Обработка результатов косвенных измерений
Очень редко содержание лабораторной работы или научного эксперимента сводится к получению результата прямого измерения. Большей частью искомая величина является функцией нескольких других величин.
Задача обработки опытов при косвенных измерениях заключается в том, чтобы на основании результатов прямых измерений некоторых величин (аргументов), связанных с искомой величиной определённой функциональной зависимостью, вычислить наиболее вероятное значение искомой величины и оценить погрешность косвенных измерений.
Существует несколько способов обработки косвенных измерений. Рассмотрим следующие два способа.
Пусть по методу косвенных измерений определяется некоторая физическая величина.
Результаты прямых измерений ее аргументов х, у, z приведены в табл. 4.
Таблица 4
|
Номер опыта |
x |
y |
z |
… |
|
1 |
|
|
|
… |
|
2 |
|
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
n |
|
|
|
… |
Первый способ обработки результатов заключается в следующем. С помощью расчетной (17) формулы вычисляют искомую величину по результатам каждого опыта
(17)
Далее
обычным методом можно вычислить её
наивероятнейшее —
значение
,
а такжесреднюю
погрешность, используя формулы (9) или
(14).
Описанный способ обработки результатов применим, в принципе, во всех без исключения случаях косвенных измерений. Однако наиболее целесообразно применять его тогда, когда число повторных измерений аргументов небольшое, а расчётная формула косвенно измеряемой величины сравнительно проста.
При
втором способе обработки результатов
опытов вначале вычисляют, используя
результаты прямых измерений (табл. 4),
средние арифметические значения каждого
из аргументов, а также погрешности их
измерения. Подставив 
,
,
,...
в расчетную формулу (17), определяют
наиболее вероятное значение измеряемой
величины
(17*)
и выполняют оценку результатов косвенных измерений величины.
Второй способ обработки результатов применим лишь к таким косвенным измерениям, при которых истинные значения аргументов от измерения к измерению остаются постоянными.
Погрешности
косвенных измерений величины 
зависят
от погрешностей прямых измерений её
аргументов.
Если
систематические погрешности измерений
аргументов исключены, а случайные
погрешности измерения этих аргументов
не зависят друг от друга (некореллированы),
то ошибка косвенного измерения величины
определяется в общем случае по формуле:
,
(18)
где 
,
,
— частные производные; 
,
,
– средние квадратические погрешности
измерения аргументов
,
,
,
…
Относительная погрешность вычисляется по формуле
(19)
В
ряде случаев значительно проще (с точки
зрения обработки результатов измерений)
вычислить вначале относительную
погрешность 
,
а затем, используя формулу (19), абсолютную
погрешность результата косвенного
измерения:
(20)
При этом формулы для вычисления относительной погрешности результата составляются в каждом отдельном случае в зависимости от того, каким образом искомая величина связана своими аргументами. Имеются таблицы формул относительных погрешностей для наиболее часто встречающихся видов (структуры) расчётных формул (табл. 5).
Таблица
5 Определение
относительной погрешности 
,
допускаемой при вычислении приближенной
величины
,
зависящей от приближённой
.
|
Характер связи главной величины с приближенными величинами |
Формула для определения относительной погрешности |
|
Сумма:
|
|
|
Разность:
|
|
|
Произведение:
|
|
|
Частное:
|
|
|
Степень:
|
|
