1. Предмет математичної логіки.

Математична логіка (теоретична логіка, символічна логіка) - розділ математики, що вивчає докази і питання підстав математики. "Предмет сучасної математичної логіки різноманітний." [1] Відповідно до визначення П. С. Порецкого, "математична логіка є логіка по предмету, математика за методом". Відповідно до визначення Н. І. Кондакова, "математична логіка - друга, після традиційної логіки, щабель у розвитку формальної логіки, що застосовує математичні методи та спеціальний апарат символів і досліджує мислення за допомогою числень (формалізованих мов). " [2] Це визначення відповідає визначенню С. К. Кліні : математична логіка - це "логіка, що розвивається за допомогою математичних методів". [3] Також А. А. Марков визначає сучасну логіку "точною наукою, яка застосовує математичні методи". [4] Всі ці визначення не суперечать, а доповнюють один одного.

Застосування в логіці математичних методів стає можливим тоді, коли судження формулюються на деякому точному мовою. Такі точні мови мають дві сторони: синтаксис і семантику. Синтаксисом називається сукупність правил побудови об'єктів мови (зазвичай званих формулами). Семантикою називається сукупність угод, що описують наше розуміння формул (або деяких з них) і дозволяють вважати одні формули вірними, а інші - ні.

Основная идея математической логики – формализация знаний и рассуждений. Известно, что наиболее легко формализуемые знания – математические. Таким образом, математическая логика, по-существу, – наука о математике, или метаматематика. Центральным понятием математической логики является ``математическое доказательство''. Действительно, ``доказательные'' (иначе говоря, дедуктивные) рассуждения – единственный вид признаваемых в математике рассуждений. Рассуждения в математической логике изучаются с точки зрения формы, а не смысла. По-существу, рассуждения моделируются чисто ``механическим'' процессом переписывания текста ( формул). Такой процесс называют выводом. Говорят еще, что математическая логика оперирует только синтаксическими понятиями.

Важливу роль в математичній логіці мають поняття дедуктивної теорії і обчислення. Обчисленням називається сукупність правил виводу, що дозволяють вважати деякі формули виведеними. Правила виведення поділяються на два класи. Одні з них безпосередньо кваліфікують деякі формули як виведені. Такі правила виведення прийнято називати аксіомами. Інші ж дозволяють вважати виведеними формули A , Синтаксично пов'язані деяким заздалегідь певним способом з кінцевими наборами виведених формул. Широко застосовуваним правилом другого типу є правило modus ponens: якщо виведені формули A і , То виводиться і формула B .

Ставлення числень до семантики виражається поняттями семантичної придатності та семантичної повноти обчислення. Обчислення І називається семантично придатним для мови Я, якщо будь-яка виведена в І формула мови Я є вірною. Аналогічно, обчислення І називається семантично повним в мові Я, якщо будь-яка вірна формула мови Я виведена в І.

Математична логіка вивчає логічні зв'язки і відносини лежать в основі логічного (дедуктивного) виводу з використанням мови математики .

Багато хто з розглянутих в математичній логіці мов мають семантично повними і семантично придатними исчислениями. Зокрема, відомий результат К. Геделя про те, що так зване класичне числення предикатів є семантично повним і семантично придатним для мови класичної логіки предикатів першого порядку. З іншого боку, є чимало мов, для яких побудова семантично повного і семантично придатного обчислення неможливо. У цій області класичним результатом є теорема Геделя про неповноту, яка стверджує неможливість семантично повного і семантично придатного числення для мови формальної арифметики.

Варто зазначити, що на практиці безліч елементарних логічних операцій є обов'язковою частиною набору інструкцій всіх сучасних мікропроцесорів і відповідно входить до мови програмування. Це є одним з найважливіших практичних додатків методів математичної логіки, що вивчаються в сучасних підручниках інформатики.