- •3. Классическое определение вероятности события. Теорема умножения и её свойства.
- •8. Дисперсия дсв и ее св-ва. 3 на выбор доказать.
- •6. Определение интегральной функции распределения и доказательство ее св-в.
- •7. Доказать теоремы: «Формула полной вероятности», «Формула Байеса».
- •15. Простая и сложная статистическая гипотеза, ошибки 1и 2 рода
- •5. Математическое ожидание дсв и ее св-ва. 3св-ва доказать на выбор.
- •16. Поняття статистичної та кореляційної залежності. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції та його властивості.
- •2. Определение дифференциальной функции распределения. Доказ-во свойств.
- •1. Центральная предельная теорема. Вывести интегральную теорему Муавра-Лапласа. Её частные случаи.
- •11. Схема применения критерия Пирсона.
- •13. Точечные оценки выборки и требования к ним.
- •18. Выборочная дисперсия
- •17. Статистические гипотезы
- •12. Декомпозиция дисперсий. Коэффициент детерминаций.
- •4.Числовые характеристики биномиального распределения.
- •14. Критерий независимости двух дискретных св. Корреляционный момент. Коэффи-циент корреляции и его св-ва.
- •19. Выборочная средняя арифметическая
- •9. Определение нормального закона распределения. Вывести формулу для вероятности попадання значений нормально распределенной св з заданный промежуток. Следствие. Правило «три сигма».
- •1. Центральная предельная теорема. Вывести интегральную теорему Муавра-Лапласа
18. Выборочная дисперсия
Найдем дисперсию средней выборочной
Получили
Дисперсия средней выборочной в n раз меньше дисперсии средней генеральной.Характеристики выборочной совокупности служат точечными оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности и т.к. M(X) =Ẋ ,то выборочная средняя является несмещенной точечной оценкой генеральной средней.
Из равенства (*) следует, что эта оценка является эффективной.
Формула (*) позволяет сделать заключение о зависимости точности повторной выборки от ее объема n и от генеральной дисперсии. Из формулы следует, что точность выборки возрастает с увеличением ее объема и выборка будет точнее из той г.с.,в которой дисперсия меньше
Замечание. Выборочная дисперсия является смещенной точечной оценкой ген дисперсии. Несмещенной точечной оценкой является исправленная дисперсия.
При достаточно больших n, n≥30, s2≈ D(X). Поэтому при решении задач вместо s2 берут D(X).
Оценка Х состоятельная, с увеличением n она сходится по вероятности к постоянному числу, к средней генеральной .
17. Статистические гипотезы
Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности, проверяемое по выборке. Стат-кие гипотезы классифицируют на гипотезы: 1) о законах распределения; 2)о параметрах распределения.
Например, гипотеза о том, что производительность труда рабочих, выполняющих одинаковую работу, имеет нормальное распределение, является гипотезой о законе распределения. Гипотеза о том, что средние размеры деталей, производимые на однотипных станках, не различаются между собой, является гипотезой о параметрах распределения.
Наряду с выдвинутой гипотезой, рассматривают и противоположную ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая ей гипотеза.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Hₒ. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой. Пример. Нo-математическое ожидание нормально распределенной СВ X равно 10, а=10. Конкурирующая гипотеза Н1: а10.
Различают гипотезы, которые содержат только одно предположение и более одного предположений.
Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Например, если а — параметр показательного распределения, то гипотеза Н0 : а = 5 простая.
Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, Н() : а > 5 состоит из бесчисленного множества простых гипотез вида: а = bi где bi —любое число больше пяти.
12. Декомпозиция дисперсий. Коэффициент детерминаций.
Рассмотрим декомпозицию диспер-сий («правило сложения дисперсий»):
где – общая дисперсия,– дисперсия, кот. объясняет регрессию,– дисперсия ошибок.
В статистике различают: – общее отклонение,– отклонение, которое можно объяснить, исходя их регрессивной прямой,– отклонение, которое нельзя объяснить, исходя из регрессивной прямой.
Часть дисперсии, которая объясняет регрессию, называется коэффициентом детерминации, и обозначается R2. Коэффициент детерминации используется как критерий адекватности модели, поскольку является мерой объясняющей силы независимой переменной х.
Следует, что 0≤R2≤1