metodyka_navchannya_rozvyazuvannya_zadach-1

								221
8 ?			?		схематичний рисунок.
					Якщо	після		про-
7		?	+	?	веденої	роботи		учні
					можуть		відразу
?					перейти	до	розбиття
6	8	·	7	6 · 9	задачі на підзадачі, то
9					складається			план
?	?				розв’язування і			діти
					переходять		до	його
					запису; в іншому разі
?					учні	виконують
					аналітичний			або

синтетичний пошук розв’язування задачі і лише після цього розбивають задачу на підзадачі і так далі.

Робота над задачею після її розв’язання передбачає її дослідження шляхом зміни величин задачі або числових даних з метою формування уміння узагальнювати математичну структуру задачі і спосіб її розв’язування. Пропонуємо учням розглянути короткий запис аналогічної задачі, яка містить ті самі числові дані, але інші величини, і визначити, як ця зміна вплине на розв’язання задачі.

Вартість Ціна Кількість

(грн.) (грн.)

				(шт.)
	Л.	?	8 грн.	7 шт.
			?
	М.	?	6 грн.	9 шт.

Учні впевнюються, що її розв’язувати немає необхідності: розв’язання ми вже маємо, лишилося лише змінити пояснення.

Потім учням пропонується короткий запис аналогічної задачі з тими самими величинами, що й попередня, але з іншими числовими даними і дослідити, як ця зміна вплине на план розв’язування задачі.

		Вартість	Ціна	Кількість	Школярі з’ясовують, що ця зміна
		(грн.)	(грн.)	(шт.)	вимагає змінити відповідні числа
					у	арифметичних		діях,	а
	Л.	?	9 грн.	5 шт.
					пояснення		залишити		тими
		?
					самими.
	М.	?	4 грн.	7 шт.

222

Але і в першому, і в другому випадках загальний план розв’язування задачі не змінюється. Отже, зміна величин задачі та зміна числових даних при заданих зв’язках між ними не впливають на спосіб розв’язування задачі: першою дією знаходимо значення загальної величини у першому випадку (дією множення), другою дією знаходимо значення загальної величини у другому випадку (дією множення), а третьою дією знаходимо суму значень загальних величин у двох випадках (дією додавання). Учні визначають істотні ознаки задач даної математичної структури та формулюють узагальнений план розв’язування (мал. 38).

	Загальна		....				кількість
	....		1
								час
І	1) ?
		3)?
ІІ	2)?

?	План розв’язування
	1) значення	загальної
	величини	у першому
	випадку,	дією

?множення; 2) значення загальної

		величини	у другому
?	?	випадку,	дією
		множення;
		3) суму	загальних

?значень, відповімо на запитання задачі.

Мал. 38. Опорна схема та план розв’язування задач на знаходження суми двох добутків

Істотні ознаки задач даної математичної структури:

1)для першого випадку відомі значення двох величин: величини однієї одиниці та кількості або часу;

2)для другого випадку відомі значення двох величин: величини однієї одиниці та кількості або часу;

3)шуканим є сума загальних значень величин для обох випадків.

Далі учні застосовують узагальнений план при розв’язуванні задач на знаходження суми двох добутків, а також складають і розв’язують чотири обернені задачі – дві на знаходження величини однієї одиниці (в першому або в другому випадках) та дві – на знаходження кількості або часу (в першому або в другому випадках). Наприклад:

223

Пряма задача. Хлопчик купив 7 олівців по 3 гривні за кожний та 4 ручки по 5 гривень. Скільки грошей заплатив хлопчик за всю покупку?

Перша обернена задача. Хлопчик купив 7 олівців по 3 грн. за кожний та 4 ручки. Скільки грошей коштувала ручка, якщо за всю покупку хлопчик заплатив 41 грн.?

		Вартість	Ціна	Кількість	Робота	над за-
		(грн.)	(грн.)	(шт.)
					дачею	будується
					за пам’яткою №3.
	Олівці	?	3 грн.	7 шт.
		41 грн.
	Ручки	?	?	4 шт.

??

41		?
?	?	:	4
3
7	41 -	?
?
?	3	·	7
4

Першою дією дізнаємося про вартість олівців. Покажемо це на короткому записі. Другою дією дізнаємося про вартість ручок. Покажемо це на короткому записі. Третьою дією дізнаємося про ціну ручки. Покажемо це на короткому записі.

	Вартість (грн.)		Ціна (грн.)	Кількість (шт.)
1)	?		3 грн.	7 шт.
	41 грн.
2)	?	3)	?	4 шт.

Друга обернена задача. Хлопчик купив 7 олівців та 4 ручки по 5 грн. за кожну ручку. Скільки коштує олівець, якщо за всю покупку він заплатив 41 грн.?

Складаємо короткий запис цієї задачі. Показуємо прості задачі на короткому записі і розказуємо план розв’язування задачі.

224

Вартість (грн.)			Ціна (грн.)		Кількість (шт.)
	2)	?	3)	?	7 шт.
		41 грн.
	1)	?		5 грн.	4 шт.

Порівнявши першу та другу обернені задачі, встановлюємо, що в обох задачах шуканою є ціна, але в першій – ціна ручок, а в другій – ціна олівців. Тому, першою дією дізнаємося про вартість в одному випадку; другою дією дізнаємося про вартість в іншому випадку; третьою дією відповімо на запитання задачі і дізнаємося про ціну.

Далі учням пропонується розглянути таблицю і встановити, що змінилося і що залишилося без змін; дослідити як ця зміна вплине на розв’язання задачі.

Загальний виробіток			Продуктивність праці		Час (год.)
		(шт.)	(шт. за 1 год.)
	2)	?	3)	?	7 год.
		41 шт.
	1)	?		5 шт.	4 год.

(Власно розв’язання не зміниться, але пояснення слід поправити. Загальний план розв’язування не змінюється).

Аналогічне завдання ставиться і до наступної таблиці:

Загальний виробіток			Продуктивність праці		Час (год.)
		(шт..)	(шт.. за 1 год.)
	2)	?	3)	?	6 год.
		70 шт.
	1)	?		8 шт.	5 год.

(План розв’язування, арифметичні дії не зміняться, але слід замінити відповідні числа).

Порівнявши короткі записи та плани розв’язування першої та другої обернених задач, учня розглядають, як узагальнили їх математичну структуру і плани розв’язування (мал. 39).

Істотні ознаки обернених задач на знаходження величини однієї одиниці:

1)Для одного з випадків дані значення двох величин: величини 1 одиниці та кількості або часу;

2)Для іншого випадку дано лише кількість або час, а значення величини 1 одиниці є шуканим;

3) Дано значення суми двох загальних величин.									225
	Загальна ....		кількість		?	?	План розв’язування
							1) значення загальної ве-
	....	1		час
							личини в одному з ви-
1	1) ?
ІІ	2)?	3)?			?		падків, дією множення;
							2) значення загальної ве-
							личини в іншому випад-
							ку, дією віднімання;
					?		3) значення величини			1
							одиниці,	відповімо		на
					?
							запитання	задачі,	дією
							ділення.
		Мал. 39.		Опорна схема та план розв’язування обернених
	задач на знаходження суми двох добутків, в яких шуканою є величина
					однієї одиниці

Аналогічно працюємо над наступними оберненими задачами: Третя обернена задача. Хлопчик купив олівці по 3 грн. за кожний

та 4 ручки по 5 грн. за кожну ручку. Скільки олівців купив хлопчик, якщо за всю покупку він заплатив 41 грн.?

Четверта обернена задача. Хлопчик купив 7 олівців по 3 грн. за кожний та 4 ручки. Скільки грошей коштувала ручка, якщо за всю покупку хлопчик заплатив 41 грн.?

Істотні ознаки обернених задач на знаходження суми двох добутків, в яких шуканою є кількість або час:

1)для одного з випадків дані значення двох величин: величини однієї одиниці та кількості або часу;

2)для іншого випадку дано лише значення величини однієї одиниці, а кількість або час є шуканим;

3)дано значення суми двох загальних величин.

	226
		Загальна	....	кількість	?	?	План розв’язування
		....	1	час			1) значення		загальної
	І	?
							величини	в	одному з
	ІІ	?		?	?		випадків,		дією
							множення;
							2) значення		загальної
					?		величини	в	іншому
							випадку,		дією
							віднімання;
					?		3) значення		величини
							однієї		одиниці,
	Мал. 40. Опорна схема та план розв’язування						відповімо на запитання
							задачі, дією ділення.
	обернених задач на знаходження суми двох
	добутків, в яких шуканою є кількість або час

На наступному етапі на основі порівняння між собою узагальненої математична структури і плану розв’язування прямої задачі та обернених задач, можна узагальнити математичну структуру таких задач, визначаючи їх істотні ознаки, та сформулювати узагальнений план розв’язування (мал.41).

								План розв’язування
	Загальна	....		кількість
	....	1					1)	значення загальної величини в одному з
				час
І	?	а	в				випадків;
	р						2)	значення загальної величини в іншому
ІІ	?	с	к				випадку;
							3)	відповімо на запитання задачі.

Мал.41 Опорна схема задач на знаходження суми двох добутків та обернених до них

або а, або в, або с, або к, або р – шукане число.

Істотні ознаки задач даної математичної структури:

1)для одного з випадків дані значення двох величин: величини однієї одиниці та кількості або часу;

2)для іншого випадку дано або значення двох величин – величини однієї одиниці та кількості або однієї з них, тоді інша є шуканою;

3)сума значень загальних величин є шуканою або її значення

дано.

227

Треба зазначити, що учням пропонуються узагальнені таблиці, істотні ознаки задач даної математичної структури та узагальнені плани розв’язування задач у готовому вигляді; від них вимагається їх розглянути, звернути увагу на узагальнені формулювання. Таким чином здійснюється етап попереднього ознайомлення з дією визначення істотних ознак задачі та узагальнення її математичної структури та з дією узагальнення способу розв’язування задачі даної математичної структури.

Засвоєння цих дій у матеріалізованій формі відбувається під час ознайомлення з задачами на різницеве порівняння двох добутків та оберненими до них задачами.

Задачі на різницеве порівняння двох добутків та обернені до них

Задачі нової математичної структури вводяться на основі перетворення задачі на знаходження суми двох добутків у задачу на різницеве порівняння двох добутків. Наприклад: Коню на день потрібно 8 кг вівса і 4 кг сіна. Скільки кілограмів вівса та сіна потрібно коню на тиждень?

Після розв’язання задачі відомого виду (на знаходження суми двох добутків) учням пропонується змінити запитання так, щоб остання дія стала дією віднімання. Наприклад: Коню на день потрібно 8 кг вівса і 4 кг сіна. На скільки більше вівса, ніж сіна потрібно коню на тиждень?

Діти вносять зміни у короткий запис попередньої задачі, а також у схематичний рисунок, і після цього розбивають її на підзадачі та формулюють кожну, складають план розв’язування і записують його. Далі йде робота з узагальнення математичної структури задачі та способу її розв’язування на основі зміни величин задачі та числових даних. На відміну від попереднього етапу, учні вже самі обирають групу пропорційних величин, замінюють назви у відповідних стовпчиках таблиці і вносять відповідні корективи у розв’язання задач, а також роблять висновки щодо плану розв’язування задач, що містять одній й ті самі величини, але різні числові дані (це здійснюється на картках з друкованою основою, де вже подана таблиця з даними числами але без відповідних величин – мал. 42).

Самостійно порівнявши короткі записи розглянутих задач, діти складають узагальнену таблицю і на її основі формулюють істотні ознаки задач даної математичної структури. Порівнявши плани

228

розв’язування цих задач, складають узагальнений план розв’язування

(мал. 43).

	................
	?	8	7
		на ?
	?	4	7
		Розв’язання:
1)	8 · 7 = 56 __________
2)	4 · 7 = 28 _________
3)	56 - 28 = 28 ________
Відповідь:______________________________

	................
	?
	на ?
	?
	Розв’язання:
1)	_ · _ = __ ___________
2)	_ · _ = __ ___________
3)	__ - __ = __ _________
Відповідь:__________________

Мал. 42. Зразок карток з друкованою основою

	Загальна		....				кількість
	....		1
								час
І	?
		на ?
ІІ	?

?	План розв’язування
	1) значення
	загальної величини у

?першому випадку, дією множення;

		2)	значення
?		загальної		величини у
		другому		випадку,
		дією множення;
	?	3)	різницю
		загальних		значень,
		відповімо		на

?запитання задачі.

Мал. 43.Опорна схема та план розв’язування задач на різницеве порівняння двох добутків

Істотні ознаки задач на різницеве порівняння двох добутків:

1)для першого випадку відомі значення двох величин: величини однієї одиниці та кількості або часу;

2)для другого випадку відомі значення двох величин: величини однієї одиниці та кількості або часу;

3)шуканим є різниця загальних значень величин для обох випадків.

Можна запропонувати порівняти короткі записи та плани розв’язування задач на знаходження суми двох добутків та на

229

різницеве порівняння двох добутків і з’ясувати що в них спільного та чим вони відрізняються, результатом такої роботи є узагальнений план розв’язування.

На наступному етапі учням пропонується розв’язати задачу на різницеве порівняння двох добутків, користуючись узагальненим планом, та скласти і розв’язати чотири обернені задачі. Наприклад:

Пряма задача. Майстер за годину виготовляє 6 деталей, а учень – 2 деталі. Майстер працював повний робочий день – 8 годин, а учень – 4 години. На скільки менше деталей за день зробив учень, ніж майстер?

Перша обернена задача. Майстер працював повний робочий день

– 8 годин, а учень – 4 години. Учень виготовив на 40 деталей менше, ніж майстер. Скільки деталей за годину роботи виготовляв учень, якщо майстер за годину виготовляє 6 деталей?

Друга обернена задача. Майстер працював повний робочий день – 8 годин, а учень – 4 години. Учень виготовив на 40 деталей менше, ніж майстер. Скільки деталей за годину роботи виготовляв майстер, якщо учень за годину виготовляє 2 деталі?

Порівнявши першу і другу обернені задачі на знаходження величини однієї одиниці і узагальнивши їх математичну структуру, визначаємо їх істотні ознаки та плани розв’язування ( мал.44).

Загальна

....

кількість

?

....

1

час

І

?

ІІ

?, на

?

б.(м.)

?

стільки ж та

?

?

План розв’язування

1)значення загальної величини в одному з випадків, дією множення;

2)значення загальної величини в іншому випадку, дією додавання або віднімання;

3)значення величини

однієї	одиниці,
відповімо	на запитання

задачі, дією ділення.

Мал. 44. Опорна схема та план розв’язування обернених задач на різницеве порівняння двох добутків, в яких шуканою є величина однієї одиниці

230

Істотні ознаки задач даної математичної структури:

1)для одного з випадків дані значення двох величин: величини однієї одиниці та кількості або часу;

2)для іншого випадку дано лише кількість або час, а значення величини однієї одиниці є шуканим;

3)дано значення різниці двох загальних величин.

Можна порівняти розглянуту обернену задачу до задачі на різницеве порівняння двох добутків з відповідною оберненою задачею на знаходження суми двох добутків і узагальнити їх математичні структури, істотні ознаки та план розв’язання.

Третя обернена задача. Майстер за годину виготовляє 6 деталей, а учень – 2 деталі. Учень виготовив на 40 деталей менше, ніж майстер. Скільки годин працював майстер, якщо учень працював 4 години?

Четверта обернена задача. Майстер за годину виготовляє 6 деталей, а учень – 2 деталі. Учень виготовив на 40 деталей менше, ніж майстер. Скільки годин працював учень, якщо майстер працював 8 годин?

Робота над оберненими задачами здійснюється за пам’яткою №3. Після розв’язання, порівнявши дві обернені задачі до задач на різницеве порівняння двох добутків на знаходження часу або кількості, узагальнюємо їх математичну структуру та план розв’язування (мал. 45).

План розв’язування

?

Загальна

....

кількість

1) значення

загальної

....

1

час

величини в одному з

І

?

випадків,

дією

мно-

ІІ

?, на

?

?

ження;

б.(м.)

2) значення

загальної

стільки ж та

величини

в

іншому

випадку,

дією

дода-

?вання або віднімання; 3) значення величини

кількості або часу, відповімо на запитання

?задачі, дією ділення.

Мал. 45. Опорна схема та план розв’язування обернених задач на різницеве порівняння двох добутків, в яких шуканою є кількість або час