РИС.44

РИС.45

РИС.46

Так диэлектрики однородные и изотропные, то вектор смещения совпадает по направлению с вектором напряженности и:

E

=

D1τ

E

=

D2τ

D1τ

=

D2τ

ε

ε

ε

ε

1τ

0

1 и

2τ

ε

0

ε

2

Второе граничное условие:

1

2

Применим теорему Остроградского-Гаусса для вектора смещения, учитывая,

что на границе сторонних зарядов нет

(рис.45):

∫∫Ddsr = 0

Выберем замкнутую поверхность в виде прямого цилиндра с образующими параллельными нормали, очень малой

высоты h→0 и площадью основания S.

В этом случае поток вектора смещения через боковую поверхность равен нулю и остается поток только через нижнее и

верхнее основания цилиндра.

∫∫Ddsr = ∫∫Ddsr + ∫∫Ddsr = D1S cos Θ1 − D2 S cos Θ2

= D1n − D2n = 0

1

2

Третье граничное условие:

D1n = D2n

Используя связь между векторами напряженности и смещения

ε0ε1E1n

= ε0ε2 E2n ,

E1n

=

ε2

получим четвертое граничное условие:

E2n

ε1

Таким образом, на границе двух сред скачком изменяются тангенциальные составляющие вектора смещения и

нормальные составляющие вектора напряженности.

Изменение направления векторов напряженности и смещения ведет к преломлению линий этих векторов (рис.46).

tgΘ1

=

E1τ

:

E2τ

=

ε1

tgΘ

=

D

D

=

ε

1

1τ

:

2τ

1

tgΘ

E

E

ε

2

2n

2

tgΘ

2

D

D

2n

ε

2

1n

1n

Различие линий векторов напряженности и смещения в том,

что если на границе нет сторонних зарядов,

то линии

вектора смещения лишь преломляются, но не прерываются.

Линии напряженности в этом случае прерываются на границе

и их

количество больше в среде с

меньшей

диэлектрической проницаемостью (рис.46).

Если на границе раздела есть сторонние заряды, то

D2n − D1n

= σ ,

E

−

E

=

σ +σ′

P1n

− P2n

= σ1′

−σ2′

= −σ′,где

σ′- результирующая плотность

2n

1n

ε0

,

поляризационных зарядов на границе диэлектриков.

§ 21 СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКИ.

Этот класс веществ получил свое название от сегнетовой соли

NaKC4H4O6·4H20. В настоящее время известно более сотни сегнетоэлектриков, из которых наиболее интересен для практического применения титанат бария BaTiO3, используемый в качестве генератора и приемника ультразвука.

Особенности сегнетоэлектриков: 1) >> 1 и ε >>1, 2)нелинейная зависимость диэлектрической проницаемости от напряженности поля,

23

РИС.47 РИС.48 РИС.49 3)диэлектрическая проницаемость зависит от температуры.

Температуры, при которых диэлектрическая проницаемость имеет максимальные значения, называются точками Кюри. Как правило, сегнетоэлектрики имеют одну точку Кюри. Например, для титаната бария это температура вблизи 120 С0. Исключение составляет сегнетова соль, имеющая две точки Кюри +24 С0 и – 18 С0, а также изоморфные с нею соединения.

4)зависимость векторов поляризации и смещения от напряженности поля нелинейная.

5) наблюдается явление гистерезиса, т.е. запаздывания изменения поляризации и смещения по сравнению с изменением напряженности поля. Поляризованность достигает насыщения при некоторой напряженности поля. При уменьшении напряженности до нуля сегнетоэлектрик сохраняет остаточную поляризацию, для снятия которой надо создать напряженность поля обратного направления и определенной величины, которая называется коэрцитивной силой (лат.coercitio – удерживаю). Если изменять напряженность поля далее, то кривая зависимости поляризации замыкается и образуется так называемая петля гистерезиса.

РИС.50 РИС.51

Сегнетоэлектрические свойства проявляют только монокристаллы, для которых характерна анизотропия. На рис.51 показана элементарная кристаллическая ячейка титаната бария.

При температуре выше точки Кюри кристаллическая решетка ячейки кубическая с симметричным распределением зарядов. При температуре ниже точки Кюри ион бария смещается в сторону одного из ионов кислорода, элементарная ячейка переходит в состояние тетрагональной симметрии, при котором симметрия распределения зарядов нарушается и ячейка становится диполем.

Это явление называется полиморфизмом, а точка Кюри представляет собой температуру, при которой происходит фазовый переход второго рода.

Сильное взаимодействие между ионами соседних ячеек вызывает согласованное смещение ионов титана в одном направлении, что приводит к образованию домена – макроскопической области спонтанной поляризации.

Размеры доменов порядка 10-4-10-3 мм и их можно наблюдать в поляризованном свете или при травлении поверхности сегнетоэлектрика кислотой.

Вклассической физике образование доменов объясняется меньшей энергией взаимодействующих диполей при таком расположении. В квантовой физике – обобществлением электронов в результате действия обменных сил.

Образование доменов возможно при условии, что энергия теплового движения не превышает энергию электрического взаимодействия. Размеры доменов определяются минимальной величиной полной энергии.

Вотсутствии внешнего поля дипольные моменты доменов ориентированы хаотически и результирующая поляризация всего сегнетоэлектрика равна нулю.

РИС.52 РИС.53

24

При помещении сегнетоэлектрика во	внешнее поле вектор	поляризации	определяется суммой спонтанной и
индуцированной поляризации: Pr = Prcn + Pu . В слабых полях		Pu =αE	и
Pr = Prcn +αEr , а следовательно	P ≠ ε0 E как характерно для несегнетоэлектриков.

При увеличении напряженности поля модуль вектора поляризации нелинейно возрастает (что обусловлено ростом энергетически более выгодных доменов за счет других), но лишь до максимального значения – поляризации насыщения. При этих условиях все домены преимущественно ориентированы по внешнему полю и поэтому при дальнейшем возрастании напряженности значение поляризации остается неизменным.

Если напряженность поля уменьшается, то поляризация также уменьшается, но ее изменение несколько «запаздывает» по сравнению с изменением напряженности, и при напряженности поля равной нулю поляризация сегнетоэлектрика не равна

нулю.
Наличие	остаточной поляризации Рост означает, что диэлектрик поляризован в отсутствии внешнего поля, т.е. как бы
«запомнил» состояние поляризованности во внешнем поле.
Рост<Рнас	потому, что обусловлена поляризацией лишь тех доменов, для которых энергия дипольного взаимодействия
больше энергии хаотического движения при данной температуре.

При ориентации доменов во внешнем поле энергия выделяется, поэтому для разориентации доменов также необходима энергия.

При изменении направления поля на противоположное поляризация уменьшается до нуля при Е=Ес. Коэрцитивная сила

– напряженность электрического поля, при которой поляризация диэлектрика равна нулю.

На практике доступнее наблюдение петли гистерезиса для величины вектора смещения, представленной на рисунке 53

Площадь петли гистерезиса равна работе на переполяризацию.

Как уже обсуждалось, для сегнетоэлектриков характерно наличие точек Кюри, т.е. температур, при которых резко изменяется диэлектрическая проницаемость. Следовательно, снять остаточную поляризацию также можно повышением температуры

САМОСТ.VII: 1.Пьезоэлектрики, электрострикция. 2.Пироэлектрики. 3.Антисегнетоэлектрики.

ТЕМА IV. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.

§22.ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СИСТЕМЫ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ.

Рассмотрим два неподвижных точечных заряда на некотором расстоянии друг от друга. Если они будут свободны, то за счет силы взаимодействия начнут перемещаться, следовательно, система обладает энергией.

Пусть заряды закреплены и расстояние между ними постоянно.

Энергию системы можно рассчитать как энергию второго заряда в поле первого и наоборот:				W2 = q2ϕ21 ,
W1	= q1ϕ12 , где		ϕ21 и ϕ12 потенциалы поля первого и второго	поля соответственно.
W =W =		kq1q2	=W
1	2	r

Так как заряды равноправны, то эту

энергию взаимодействия пары точечных зарядов можно представить как два

W =

1

q ϕ

+

1

q

ϕ

равноценных слагаемых:

2 1

12

2

2

21

Пусть есть три закрепленных точечных заряда

Энергию системы можно рассматривать как сумму энергий каждого заряда в поле двух других: W=W1+W2+W3

Найдем энергию каждого заряда в поле двух других

(ϕ

)=

kq1q2

kq1q3

W2

= q2 (ϕ21 +ϕ23 )=

kq2 q1

+

kq2 q3

W = q

+ϕ

+

r12

r32

12

13

,

,

1

1

r21

r31

W = q

3

(ϕ

31

+ϕ

32

)=

kq3q1

+

kq3q2

3

r13

r23 .

25

Поскольку

r12=r21, r13=r31,

r23=r32,

то

энергию взаимодействия всех трех зарядов также можно записать в виде трех

W =

1

(q ϕ

+ q

ϕ

+ q ϕ

)

равноценных выражений:

2

1

1

2

2

3

3

,

где ϕ1, ϕ2, ϕ3

- потенциалы результирующего поля в точках расположения зарядов.

1

n

W =

∑qiϕi

2

По аналогии энергия

взаимодействия

системы

n точечных

зарядов:

i

,

где

n

ϕi = ∑ϕij

j≠i

- потенциал результирующего поля в точке нахождения

i-того заряда.

§23 ЭНЕРГИЯ НЕПРЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАРЯДОВ, ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДНИКА, КОНДЕНСАТОРА.

Если заряды непрерывно распределены в некотором объеме с плотностью ρ=ρ(x,y,z) или с поверхностной плотностью σ=σ(x,y,z), то это аналогично системе точечных зарядов при n→∞.

Выделяем такие dv и ds, что соответствующие заряды можно считать точечными dq=ρ(x,y,z)dv dq=σ(x,y,z)ds.

W = 12 ∫∫∫dqϕ + 12 ∫∫dqϕ = 12 ∫∫∫ρ(x, y, z)ϕ(x, y, z)dv + 12 ∫∫σ(x, y, z)ϕ(x, y, z)ds

Так, в общем случае, можно рассчитать энергию взаимодействия зарядов непрерывно распределенных по объему и поверхности тела. Расчет по этой формуле дает в этом случае собственную энергию взаимодействия зарядов тела.

Если по этой формуле рассчитывать энергию взаимодействия, например, двух заряженных тел, то потенциал в месте расположения каждого элементарного заряда dq будет определяться всеми зарядами обоих тел.

В этом случае энергия взаимодействия зарядов состоит из двух собственных энергий взаимодействия зарядов каждого

тела и энергии взаимодействия зарядов одного тела с зарядами другого тела.	W=W1+W2+W12
ПРИМЕР 1. Найдем энергию заряженного проводника. Заряды расположены на его поверхности, а объем и поверхность
эквипотенциальны, т.е. ϕ=const. Тогда:

W =

1

∫∫dqϕ = ϕ ∫∫σds

=

ϕq

2

2

2

, где q – заряд проводника, ϕ - потенциал проводника при условии, что ϕ∞=0.

Можно рассчитать энергию заряженного проводника как работу по его зарядке: A=∆W=W-0=W.

Пусть проводник емкостью С заряжен и имеет соответственно некоторый потенциал

потенциал ϕ.

Чтобы увеличить его

заряд на

dq

нужно совершить

работу

δΑ=dqϕ

по перемещению этого заряда

из бесконечности.

Тогда:

W = A = ∫dqϕ = ∫dq

q

=

q2

=

qϕ

C

2C

2

Эти формулы дают значение собственной энергии зарядов проводника.

ПРИМЕР

2.

Рассчитаем

энергию заряженного

плоского конденсатора

как

работу

по его

зарядке.

∫

∫

q q2

q(ϕ1 −ϕ2 )

W = A =

dq(ϕ1 −ϕ2)

=

dq

C

=

2C

=

2

Эти формулы определяют полную энергию взаимодействия зарядов: не только энергию взаимодействия зарядов одной обкладки с зарядами другой, но и энергию взаимодействия зарядов каждой обкладки.

§ 24 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ, ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ТЕЛ.

Взаимодействие зарядов осуществляется посредством поля, которое, как материальный объект, должно обладать энергией.

В плоском конденсаторе, если пренебречь краевыми эффектами, однородное электрическое поле сосредоточено в пространстве между пластинами.

Выразим энергию конденсатора через напряженность поля, используя формулы:

W =

q(ϕ

1

−ϕ

2

)

qU CU 2

C =

ε0εS

=

=

U = Ed ,

d ,

2

2

2 ,

26

W =

ε

0

εSE

2 d 2

=

ε

0

εE 2

V

2d

2

Тогда:

,

где V=Sd - объем пространства, в котором сосредоточено

электрическое поле конденсатора (пренебрегая краевыми эффектами).

ω =

ε

0

εE 2

=

ED

В этом случае величина

2

2

представляет собой объемную плотность энергии электрического

поля.

Важно отметить,

что это свидетельствует о локализации энергии в пространстве, в котором существует электрическое

поле.

Действительно,	эксперименты, особенно с переменными во времени полями, которые могут существовать независимо от
зарядов и распространяться в пространстве, показывают, что носителем энергии является поле.
Если электрическое поле не однородно,		но существует в пространстве,		заполненном изотропным диэлектриком, то
можно выделить	такой малый объем	dV, в котором	поле	можно считать однородным. Тогда:

	r r					ED
dW = ωdV =	ED	dV		W = ∫∫∫ωdV = ∫∫∫			dV
						2
	2
			,	V	V

Необходимо отметить, что при создании поля в изотропном диэлектрике необходима дополнительная работа на его
							r	= ε0 E + P , то
поляризацию в каждой единице объема, которую можно вычислить,							если учесть, что : D
ω =	ε	0	E 2	+	EP
			2		2 .

Первое слагаемое в этом выражении представляет плотность энергии поля в вакууме, тогда второе слагаемое – это работа на поляризацию единичного объема диэлектрика.

Рассмотрим систему из двух заряженных тел, создающих в пространстве электростатические поля. Согласно принципу

суперпозиции, в этом случае, в каждой точке пространства результирующее поле:

E = Er1 + Er2

Полная энергия этой системы:

ε0 (ErEr)dV =

W =

∫∫∫

ε0 E 2

dV =

∫∫∫

∫∫∫

ε0 E12

dV +

∫∫∫

ε0 E22 dV +

∫∫∫

ε Er

Er

dV

2

2

2

2

0

1

2

Как уже обсуждалось в предыдущем параграфе, первые два интеграла в этом выражении представляют собой собственные энергии первого и второго заряженных тел, а последний интеграл - это энергия их взаимодействия.

Анализ данной формулы позволяет сделать следующие выводы:

1.Собственная энергия каждого заряженного тела и полная энергия системы всегда положительны. Энергия взаимодействия может быть и положительной и отрицательной.

2.Если распределение зарядов на телах не изменяется при их возможных перемещениях, то собственная энергия постоянна. Изменение энергии системы определяется только изменениями энергии взаимодействия тел.

Это и происходит, если заряженные тела можно рассматривать как точечные заряды.

3.Энергия электрического поля – не аддитивная величина, т.е. энергия результирующего поля, в общем случае, не равна сумме энергий двух полей.

Представление о локализации энергии в поле позволяет не только находить величину энергии, заключенную в конкретных объемах пространства, но и рассчитывать работу против электрических сил при различных перемещениях заряженных тел :

A = ∆W =W2 −W1

Кроме того, если заряды на проводниках остаются постоянными, а при их медленных перемещениях можно пренебречь преобразованием электрической энергии в другие формы, то работа электрических сил совершается за счет убыли электрической энергии системы и можно рассчитать эту силу:

	δA = −dW = Fx dx	F	= −	∂W
				∂x ,
		,
		x

где Fx – проекция искомой силы на малое перемещение вдоль оси ОХ.

Поскольку сила зависит лишь от взаимного расположения и распределения зарядов, то ее нахождение в этом случае сводится к нахождению изменения энергии при условии постоянства величины заряда.

КОЛЛОКВИУМ.

27