Лабораторна робота № 3 вивчення електричного осцилятора з одним ступенем вільності

Мета роботи – вивчити закономірності затухаючих коливань електричного осцилятора; отримати експериментально характеристики затухаючих коливань електричного осцилятора; ознайомитися з вимушеними коливаннями електричного осцилятора і порівняти їх з теоретично розрахованими.

Прилади та обладнання: електричний осцилятор; генератор звукових коливань; діод; магазин резисторів; магазин ємностей; котушка індуктивності; перемикач; з'єднувальні дроти.

Теоретичні відомості

Коливальний контур (LС – контур) складається з послідовно з'єднаних індуктивності L і ємності С, і називається також електричним осцилятором (рис. 1).

При вивченні коливань у контурі завжди розглядають зміну тільки однієї з величин – сили струму в контурі, падіння напруги на активному опорі, заряду на обкладках конденсатора або різниці потенціалів між його обкладками .

Рис. 1.

Згадаємо, як виникають коливання в контурі при активному опорі R = 0 (рис. 2). Для збудження коливань попередньо заряджають конденсатор ємністю С зарядом Q₀ (рис. 2, а) і в початковий момент часу t = 0 вся енергія контуру зосереджена в електричному полі конденсатора. СтрумI в контурі відсутній.

Замкнемо перемикач К (рис. 2, б); через котушку індуктивністю L потече струм I, що буде зростати з часом. Якщо струм І зростає (рис. 3), то збільшується B-вектор магнітної індукції магнітного поля, яке з'являється в котушці. Напрям В зображено на рисунку товстими суцільними стрілками. Відповідно до закону Фарадея у витках котушки індукується електричне поле при зміні магнітного поля. Напрям електричного поля зображено тонкими штриховими стрілками.

Електрорушійна сила (ЕРС) самоіндукції

(1)

Оскільки за правилом Ленца ЕРС ε_s напрямлена в бік, протилежний зростаючому струму I, то він зростає до максимального значення повільно. При цьому зменшується заряд на конденсаторі. Отже, зменшується електрична енергія поля конденсатора, перетворюючись в енергію магнітного поля котушки індуктивності.

В момент часу (Т - період коливань заряду) W_е=0, Q=0, енергія магнітного поля максимальна.

а) t=0 б) t=T/4 в) t=T/2 г) t=3T/4

+ + - -

L - - C C + + C

L L L C

I

Рис. 2.

1)2)3)4)

Струм у контурі починає спадати, тому що відбувається зарядка конденсатора, зменшується енергія магнітного поля , зі зменшенням В з’являється ЕРС:

У цьому випадку ε_s напрямлена в бік спадаючого струму. Згідно з правилом Ленца індукційний струм напрямлений у той самий бік, що й струм зарядки конденсатора. До закінчення часу на обкладках

конденсатора накопичується максимальний заряд, що спричинює появу максимального електричного поля.

Струм у колі дорівнює нулеві (див. рис. 2, в).

Рис. 3.

Далі ті самі процеси почнуть протікати у протилежному напрямі (рис. 2, г) і система до моменту часу повернеться до початкового стану.

За другим правилом Кірхгофа сума падінь напруги у замкнутому контурі дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС у контурі. При відсутності активного опору в контурі, тобто при R= 0, всі падіння напруги відбуваються на ємності:

(2)

Отже,

Враховуючи, що і , маємо,

або

. (3)

Введемо позначання

. (4)

Тоді

. (5)

Де ω₀ – циклічна частота власних коливань контура.

Вираз (5) – диференціальне рівняння власних коливань лінійного гармонічного осцилятора, у даному випадку LC — контура.

Якщо розглядати дійсний контур, що крім L і С, має резистор (як резистор може бути опір індуктивності), то разом з падінням напруги на ємності

спостерігатиметься падіння напруги і на резисторі і тому другий закон Кірхгофа запишемо так:

,

, (6)

,

. (7)

Введемо позначення (4) і

. (8)

Дістанемо

, (9)

де δ – коефіцієнт затухання.

Вираз (9) – лінійне диференціальне рівняння другого порядку, тобто диференціальне рівняння затухаючого гармонічного осцилятора (LС-контура) з розв'язком

(10)

за умови, що

(втрати енергії в системі малі),

де Q - заряд на конденсаторі у визначений момент часу t; Q₀ - амплітуда заряду при t = 0; е - основа натуральних логарифмів; ω - циклічна частота затухаючого гармонічного осцилятора,

(11)

За законом (10) змінюється й напруга на конденсаторі:

(12)

де – амплітуда наруги приt=0;- амплітуда напруги при t ≠ 0.

Отже, якщо збуджувати контур - заряджати ємність то за умови в ньому виникнуть коливання заряду, які затухатимуть (рис.4).

Рис. 4.

Закон зміни амплітуди з часом (штрихова лінія)

(13)

Одна з головних характеристик електричного затухаючого осцилятора - логарифмічний декремент затухання Ө, який визначається як натуральний логарифм відношення двох амплітуд, (Рис.4) віддалених одна від одної на період Т_з:

. (14)

Друга характеристика – період затухання

. (15)

Час, протягом якого амплітуда зменшується в е разів, називається часом релаксації τ:

, (16)

де або .

Важлива особливість електричного осцилятора - добротність Q_доб яка дорівнює добутку числа коливань N_е, що відбуваються за час, протягом якого амплітуда коливань зменшується в е разів, і числа π:

. (17)

Характеристики (14), (16) і (17) взаємопов'язані:

і залежать від параметрів електричного осцилятора:

(18)

При (19)

(20)

При

(21)

(22)

При

(23)

При втрати енергії в системі великі через великий опірR₁ контура. У цьому разі в (10) перший член не має суттєвого значення і розв'язок описує аперіодичний режим руху заряду - коливання не відбуваються (рис. 5).

Рис. 5.

Опір, при перевищенні якого в системі немає коливань, називається критичним. Його знаходять за умови (див. (4) і (8):

(24)

Потреби практики диктують необхідність мати тривалі незатухаючі коливання у контурі. Коливальний процес стане не затухаючим, якщо на контор діятиме зовнішня сила, що періодично змінюється. Такі коливання називають вимушеними. Вимушені коливання в електричному контурі можна дістати, якщо в нього ввімкнути генератор сигналів, наприклад, звуковий генератор ЗГ.

Диференціальне рівняння вимушених коливань у контурі дістають з рівняння затухаючих коливань (7), якщо в нього додати періодичну ЕРС

(– циклічна частота періодичної ЕРС):

,

,

,

,

, (25)

де – амплітудне значення напруги в коливальному контурі.

Розв'язок (25):

, (26)

де Q₀ - амплітуда заряду на конденсаторі.

Напруга на обкладках конденсатора змінюється за законом

,

де U₀ - амплітуда напруги на конденсаторі,

, (27)

a зсув фаз між коливаннями змушуючої сили (коливаннями напруги на виході звукового генератора) і коливаннями напруги на конденсаторі

. (28)

У разі вимушених коливань - величина відставання за фазою вимушеного коливання заряду (26) від спричиняючої його змушуючої періодичної ЕРС.

Залежність амплітуди вимушених коливань від змушуючої сили можна дослідити на максимум і переконатися, що максимальна при результуючій частоті періодичної ЕРС

. (29)

Ця частота називається резонансною, а саме явища зростання амплітуди при наближенні до резонансної частоти або кратної їй – резонансом. Фаза вимушених коливань при збігається з фазою змушуючого впливу; в околі резонансу прирізниця фаз наближається до, а при – дотобто фаза коливань майже протилежна фазі змушуючої сили.

Амплітудні криві для трьох різних значень втрат в системі:

зображено на рис. 6.

У техніці добротність осцилюючої системи визначає відносну гостроту резонансного піку, оскільки обернено пропорційна коефіцієнту затухання (16).