Обработка результатов прямых измерений
В общем случае порядок обработки результатов прямых измерений следующий (предполагается, что систематических ошибок нет).
Случай 1. Число измерений меньше пяти.
1) По формуле (6) находится средний результат x, определяемый как среднее арифметическое от результатов всех измерений, т.е.
.
2) По формуле (12) вычисляются абсолютные погрешности отдельных измерений
.
3) По формуле (14) определяется средняя абсолютная погрешность
.
4) По формуле (15) вычисляют среднюю относительную погрешность результата измерений
.
5) Записывают окончательный результат по следующей форме:
,
при
.
Случай 2. Число измерений свыше пяти.
1) По формуле (6) находится средний результат
.
2) По формуле (12) определяются абсолютные погрешности отдельных измерений
.
3) По формуле (7) вычисляется средняя квадратическая погрешность единичного измерения
.
4) Вычисляется среднее квадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле (9).
.
5) Записывается окончательный результат по следующей форме
.
Иногда
случайные погрешности измерений могут
оказаться меньше той величины, которую
в
состоянии
зарегистрировать измерительный прибор
(инструмент). В этом случае при любом
числе измерений получается один и тот
же результат. В подобных случаях в
качестве средней абсолютной погрешности
принимают
половину цены деления шкалы прибора
(инструмента). Эту величину иногда
называют предельной или приборной
погрешностью и обозначают 
(для
нониусных приборов и секундомера 
равна
точности прибора).
Оценка достоверности результатов измерений
В любом эксперименте число измерений физической величины всегда по тем или иным причинам ограничено. В связи с этим может быть поставлена задача оценить достоверность полученного результата. Иными словами, определить, с какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом ошибка не превосходит наперед заданную величину ε. Упомянутую вероятность принято называть доверительной вероятностью. Обозначим её буквой .
Может
быть поставлена и обратная задача:
определить границы интервала
,
чтобы с заданной вероятностью
можно
было утверждать, что истинное значение
измерений величины 
не
выйдет за пределы указанного, так
называемого доверительного интервала.
Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность — его надёжность. Методы решения этих двух групп задач имеются и особенно подробно разработаны для случая, когда погрешности измерений распределены по нормальному закону. Теория вероятностей даёт также методы для определения числа опытов (повторных измерений), при которых обеспечивается заданная точность и надёжность ожидаемого результата. В данной работе эти методы не рассматриваются (ограничимся только их упоминанием), так как при выполнении лабораторных работ подобные задачи обычно не ставятся.
Особый
интерес, однако, представляет случай
оценки достоверности результата
измерений физических величин при весьма
малом числе повторных измерений.
Например,
.
Это именно тот случай, с которым мы часто
встречаемся при выполнении лабораторных
работ по физике. При решении указанного
рода задач рекомендуется использовать
метод, в основе которого лежит распределение
(закон) Стьюдента.
Для
удобства практического применения
рассматриваемого метода имеются таблицы,
с помощью которых можно определить
доверительный интервал 
,
соответствующий заданной доверительной
вероятности или решить обратную задачу.
Ниже приведены те части упомянутых таблиц, которые могут потребоваться при оценке результатов измерений на лабораторных занятиях.
Пусть,
например, произведено 
равноточных
(в одинаковых условиях) измерений
некоторой физической величины 
и
вычислено её среднее значение 
.
Требуется
найти доверительный интервал 
,
соответствующий заданной доверительной
вероятности .
Задача
в общем виде решается так.
По формуле с учётом (7) вычисляют
Затем
для заданных значений n
и находят по таблице (табл. 2) величину
.
Искомое значение вычисляется на основе
формулы
(16)
При
решении обратной задачи вначале вычисляют
по формуле (16) параметр . Искомое значение
доверительной вероятности берётся из
таблицы (табл. 3) для заданного числа 
и вычисленного параметра 
.
Таблица
2.
Значение
параметра при заданных числе опытов 
и доверительной вероятности
|
n |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0.98 |
0,99 |
0.995 |
0,999 |
|
2 |
1,000 |
1,376 |
1,963 |
3,08 |
6,31 |
12,71 |
31,8 |
63,7 |
127,3 |
637,2 |
|
3 |
0,816 |
1,061 |
1,336 |
1,886 |
2,91 |
4,30 |
6,96 |
9,92 |
14,1 |
31,6 |
|
4 |
0,765 |
0,978 |
1,250 |
1,638 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
7,5 |
12,94 |
|
5 |
0,741 |
0,941 |
1,190 |
1,533 |
2,13 |
2,77 |
3,75 |
4,60 |
5,6 |
8,61 |
|
6 |
0,727 |
0,920 |
1,156 |
1,476 |
2,02 |
2,57 |
3,36 |
4,03 |
4,77 |
6,86 |
|
7 |
0.718 |
0,906 |
1,134 |
1,440 |
1,943 |
2,45 |
3,14 |
3,71 |
4,32 |
5,96 |
|
8 |
0,711 |
0,896 |
1,119 |
1,415 |
1,895 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
4,03 |
5,40 |
|
9 |
0,706 |
0,889 |
1,108 |
1,397 |
1,860 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
3,83 |
5,04 |
|
10 |
0,703 |
0,883 |
1,110 |
1,383 |
1,833 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
3,69 |
4,78 |
Таблица 3 Значение доверительной вероятности при заданном числе опытов n и параметре ε
|
n |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
|
2 |
0,705 |
0,758 |
0,795 |
0,823 |
|
3 |
0,816 |
0,870 |
0,905 |
0,928 |
|
4 |
0,861 |
0,912 |
0,942 |
0,961 |
|
5 |
0,884 |
0,933 |
0,960 |
0,975 |
|
б |
0,898 |
0,946 |
0,970 |
0,983 |
|
7 |
0,908 |
0,953 |
0,976 |
0,987 |
|
8 |
0,914 |
0,959 |
0,980 |
0,990 |
|
9 |
0,919 |
0.963 |
0,983 |
0,992 |
|
10 |
0,923 |
0,969 |
0,985 |
0,993 |
