P(H₁)P_H1(A)+P(H₂)P_H2(A)+..+P(H_n)P_Hn(A)

Формула Байеса. Пусть соб.А может наступить только вместе с одним из событий Н₁, Н₂, …, Н_n, образующих полную группу. События Н_і называются гипотезами. Тогда вероятность соб.А находится по формуле полной вероятности.

Предположим, что произошло испытание, в результате которого появилось соб.А. Определим, как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что соб.А уже произошло, т.е. найдём условные вероятности гипотез Р_A(Н_i)

Рассмотрим Р(АН_і). По теореме умножения для зависимых событий Р(АН_і)=Р(А)Р_A(Н_і) или Р(АН_і)=Р(Н_і)Р_Ні(А)

Из этих равенств следует, что Р(А)Р_A(Н_і)= Р(Н_і)Р_Ні(А).

Найдём

Используя формулу полной вероятности соб.А имеем:

Данная формула носит название формулы Байеса. Она позволят переоценить вероятности гипотез после того ,как становится известным результат испытания, в результате которого появилось соб.А.