lp_usk (21)

W =	qU		W =	CU 2		W = q2
	2	,		2	,		2C	.

Об'ємна густина енергії електричного поля:

w = W = εε0 E 2 . V 2

3.1.2 Методичні вказівки і приклади розв’язання задач

При розв'язанні задач на знаходження напруженості електричного поля при заданому розподіленні зарядів, що створюють це поле, розглядаються наступні випадки:

1)поле, утворене одним або кількома нерухомими точковими зарядами, розраховується, застосовуючи формули напруженості точкового заряду та принцип суперпозиції електричних полів;

2)поле, створене зарядами, які не є точковими, але розподілені рівномірно по сферичних, ціліндричних або плоских поверхнях, розраховується за допомогою теореми Гаусса або формул, що виведені для цих поверхонь. Нескінченно довгим циліндром можна вважати будь-який реальний циліндр для таких точок, відстань від яких до осі циліндра значно менша, ніж до його кінців;

3)якщо заряджене тіло не є ні сферою, ні нескінченним циліндром, ні нескінченною площиною, тоді для визначення напруженості електричного поля необхідно поділити тіло на нескінченно малі елементи, заряд на яких dqі можна вважати точковим, знайти за формулою напруженості

R

електричного поля точкового заряду напруженість dEi , створену в цій точці

кожним елементом, а потім знайти суму всіх елементарних напруженостей. При цьому треба враховувати напрямки векторів, що додаються:

R R

Е = ∫ dEi .

Якщо вони співнапрямлені, то геометричне додавання можно замінити арифметичним. Тоді одержимо

Е = ∫ dE,

де інтегрування проводиться за повним об'ємом зарядженого тіла (або відповідно за всією площею зарядженої поверхні, за всією довжиною зарядженої нитки).

R

Якщо вектори dEi мають різні напрямки, то спочатку треба виявити, чи не має поле зарядженого тіла осьової симетрії. У випадку наявності

13

осьової симетрії і точки, яка знаходиться на осі симетрії поля і в якій треба знайти напруженість, виявляється, що вектор напруженості результуючого поля в даній точці завжди напрямлений вздовж осі симетрії поля. Щоб

знайти модуль вектора E , достатньо додати прекції всіх елементарних векторів dEi на його напрямок.

У загальному випадку, коли не можна використати симетрію, тоді вибирають координатні осі x, y, z, потім інтегрують проекції dEx, dEy, dEz

всіх елементарних векторів напруженості		dEi на		ці осі, одержуючи
проекції вектора E і його модуль, тобто
Ex = ∫ dEx , Ex = ∫ dEx ,			Ex = ∫ dEx .
E =			.
	Еx 2 + E y 2 + Ez 2
Приклад 3.1.1. Ex = ∫ dEx , Три однакових				точкових заряди

Q1=Q2=Q3=2 нКл знаходяться у вершинах рівностороннього трикутника зі стороною а=10 см (рис. 3.2). Визначити модуль і напрямок сили, що діє на один із зарядів збоку двох інших зарядів.

Q3

				α		Q1	F12
			Q2				α
						F13	F
			Рисунок 3.2
Розв’язання. Сила взаємодії двох нерухомих точкових зарядів
визначається за законом Кулона
			F = k	Q1Q2		,	(3.1)
				r 2
де r –	відстань між зарядами,
k =	1	–	коефіцієнт пропорціональності в системі СІ.
	4πε 0

14

Точковий нерухомий заряд Q1 взаємодіє з точковим нерухомим

зарядом Q2 з силою F12 і з точковим нерухомим зарядом Q3 з силою F13 . Результуюча сила, що діє на заряд Q1, дорівнює векторній сумі цих сил:

F = F12 + F13 ,

де згідно з законом Кулона (3.1) модулі сил дорівнюють:

	F12	= k	Q1Q2	;	F13	= k	Q1Q3	; r = a .	(3.2)
			r 2				r 2

Модуль результуючої сили визначимо за теоремою косинусів:

F = F12 2 + F132 + 2F12 F13cos 600 .

Підставивши в цю формулу вирази (3.2), одержимо:

F = (k

Q2

) + (k

Q2

) + 2k

Q2

× k

Q2

cos 600

= k

Q2

3 .

(3.3)

a2

a2

a2

a2

a2

Підставимо у вираз (3.3) задані в умові задачі величини і проведемо розрахунки:

		9		(2 ×10−9 )2				−7
	F = 9 ´10		×		× 3 = 62,3´10				Êë .
				0,12

Розв’язок: F = 62,3×10−7 Êë.

Приклад 3.1.2. Точковий заряд Q=25 нКл знаходиться в полі, яке створене прямим нескінченним циліндром радіусом R=1 см, рівномірно зарядженим з поверхневою густиною σ=2 мкКл/м2. Визначити силу, що діє на заряд, розміщений від осі циліндра на відстані r=10 см.

Розв’язання. Сила, діюча на заряд Q, що знаходиться в електричному полі, визначається за формулою

F = QE ,

(3.4)

де Е – напруженість поля в точці, в якій знаходиться заряд Q.

Як відомо, напруженість поля нескінченно довгого рівномірно зарядженого циліндра дорівнює

15

	E =	τ		(3.5)
		2πε 0 r	,

де τ – лінійна густина заряду.

Виразимо лінійну густину t через поверхневу густину σ. Для цього виділимо елемент циліндра завдовжки l і виразимо заряд Q1, що знаходиться на ньому, двома способами:

Q =σ S =σ ×2πRl	і	Q = τ l .
1		1

Прирівнявши праві частини цих виразів, отримаємо

τ l = 2πRl ×σ

Після скорочення на l знайдемо

τ= 2πR ×σ .

Зурахуванням цього виразу формула (3.5) набуде вигляду

E =	Rσ
		.
	ε 0 × r

Підставивши цей вираз Е у формулу (3.4), знайдемо шукану силу:

F =	Q × Rσ
	ε 0 × r .	(3.6)

Оскільки R і r входять до формули у вигляді відношення, то вони можуть бути виражені в будь-яких, але тільки однакових одиницях.

Виконавши обчислення за формулою (3.6), знайдемо:

	F =	25´10−9 ´10−2 × 2´10−6	= 565´10−6 Í .
		8,85´10−12 ×10 ´10−2

Напрямок сили F співпадає з напрямком вектора напруженості Е, а останній, через симетрію (циліндр нескінченно довгий), направлений перпендикулярно до циліндра.

Розв’язок: F=565 мкH.

Приклад 3.1.3. Електричне поле створене двома точковими зарядами: Q1=30 нКл і Q2= –10 нКл. Відстань d між зарядами дорівнює 20 см. Визначити напруженість електричного поля в точці, що перебуває на

16

відстані r1=15 см від першого і на відстані r2=10 см від другого заряду

(рис. 3.3).

Рисунок 3.3

Розв’язання. Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів кожен заряд створює поле незалежно від присутності у просторі інших зарядів. Тому напруженість Е електричного поля в заданій точці можна знайти як векторну суму напруженостей E1 і E2 полів, які створює кожний із зарядів окремо:

E = E1 + E2 .

Точкові нерухомі заряди Q1 і Q2, що знаходяться у вакуумі, створюють електростатичні поля, напруженості яких визначаються відповідно за формулами:

E1 =	| Q1	|		,	E2 =	| Q2			|		.	(3.7)
	4πε r		2			4πε	0	r		2
	0	1							2

R

Оскільки заряд Q1>0, то вектор напруженості Е1 починається в точці А і спрямований від заряду Q1 вздовж прямої, що з'єднує т. А з зарядом Q1.

R

Оскільки заряд Q2<0, то вектор Е2 також починається в точці А і спрямований від заряду Q2 вздовж прямої, що з'єднує т. А з зарядом Q2, але до заряду Q2.

R

Модуль вектора Е знайдемо за теоремою косинусів:

	E = E12 + E22 + 2E1Å 2cosα ,						(3.8)
де α	– кут між векторами		R	та	R	і може бути	знайдений із
			Е1		Е2

трикутника зі сторонами r1, r2 і d:

17

cosα = d 2 − r12 − r22 . 2r1r2

У цьому випадку, щоб уникнути громіздких записів, обчислимо окремо значення cosα:

cosα =	202 -152 -102	= 0,25 .
2 ×15 ×10

Підставимо вирази E1 і E2 (3.7) у формулу (3.8) і винесемо загальний множник 1/(4πε0) за знак кореня:

	1			Q2		Q2		| Q || Q |
			1		2			1		2
E =					+		+ 2					cosα .
	4πε	0		r4		r4		r2r2
			1		2			1	2

Підставимо значення величин π, ε0, Q1, Q2, r1 , r2 і cosα в одержану формулу і виконаємо обчислення:

	9 (30´10−9 )2			(10´10−9 )2		(30´10−9 )2 (10´10−9 )2	4
	E = 9´10		+		+ 2		×0,25 =1,67´10 Â/ì ..
		(15´10−2 )4		(10´10−2 )4		(15´10−2 )2 (10´10−2 )2

Розв’язок: Е = 16,7 кв/м.

Приклад 3.1.4. Електричне поле створене двома паралельними нескінченними зарядженими площинами з поверхневими густинами

зарядів: σ1=0,4 мкКл/м2, σ2=0,1 мкКл/м2. Визначити напруженість електричного поля, яке створене цими зарядженими площинами.

Рисунок 3.4

Розв’язання. Кожна заряджена нескінченна площина створює однорідне електричне поле незалежно від присутності іншої зарядженої площини. Напруженості однорідних електричних полів, які створені

18

першою і другою площинами, відповідно, дорівнюють:

E1	=	1	σ 1 ;	E2	=	1	σ 2 .	(3.9)
	2		ε 0		2		ε 0

Згідно з принципом суперпозиції електростатичних полів поля, що створюються кожною із заряджених площин, накладаються одне на одного

R

і створюють напруженість Е , що дорівнює векторній сумі напруженостей

R R

Е1 і Е2 :

R R R

Е = Е1 + Е2 .

Розглянемо три області I, II і III, на які пластини (рис.3.4) поділяють весь простір.

1 Як випливає з рисунка 3.4, у першій і третій областях електричні силові лінії обох полів співнапрямлені, і отже, сумарна напруженість полів обох пластин у першій Е(I) і в третій E(III) областях рівні між собою і дорівнюють сумі напруженостей полів, які створені першою і другою площинами:

Å (I) = Å (III) = E1 + Å 2

або, враховуючи формули (3.9), одержимо:

Å (I) = E(III) =	1	× σ1 + σ 2 .	(3.10)
2		ε 0
2 У другій області (між площинами) електричні силові лінії полів
спрямовані у протилежні боки, отже, напруженість поля E(II)			дорівнює

різниці напруженостей полів, що створені першою і другою площинами:

Å (II) = E1 - Å 2 ,

або

|σ1 −σ2 | .

E(II)=

1

×

(3.11)

2

ε0

Підставивши задані величини в формули (3.10) і (3.11) і, виконавши

обчислення, одержимо:

1

0,4´10−6 + 0,1´10−6

Å (I) = E(III) =

×

= 28,3 êÂ/ì

,

2

8,85´10−12

E(II) =

1

×

0,4´10−6 - 0,1´10−6

=17,0 êÂ/ì .

2

8,85´10−12

Розв’язок: Å (I) = E(III) = 28,3 êÂ/ì, E(II) =17,0 êÂ/ì .

19

Приклад 3.1.5. Електричне поле створене нескінченною площиною, зарядженою з поверхневою густиною σ=400 нКл/м2, і нескінченною прямою

ниткою, зарядженою з лінійною густиною τ=100 нКл/м. На відстані r=10 см від нитки знаходиться точковий заряд Q=10 нКл (рис. 3. 5). Визначити силу, що діє на заряд і її напрямок, якщо заряд і нитка лежать в одній площині, паралельній до зарядженої площини.

	E1	E
τ	r	α
	Q	E2

σ

Рисунок 3.5

Розв’язання. Сила, що діє на заряд, поміщений у поле зарядженої площини, дорівнює:

F = Q × E ,

(3.12)

де Е – напруженість поля в точці, в якій поміщено заряд Q. Визначимо напруженість Е поля, створеного нескінченною

зарядженою площиною і нескінченною зарядженою ниткою. Поле нескінченної зарядженої площини однорідне, і його напруженість у будьякій точці визначається за формулою

E =	1 σ
			ε	.		(3.13)
1	2
				0

Поле, яке створене нескінченною зарядженою ниткою, неоднорідне. Його напруженість залежить від відстані і визначається за формулою

	E2	=	τ		.	(3.14)
			2πε	0 r

Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів, напруженість поля в точці, у якій перебуває заряд Q, дорівнює векторній

R R

сумі напруженостей E1 і E2 :

R R R

E = E1 + E2 .

20

Оскільки вектори E1 і E2 взаємно перпендикулярні, то модуль вектора напруженості дорівнює

E =

E 2

+ E 2

.

(3.15)

1

2

Підставляючи вирази (3.13 )і (3.14) у формулу (3.15), одержимо:

1 σ

2

τ

2

E =

+

2πε

2 ε 0

0 r

,

або

E =

1

σ 2

+

τ 2

2ε 0

π 2 r 2

.

(3.16)

Силу F, що діє на точковий заряд Q, визначимо, підставивши у

вирази (3.12) і (3.16):

F = EQ =

Q

σ

2 +

τ 2

2ε 0

π 2 r 2

.

Підставивши значення величин Q, ε0, σ, τ, π і r, виконаємо обчислення:

F =		10 ´10−9		(400 ´10−9 )2 +	(100 ´10−9 )2		= 289 ´10−6		Í .
		×8,85 ´10−12
2				3,142 × 0,12
Напрямок сили F,				що діє на позитивний заряд Q,				збігається з
напрямком вектора напруженості поля. Напрямок вектора								R	задається
								E

кутом α до зарядженої площини. За рисунком 3.4 знайдемо тангенс кута α:

tgα = E1 = π r σ . E2 τ

Звідки

α= arctg (πr σ )

τ.

Підставивши значення величин π, r, σ і τ у цей вираз, обчислимо:

α = arctg (3,14 × 0,1 × 4 ´10 −7 ) = 51O3' . 10 − 7

Розв’язок: F=289 мкН, α=51°3 ¢.

21

Приклад 3.1.6. По тонкій нитці, вигнутій по дузі кола радіусом R, рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною τ=10 нКл/м.

Визначити напруженість Е і потенціал ϕ електричного поля, створюваного таким розподіленим зарядом у точці О, що збігається із центром кривизни дуги. Довжина l нитки становить 1/3 довжини кола і дорівнює 15 см.

Розв’язання. Виберемо осі координат так, щоб початок координат збігався із центром кривизни дуги, а вісь Oy була симетрично розташована відносно кінців дуги (рис. 3.6). На нитці виділимо елемент довжини dl. Заряд, що зосереджений на виділеній ділянці dl, дорівнює

	dQ=τdl.
dEy	dE
j
i	dEx

dυ			0	x
		π/3	π/3
	R
		υ		τ

dl

dQ=τdl

Рисунок 3.6

Його можна вважати точковим. Визначимо напруженість електричного поля в точці О. Для цього знайдемо спочатку напруженість

dE поля, що створює точковий заряд dQ:

R	τdl			R
				r
dE =			×		,
	4πε0r	2		r

де r – радіус-вектор, спрямований від елемента dl до тієї точки, в якій обчислюється напруженість.

R

Виразимо вектор dE через його проекції dEx і dEy на осі координат:

R

dE = i dEx + jdEy ,

де i та j – одиничні вектори напрямків (орти).

R

Напруженість E знайдемо інтегруванням:

22