- •3. Классическое определение вероятности события. Теорема умножения и её свойства.
- •8. Дисперсия дсв и ее св-ва. 3 на выбор доказать.
- •6. Определение интегральной функции распределения и доказательство ее св-в.
- •7. Доказать теоремы: «Формула полной вероятности», «Формула Байеса».
- •15. Простая и сложная статистическая гипотеза, ошибки 1и 2 рода
- •5. Математическое ожидание дсв и ее св-ва. 3св-ва доказать на выбор.
- •16. Поняття статистичної та кореляційної залежності. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції та його властивості.
- •2. Определение дифференциальной функции распределения. Доказ-во свойств.
- •1. Центральная предельная теорема. Вывести интегральную теорему Муавра-Лапласа. Её частные случаи.
- •11. Схема применения критерия Пирсона.
- •13. Точечные оценки выборки и требования к ним.
- •18. Выборочная дисперсия
- •17. Статистические гипотезы
- •12. Декомпозиция дисперсий. Коэффициент детерминаций.
- •4.Числовые характеристики биномиального распределения.
- •14. Критерий независимости двух дискретных св. Корреляционный момент. Коэффи-циент корреляции и его св-ва.
- •19. Выборочная средняя арифметическая
- •9. Определение нормального закона распределения. Вывести формулу для вероятности попадання значений нормально распределенной св з заданный промежуток. Следствие. Правило «три сигма».
- •1. Центральная предельная теорема. Вывести интегральную теорему Муавра-Лапласа
2. Определение дифференциальной функции распределения. Доказ-во свойств.
Производная интегральной функции распределения непрерывной CВ Х называется дифференциальной функцией распределения СВ.
Свойства.
1. Функция f(x) определена при всех значениях Х, D(f)=К.
2. Дифферен. функция распределения f(x) – неотрицательная функция. f(x)≥0,
Док-во. Т.к. F(x) – неубывающая функция, то f(x)=F`(x)≥0
3. Вероятность того, что непрерывная CВ примет значения из промежутка (a;b) находится по формуле:
Док-во. Рассмотрим интеграл
F(x) – первообразная для функции f(x) и по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
(вероятность достоверного событ. =1).
1. Центральная предельная теорема. Вывести интегральную теорему Муавра-Лапласа. Её частные случаи.
Теорема. Пусть Х1, Х2, …, Хn - независимые СВ. а1, а2, … , аn - соответственно их математ. ожидания, D(X1), D(X2), …, D(Xn) – их дисперсии. Если эти CВ сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы, а число их достаточно велико, то вероятность попадания их суммы в интервал (x1;x2) находится по формуле:
где а=а1+а2+…+аn,
Таким образом, чтобы приближённо найти вероятность попадания суммы большого числа CВ на заданный промежуток, не требуется знать их законы распределения, достаточно знать их числовые хар-ки.
Теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых повторных испытаниях заключено в пределах от m1 до m2 включительно при достаточно больших n приближённо находится по формуле:
гдефункция Лапласа.
Частные случаи. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе испытаний n справедливо следующие приближённые равенства:
11. Схема применения критерия Пирсона.
1. Выбираем предполагаемый закон распределения и находим его параметры.
2. Вычисляем теоретические частоты по формуле . Вероятностьнаходится по формуле в соответствии с выбранным законом.
3. Находим величину 4. Определяем по формуле, гдечисло интервалов эмпирического распределения,сумма числа параметров предполагаемого теоретического закона и числа дополнительных соотношений эмпирических частот.
5. Выбираем уровень значимости , например.
6. По таблице находим вероятность события .
7. Если , то расхождения между теоретическими частотами и эмпирическими частотами носят случайный характер и следует принять гипотезу о предполагаемом законе распределения, в противном случае гипотезу следует отвергнуть.
13. Точечные оценки выборки и требования к ним.
Пусть необходимо оценить некоторый параметр 0, присущий элементам г.с. Для этого делается выборка объема n и по результатам выборки получается значение 0* . Оценка 0* зависит от объема выборки, а при фиксированном объеме, зависит от элементов, попавших в выборку. Поскольку выбор элементов происходит случайно, то 0* является случайной величиной. 0* называется точечной оценкой параметра 0. Точечная оценка должна быть:
а)Оценка 0* параметра 0 называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. М(0*) = 0. В противном случае оценка называется смещенной. Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.
б)Оценка 0* параметра 0 называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру:
в)Несмещенная оценка 0* параметра 0 называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра 0, вычисленных по выборкам одного и того же объема.
Точечная оценка 0*, является лишь приближенным значением неизвестного параметра 0 даже в том случае, если она несмещенная, состоятельная и эффективная и для выборки малого объема может существенно отличаться от параметра 0. Чтобы получить представление о точности и надежности оценки 0* параметра 0 используют интервальную оценку параметра.