3Акон распределения случайных погрешностей

Полностью избежать или исключить совершенно случайные погрешности невозможно, так как факторы, их вызывающие, не поддаются учёту и носят случайный характер. Возникает вопрос: как уменьшить влияние случайных погрешностей на окончательный результат измерения и как оценить точность и достоверность последнего? Ответ на этот вопрос даёт теория вероятностей. Теория вероятностей — это математическая наука, выясняющая закономерности случайных событий (явлений), которые проявляются при действии большого числа случайных факторов.

Случайные погрешности измерений относятся к группе не­прерывных величин. Непрерывные величины характеризуются бесчисленным множеством возможных значений. Вероятность любого значения непрерывной случайной величины бесконечно мала. Поэтому, чтобы выявить распределение вероятностей для какой-то непрерывной случайной величины, например, величины , рассматривают ряд интервалов значений этой величины и подсчитывают частоты попадания значений величины в каждый интервал . Таблица, в которой приведены интервалы в порядке их распределения вдоль оси абсцисс и соответствующие им частоты, называется статистическим рядом (табл.1).

Таблица 1

Интервалы I			. . . . . . .		. . . . . . .
Частоты Р*			. . . . . . .		^. . . . . . .

Статистический ряд графически представляется в виде ступенчатой кривой, которую называют гистограммой. При построении гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы возможных значений случайной величины, а по оси ординат — частоты или число случаев, когда значение случайной величины попадает в данный интервал. Для большинства интересующих нас случайных погрешностей гистограмма имеет вид, показанный на рис. 1. На этом рисунке высота, а следовательно, и площадь прямоугольника для каждого интервала ошибок пропорциональны числу опытов, в которых данная ошибка наблюдалась.

При увеличении числа опытов (измерений) и уменьшении интервала разбиения оси абсцисс гистограмма теряет свой ступенчатый характер и стремится (переходит) к плавной кривой (рис. 2). Такую кривую называют кривой плотности распределения для данной случайной величины, а уравнение, описывающее эту кривую, называется законом распределения случайной величины.

Считается, что случайная величина полностью определена, если известен закон её распределения. Этот закон может быть представлен (задан) в интегральной или дифференциальной форме. Интегральный закон распределения случайной величины обозначается символом и называется функцией распределения. Производная функция от называется плотностью вероятности случайной величины X или дифференциальным законом распределения:

.

При решении многих практических задач нет необходимости характеризовать случайную величину исчерпывающим образом. Достаточно бывает указать только её некоторые числовые характеристики, например, её математическое ожидание (можно писать ) и дисперсию (можно писать).

Для непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности математическое ожидание вычисляется по формуле

. (3)

Для непрерывной случайной величины X дисперсия определяется по формуле:

. (4)

Положительный квадратный корень из дисперсии обозначается символом и называется средним квадратическим отклонением (сокращенно с. к. о.):

. (5)

При конечном числе опытов в качестве оценки принимают среднее арифметическое наблюденных (измеренных) значений , т. е.

. (6)

Для оценки дисперсии (с. к. о.) используют формулу

. (7)

Следует иметь в виду, что среднее арифметическое случайной величины само является случайной величиной, так как вычисляется на основании ограниченного числа опытов. Разброс значений величины характеризуют средним квадратическим отклонением , которое связало с упомянутым выше соотношением:

. (8)

При ограниченном числе опытов в качестве оценки принимают отношение

. (9)

Согласно закону больших чисел все три оценки при увеличении числа опытов приближаются (сходятся по вероятности) соответственно к и

Практика обработки статистических данных показывает, что числовые характеристики случайной величины ( и ) существенно зависят от вида предполагаемого закона распределения рассматриваемой случайной величины.

Предельная кривая, к которой в большинстве случаев стремятся гистограммы случайных погрешностей измерений физических величин при неограниченном увеличении числа опытов, имеет колоколообразный вид и называется кривой Гаусса (рис. 2). Аналитическое выражение этой кривой называется законом распределения Гаусса или законом нормального распределения. Для случайной величины этот закон можно записать в виде:

. (10)

где — плотность вероятности; и — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение — параметры нормального распределения, физический смысл и способ вычисления которых были пояснены выше.

При рассмотрении свойств и характеристик распределения случайных погрешностей мы ограничимся только нормальным законом, так как случайные погрешности измерений чаще всего распределяются нормально (по закону Гаусса). Это означает:

1) случайная погрешность измерения может принимать любые значения в интервале

2) случайные погрешности, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, равновероятны, то есть встречаются одинаково часто;

3) чем больше по абсолютной величине случайные погрешности, тем они менее вероятны, то есть встречаются реже.