ϕ = ϕ+ +ϕ− =	kq	−	kq	= kq	r− − r+
		r+		r−		r−r+

Введем радиус-вектор от середины плеча диполя в данную точку поля и угол Θ между радиусом-вектором и плечом диполя .

	РИС.21	РИС.22
r	− r	≈ l cos Θ				r r	= r 2
−	+			,		− +
		kql cos Θ				rr		rr		kp cos Θ
	ϕ =			=	kql r		=	kpr	=
		r 2				r 3		r 3		r 2

Потенциал зависитrот величины радиуса –вектора и угла , определяющего направление радиуса-вектора относительно

плеча диполя. Так как

E = −gradϕ ,

представим вектор напряженности в виде двух векторов:

r

r

r

∂ϕ r

∂ϕ

r

E = E

r

+ E

Θ

= −

e

r

+

e

Θ

∂r

r∂Θ

kp sin Θ

Er

= −

∂ϕ

=

2kp cos Θ

EΘ

= −

∂ϕ

=

∂r

r 3

,

r∂Θ

r 3

E =

Er2

+ EΘ2

= kp

4 cos2 Θ + sin 2 Θ = kp

1 + 3cos2

Θ

r 3

r 3

при Θ=00

или Θ=1800.

ΕΘ=0,

Рассмотрим точки

расположенные на линии совпадающей с плечом диполя,

r r

2kp

E = Er

=

r 3

Er = ErΘ

kp

= −

Для точек поля, равноудаленных от обоих зарядов Θ=900 или Θ=2700:

Еr=0,

r 3

Модель электрического диполя используется при расчетах характеристик электрического поля, созданного в целом

нейтральной системой зарядов, а также

при описании процессов происходящих внутри диэлектриков, помещенных в

электрическое поле.

ТЕМА II. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ ПРОВОДНИКОВ.

§12 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДНИКА.

Любое вещество состоит, в конечном счете, из атомов. Классическая модель атома: ядро в центре и электроны, движущиеся по орбитам. Размеры ядра в 100000 раз меньше размеров атома. Электроны, по сравнению с ядром, точечные

12

частицы. В такой модели пространство атома – область результирующего микроскопического электромагнитного поля ядра и электронов, для исследования которого не существует пробного заряда.

Макроскопическое поле вводится как усредненное микроскопическое по некоторому малому (но содержащему большое

r 1 r

Emacro = V ∫∫∫Emicro dV

количество атомов) объему Проводники – вещества, в которых атомы имеют один-три валентных электрона, часть которых из-за слабой связи с

ядром освобождается и перемещается по всему объему проводника. Концентрация свободных электронов в n~(1028-1029 )м-3..

Классическая модель проводника – это в целом	нейтральная система, состоящая из		кристаллической решетки
положительных ионов и свободных электронов, которые	хаотически двигаются в поле кристаллической решетки подобно
«одноатомному электронному газу».	то в течение 10-19с происходит перераспределение свободных
Если проводник получил отрицательный заряд,
электронов и устанавливается такое равновесное распределение зарядов,		что результирующая сила, действующая на каждый
заряд, равна нулю.
Следовательно, напряженность результирующего	поля внутри	проводника также	равна нулю.	Так как:

r	ρ
divE =
	ε0 , то		ρ = 0
Отсюда следует,			что внутри проводника нет свободных избыточных зарядов. Полученный заряд располагается на
поверхности проводника в слое толщиной порядка 10-10м.					Так как	E = −gradϕ , то поверхность и объем
проводника	эквипотенциальны			ϕs = ϕv = const ,	а линии	напряженности перпендикулярны поверхности
проводника.

Рассмотрим, от чего зависит напряженность поля вблизи поверхности, например, положительно заряженного

проводника?		∆S,
Выделим настолько малый	элемент поверхности		чтобы можно	было считать его частью плоскости, а
распределение зарядов на нем равномерным с поверхностной плотностью σ.
В этом случае поле возле этого элемента можно считать			однородным.	Выберем замкнутую поверхность в виде
прямого цилиндра высотой h→0	и площадью сечения равной ∆S (рис.26).

РИС.26 РИС.27

E∆S =	σ∆S
По теореме Остроградского поток вектора напряженности через замкнутую поверхность цилиндра:	ε0 ,

E = σ

ε0

Полученная величина напряженности представляет собой результат сложения напряженности двух полей: поля зарядов
на выделенном элементе поверхности и поля всех остальных зарядов проводника (рис.27).	Er = Erσ + E0

Эти вектора направлены в одну сторону вне проводника и противоположно друг другу внутри проводника. Но поле внутри проводника равно нулю. Следовательно, равны модули векторов напряженности: Εσ=Ε0. Тогда величина результирующей напряженности вне проводника равна: Ε=Εσ+Ε0=2Εσ.

13

Eσ = E0 = σ

2ε0 . Отсюда следует, что напряженность поля в точках вблизи заряженного элемента поверхности проводника в равных долях определяется зарядами этого элемента и всеми остальными зарядами проводника.

От чего зависит поверхностная плотность зарядов на проводнике?

Рассмотрим модель проводника, имеющего участки поверхности с различным радиусом кривизны - два проводящих шара различных радиусов, расположенных на большом (по сравнению с их радиусами) расстоянии и соединенных очень

тонким проводником.

РИС.28 Если сообщить заряд любому из этих проводников, то после установления равновесного распределения зарядов, все

проводники должны иметь один и тот же потенциал. Так как шары удалены на очень большое расстояние друг от друга,

ϕ	1	=	kq1			ϕ	2	= kq2
то можно рассчитывать их потенциал по формуле для уединенного шара:			R1		,						R2			,
ϕ1 =ϕ2
		σ	1	4πR2		=	σ		2	4πR			2
				R	1					R			2
Выразим заряды шаров через поверхностную плотность зарядов												2	,
				1

σ1 = R2

σ2 R1

Следовательно, поверхностная плотность зарядов обратно пропорциональна радиусу кривизны поверхности проводника и чем меньше радиус кривизны, тем больше поверхностная плотность зарядов.

Поверхность проводника любой формы можно представить как множество участков сферических поверхностей с различными радиусами кривизны. Тогда плотность зарядов на поверхности заряженного проводника больше там, где меньше радиус кривизны поверхности проводника.

САМОСТ. V: 1. Электронный ветер.

2.Почему возле заостренных металлических предметов может наблюдаться свечение воздуха?

13. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ.

Если вещество находится в электрическом поле, то смещение ядер под действием электрических сил пренебрежимо мало, а смещение электронов, имеющих малую массу, может быть значительным.

Электростатическая индукция – явление перераспределения свободных зарядов в проводнике во внешнем поле. Возникающие на границах проводника индукционные заряды создают поле, которое складывается с внешним:

E = E0 + Ei

	В проводниках количество свободных электронов очень велико и поэтому их перераспределение идет до тех пор, пока
Er	0 = −Eri	и Er = 0
	В результате этого при электростатической индукции:
1)так как Er = −gradϕ , то поверхность и объем проводника эквипотенциальны,
	r		ρ
	divE =
			ε0 , то внутри проводника индукционных зарядов нет,
2) так как

3)индукционные заряды появляются на поверхностях проводника и возникает результирующее поле вне проводника. 3)линии возникшего результирующего поля вне проводника перпендикулярны его поверхности.

На рис.29 представлено искажение однородного электрического поля после помещения в него незаряженного проводника произвольной формы, а на рис.30 – искажение поля положительного заряда после внесения в него незаряженного проводящего шара

14

Если извлечь внутреннюю часть проводника, то в процессе перераспределения свободных электронов ничего не изменится, поэтому аналогичные явления наблюдаются для любых проводников и сплошных, и полых, и даже в виде металлической сетки.

Такие же процессы происходят и при внесении в электрическое поле заряженных проводников.

РИС.29 РИС.30 РИС.31

Если внутри полого проводника, например сферической оболочки, находится точечный заряд q, то в проводнике также наблюдается электростатическая индукция (рис.31).

Выберем замкнутую поверхность внутри проводника, так как результирующее поле внутри равно нулю, то поток

должен также быть равен нулю.
Внутри выбранной поверхности находится точечный заряд и индукционные заряды. Тогда :	qi + q = 0

Это значит, что величина индукционного заряда на внутренней поверхности проводника равна величине точечного заряда. По закону сохранения заряда такова же величина индукционного заряда на внешней поверхности проводника.

Так как поверхность проводника эквипотенциальна, то линии результирующего поля как внутри него, так и снаружи перпендикулярны поверхности.

Под термином «заземление» понимают соединение проводника с очень большим удаленным телом (на практике – с поверхностью земли). В этом случае заряды с внешней поверхности проводника «уходят» и проводник может служить электростатической защитой внешнего пространства от поля внутреннего заряда.

САМОСТ.VI: 1.Теорема Ирншоу

2.Использование проводников в качестве электростатической защиты. 3.Устройство и использование электростатического генератора Р.Ван-де-Граафа.

§14 ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА И СИСТЕМЫ ПРОВОДНИКОВ.

Уединенным называется проводник, расположенный так далеко от других проводников, что их влиянием на распределение зарядов по его поверхности можно пренебречь.

Чтобы зарядить этот проводник, например, удалить с него некоторое количество электронов на бесконечно большое расстояние от проводника, необходимо совершить работу.

Как уже обсуждалось, это приводит к перераспределению электронов, в результате которого поля внутри проводника нет, полученный заряд располагается на поверхности, которая, как и объем, эквипотенциальна.

Опыт показывает, что величина потенциала проводника всегда пропорциональна полученному заряду, т.е. во сколько раз изменяется заряд, во столько же раз изменяется и потенциал проводника.

Этот коэффициент пропорциональности называется	электрической емкостью уединенного проводника и
численно равен заряду, который нужно сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал на 1 В.

C = q
ϕ	[С]=1 Кл/В=1Ф (Фарада)
Электрическая емкость – термин, исторически возникший из-за неправильного представления, что получение заряда
проводником эквивалентно заполнению его некоторой заряженной жидкостью.

Рассчитаем емкость уединенного шарика радиусом R.

Пусть заряд шарика q и если поблизости нет других проводников, то этот заряд равномерно распределен по поверхности. В этом случае напряженность поля вблизи поверхности:

Er =	kq				∞ r	r
		rr			ϕ = ∫Edl
				r = R ,
	r 3		,		R

Поскольку поле потенциальное, то интегрируем вдоль радиуса-вектора:

15

	ϕ = ∞∫	kq	dr =	kq		C =	q	= 4πε0 R
		2		R . Отсюда:
	R r					ϕ

Следовательно, емкость сферического проводника зависит только от его радиуса и не зависит от того сплошной он или полый, а также от того из какого проводник вещества.

Емкость - однозначная «геометрическая» характеристика проводника, так как зависит только от его формы, размеров, а также от среды, в которой находится проводник.

Емкость системы двух или нескольких проводников называется взаимной так как при перенесении заряда с одного проводника на другой изменяется потенциал каждого проводника и между ними возникает разность потенциалов и электрическое поле.

Взаимной емкостью двух проводников называется величина, численно равная заряду, который нужно перенести с

	C =	q	=		q
		ϕ1 −ϕ2		U ,
	одного проводника на другой, чтобы разность потенциалов между ними изменилась на 1В.

где U – напряжение равное при отсутствии движения зарядов разности потенциалов между проводниками.

Конденсатором называют систему двух или нескольких проводников, электроемкость которой не зависит от наличия других проводников, находящихся вне этой системы.

По форме проводников, образующих конденсатор, их называют плоскими, сферическими, цилиндрическими.

РИС.32

Плоский конденсатор – это две параллельные металлические пластины (обкладки), расположенные на расстоянии значительно меньшем, чем линейные размеры пластин.

Если считать пластины плоскостями с одинаковой по модулю поверхностной плотностью заряда, то напряженности поля каждой пластины равны по модулю. Тогда вне конденсатора результирующее поле равно нулю, а между обкладками поле однородное и его напряженность равна Ер=2Е (рис.33).

В реальном конденсаторе поле имеет такой характер лишь в средней области, а у краев конденсатора картина поля меняется, т.е. возникают так называемые краевые эффекты (рис.34).

РИС.33

РИС.34

Если расстояние между пластинами существенно меньше размеров пластин, то краевыми эффектами можно пренебречь.

E =	σ		σ	=	q
	ε0
		,			S
Разность потенциалов между пластинами равна:

d r r		σd		σS		ε		S
ϕ1 −ϕ2 = ∫Edl	=	ε0 ,	C =		=		0
				ϕ1 −ϕ2			d
0
На практике используется	последовательное		и параллельное соединение конденсаторов. В первом случае

конденсаторы включаются в цепь друг за другом и соединяются разноименно заряженные обкладки (рис.35).

16