metodyka_navchannya_rozvyazuvannya_zadach-1

51

Розв’язання задачі складається з наступних етапів:

І етап – це переклад умови задачі у графічну модель, тобто схему.

Схема, на відміну від креслення, не вимагає спеціальних креслярських приладів і точного дотримання заданих відношень. Схема може виконуватися від руки, вказувати і відображувати задані відношення.

ІІ етап – це перетворення однієї графічної моделі в другу. Цей етап можна пропустити, якщо необхідності у перетворенні немає або вона відпала у зв’язку із згорнутістю дії.

ІІІ етап – складання буквено-знакової моделі (формули), тобто

складання рівняння.

ІУ етап – розв’язання складеного рівняння. Цей етап може співпадати із попереднім, якщо дитина записує рівняння відразу у формі розв’язання:

х = вираз .

V етап – це підбір замість літер відповідних чисел. Числа повинні підходи з трьох точок зору: сюжету задачі; здійснимості арифметичної дії; уміння успішно оперувати з підібраними числами.

Іншими словами, зазначає Е. І. Александрова, мова йде про область припустимих значень по відношенню до сюжету, до здійснимості арифметичної дії на множині чисел, яка розглядається (в залежності від сюжету), по відношенню до власного досвіду дитини в оперуванні числами, що надає можливість діагностувати область успішності дитини.

VІ етап – виконання необхідних обчислень, які вимагають послідовного виконання арифметичних дій з числами.

VІІ етап – повернення до умови задачі для отримання відповіді на її запитання, тому що не завжди величина, яку позначали літерою х і відносно якої складається і розв’язується рівняння, може співпадати з величиною, яку потрібно знайти для відповіді на запитання задачі. Розв’язавши рівняння, необхідно перевірити, чи отримана відповідь на запитання задачі.

Автор зазначає, що основними етапами є чотири: побудова схеми, складання і розв’язання рівняння з літерними даними і обчислення числового значення шуканої величини.

Саме цим основним етапам – моделюванню в графічній, буквенознаковій і числовій формі – відводиться значне місце у навчанні. Таким чином, однією з функцій розв’язування задач в системі Д. Б. Ельконіна та В. В. Давидова є формування у дітей здатності до

52
математичного моделювання і переходу від однієї моделі до другої, і
навпаки.	Отже,	процес	розв’язання	сюжетної	задачі
Е. І. Александрова подає у вигляді схеми (мал. 5).
	Сюжетна задача		Короткий запис задачі
( словесний опис (модель)
	реальної ситуації)		Перетворення графічної
			моделі ( схеми), яке
	Графічна модель		необхідне для осмислення
	(схема)		зв’язку між величинами
			Розв’язання рівняння як
Буквено-знакова модель			перетворення буквено-
			знакової моделі і запис
	(схема)
			розв’язку у формі виразу
			Знаходження значення
	Числова модель як		виразу за допомогою
	конкретизація буквено-		виконання арифметичних
	знакової моделі		дій у встановленому
				порядку
Мал. 5. Схема процесу розв’язування сюжетної задачі за Е. І. Александровою

Пунктиром показані ще два етапи, пов’язані із моделюванням задачі за допомогою короткого запису, який по своєї суті, несе в собі елемент як графічної моделі (наступність повідомлень), так і буквено знакової моделі. Таким чином, в цій системі короткий запис розглядається як додатковий засіб моделювання, і з’являється в 4-му класі, коли дитина достатньо вільно розв’язує задачі за допомогою складання схеми і рівняння [1].

Таким чином, в системі Д. Б. Ельконіна та В. В. Давидова вміння розв’язувати задачі розглядається як похідне від вміння моделювання. Робота по формуванню дії моделювання, а попутно і по формуванню вміння розв’язувати задачі цілеспрямовано ведеться на протязі всього курсу.

Задачі розглядаються як засіб формування у молодших школярів уміння моделювати, прості та складені задачі вводяться одночасно. Е. І. Александрова виділяє вміння, які повинні дати можливість дитині розв’язувати будь-які задачі в межах відомих їй операцій (дій)

53

з числами: по ходу читання тексту задачі зображати на схемі величини; за схемою складати математичний вираз або рівняння; усно в словесній формі давати відповідь на запитання, записуючи вираз або його числове значення [5]. Основою відзнакою від традиційного навчання є алгебраїчний спосіб розв’язання задач: діти розв’язують задачу способом складання рівняння або виразу.

Відмітною особливістю методики навчання молодших школярів розв’язування задач в цій системі є те, що до 4-го класу не розглядається зміст поняття „задача”, його складові. В 4-му класі діти знайомляться з поняттям „сюжетна задача” та її складовими, вчаться записувати задачу коротко і перетворювати короткий запис задачі з метою складання схематичного малюнку. Отже, елементами новизни при роботі над задачею стає: осмислення того, що таке сюжетна задача; введення нової формули моделювання – короткого запису; встановлення зв’язку між задачами „на процеси” з відомими схемами до арифметичних дій.

Е. І. Александрова зауважує на тому, що особливістю при складанні короткого запису задачі є те, що діти відразу вказують дію,

яка відповідає відношенням між величинами, які виділені з тексту. Крім уміння складати короткий запис задачі, дітям потрібне й вміння його перетворювати. Причиною, за якою потрібно перетворювати короткий запис є побудова схеми. Загальна схема роботи над сюжетною задачею в 4-му класі має наступний вигляд (мал. 6).

З моделі способу роботи над задачею видно, що перетворенню підлягає не лише короткий запис, схема та рівняння теж можуть при необхідності перетворюватися; такому перетворенню підлягають також текст задачі і обчислення [2].

2.1.3. Система „Школа 2100”

Поняття „задача” вводиться, як і традиційно, на задачах на знаходження суми і остачі. Але, на відміну від традиційної методики, у підручнику Л. Г. Петересон, далі розглядаються задачі на дві дії, і лише потім вводяться, спочатку прості задачі на різницеве порівняння, а потім – на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць.

54
текст1	текст2
к.з1	к.з2
схема1	схема2
рівняння (вираз)1	рівняння (вираз)2
обчислення1	обчислення 2
	відповідь
Мал.6. Загальна схема роботи над сюжетною задачею за Е. І. Александровою

Відмінним від традиційної методики є те, що в якості обґрунтування вибору арифметичної дії при розв’язуванні простих задач застосовуються поняття „частина” і „ціле”; основою пошуку розв’язування – вибору арифметичної дії за допомогою якої розв’язується проста задача є схематичний рисунок, який до речі, виконує роль і короткого запису задачі. Основним методом пошуку способу розв’язування складених задач також виступає схематичний рисунок, який подано у готовому вигляді для більшості задач, а для решти дано схематичний рисунок, в якому відсутні числові дані, і лише незначна частина задач пропонується без нього.

При формуванні умінь розв’язувати задачі учні озброюються алгоритмом для самостійної роботи над задачами, і переважна більшість задач пропонується для самостійного розв’язання. На цьому етапі розв’язуються задачі у 3-4 дії, які містять усі чотири арифметичні дії; вводяться задачі на знаходження четвертого пропорційного і задачі на знаходження двох чисел за їх сумою або різницею.

За такого подання завдань на розв’язування задач у підручника Л. Г. Петерсон не можна говорити про спеціальне формування дії моделювання при розв’язуванні задач, хоча основним способом пошуку

55

розв’язання задачі є пошук розв’язання за схематичним рисунком. Це не єдина відмінність від методики навчання розв’язування задач в системі Д. Б. Ельконіна та В. В. Давидова – так учні майже не виконують короткі записи задач, не ведеться робота з перетворення моделей. На відміну від методики навчання розв’язування задач в системі Л. В. Занкова в цій системі учні не озброюються загальним методом розв’язування задач – аналізом.

Виходячи з досвіду розвивального навчання розв’язування задач при формуванні молодших школярів вмінь розв’язування задач слід передбачити навчання учнів моделюванню задачного формулювання, перетворенню моделей, а також впроваджувати прийоми дослідницької роботи над задачею.

Завдання для самоперевірки:

1.Що спільного у методиці роботи над задачами в системах розвивального навчання на основі навчальної діяльності (Д. Б. Ельконіна і В. В. Давидова) та

„Школа 2100”?

2.Що спільного у методиці роботи над задачами в системах розвивального навчання Л. В. Занкова та Д. Б. Ельконіна і В. В. Давидова?

3.В чому полягає розвивальне навчання розв’язування задач?

2.2. Диференціація у навчанні молодших школярів розв’язування сюжетних математичних задач

Як бачимо, розглянуті системи розвивального навчання мають багато спільного, а саме ґрунтуються майже на одних й тих самих психологічних принципах. Психологічні принципи розвивального навчання запропоновані З. І. Калмиковою [232]. Проблемність та інші принципи розвивального навчання не можуть бути реалізовані без врахування вікових та індивідуально-типологічних особливостей мислення дітей. Тому одним з важливих принципів розвивального навчання З. І. Калмикова вважає оптимальний (який відповідає цілям навчання і психічним особливостям індивіда) розвиток різних видів розумової діяльності: абстрактно-теоретичного, і наочно-образного, і наочно-дійового практичного мислення.

Школярі, які знаходяться в однакових умовах навчання засвоюють матеріал по-різному: перші на високому рівні, другі – на середньому, треті – на низькому. Такий стан пояснюється суттєвими відмінностями між дітьми. Так, за даними Ю. З. Гільбуха, розбіг індивідуальних відмінностей молодших школярів можна

56

схарактеризувати відношенням 1:10. В умовах індивідуалізації і диференціації навчання різниця в рівнях засвоєння може бути згладжена шляхом варіювання кількості вправ і міри допомоги. Ось чому одним з важливих принципів розвивального навчання є його індивідуалізація і диференціація.

2.2.1. Вікові і індивідуальні відмінності молодших школярів при розв’язуванні задач

Багаточисельні психологічні дослідження доводять, що відмінності у психологічному розвитку дітей одного й того самого віку досить великі. При цьому важливо пам’ятати, що відмінності дітей виявляються не лише у рівні їх розвитку, але й у продуктивності навчальної праці.

Як зазначалося вище психологічну структуру процесу розв’язування задач складають загальні розумові дії аналізу, синтезу, порівняння, абстракції і узагальнення. Тому на процес розв’язування задач значно впливає рівень аналітико-синтетичної діяльності молодших школярів, який безпосередньо пов’язаний, за думкою М. О. Менчинської, із швидкістю засвоєння [69].

Також успіх в процесі навчання визначається ще одною важною особливістю – гнучкістю розумових процесів і її протилежністю –

інертністю розумових процесів. Для другокласників, згідно дослідженням З. І. Калмикової, у розв’язанні предметних задач характерним є перевага інертності мислення. Це виявляється у низькій здатності до відкривання нових знань, у зв’язаності з конкретною ситуацією, яку не завжди можна подолати навіть при допомозі вчителя, розумова активність виявляється у розв’язуванні задач за методом „сліпих проб” [53]. Для учнів третього та четвертого років навчання, за даними Н. О. Менчинської, характерно зростання можливостей до варіювання способів дій, до вибору найбільш раціонального шляху розв’язання задачі. Але, поряд із цим, автор вказує, що наявність вікових відмінностей у зміні властивостей розумової діяльності, не знімає питання про індивідуальні відмінності, оскільки в межах одного й того самого віку і на протязі усіх років навчання зустрічаються учні, які мають різну гнучкість мислення, що безпосередньо впливає на засвоєння знань.

Схильність до варіювання дій або, навпаки, тенденція до їх стереотипного повторення визначає підхід до розв’язування задач. В

57

роботі Н. О. Менчинської [69] продуктивний підхід характеризується всебічним аналізом задачі, активними пошуками способів її розв’язування, а при репродуктивному підході, як правило, відсутнє усвідомлення задачі як проблеми і усе її розв’язування призводиться до відновлення звичних способів дій, які відносяться до знайомих окремих задач, при чому вони не співвідносяться з умовою в цілому.

А. З. Зак говорить про теоретичний і емпіричний спосіб розв’язування задач [49]. Теоретичний спосіб характеризується виконанням таких розумових дій, як:

1)аналіз змісту задачі (виділення істотних відношень);

2)моделювання (організація зовнішніх опор певного виду, графічне зображення ходу міркування);

3)рефлексія (осмислення власних дій, розуміння їх не випадковості і правомірності);

4)планування, як здатність діяти в розумі.

При емпіричному способі сприймання задачі обмежується зовнішніми ознаками, розв’язування здійснюється методом „спроб і помилок”; аналогічна задача розв’язується як зовсім нова; при обґрунтуванні розв’язання (за вимогою експериментатора) йде опора на випадкову ознаку.

Певний рівень аналізу і синтезу, узагальнення і абстрагування при засвоєнні і застосуванні знань, а також пов’язаний із ним рівень

співвідношення чуттєвих і абстрактних компонентів розумової діяльності сполучаються з певним ступенем гнучкості розумових процесів. І усі вони безперервно пов’язані з темпом засвоєння, з швидкістю просування учнів у навчанні [69].

В результаті досліджень І. В. Дубровіної було встановлено, що у здатних до математики молодших школярів ярко виявляються здібності до аналітико-синтетичного сприймання умови задачі, узагальнення математичного матеріалу, гнучкість розумових процесів. Менш ясно виражені: здібність до згорнення міркувань і системи відповідних дій, прагнення до пошуку більш раціонального способу розв’язування задач. Але, останні компоненти виразно представлені у „дуже здатних” учнів. У „мало здатних” ці компоненти виявляються на порівняно низькому рівні або не виявляються зовсім [48].

Таким чином, при розв’язуванні задач учні відрізняються один від одного рівнем аналітико-синтетичної діяльності, який

58

безпосередньо пов’язаний із швидкістю засвоєння. Також успіх в процесі навчання визначається ще одною важною особливістю – гнучкістю розумових процесів. З цією якістю мислення пов’язана схильність до варіювання дій або, навпаки, тенденція до їх стереотипного повторення, яка визначає підхід до розв’язування задач. Означені особливості визначають підхід до задачі.

Продуктивний (теоретичний) підхід характеризується всебічним аналізом задачі, активними пошуками способів її розв’язування, а при

репродуктивному (емпіричному) підході, як правило, відсутнє усвідомлення задачі як проблеми і усе її розв’язування призводиться до відновлення звичних способів дій, які відносяться до знайомих окремих задач, при чому вони не співвідносяться з умовою в цілому.

2.2.2. Напрями у диференціації навчання розв’язування задач

Отже, процес розв’язування задачі обумовлений можливостями учня, який розв’язує її (Ю. М. Колягін, В. І. Крупич, В. О. Крутецький та інші). Так, за даними В. О. Крутецького для формування узагальненого способу розв’язування учням потрібно від 1 до 27 задач [62]. Близькі до цих експериментальні дані одержано

Н. О. Менчинською	– нею констатований	розбіг від 2 до	20
розв’язаних задач	[69]. Тому, навчання,	яке зорієнтовано	на
„середнього” учня, недостатньо ефективно.

Дитина не здійснює активну навчальну діяльність, якщо навчальне завдання не відповідає її можливостям. Щоб запобігти цьому методисти пропонують здійснювати диференціацію навчання розв’язування задач за рахунок варіювання їх за ступенем складності

(С. О. Алексєєв, В. О. Гусев, Г. В. Дорофеєв, О. Н. Капиносов, В. Н. Рудницька, І. М. Смирнова, О. О. Столяр та інші). Ця група авторів розглядає диференціацію змісту навчання розв’язування задач.

Але існує й інший напрямок – диференціація процесу розв’язування задачі. Так, М. Є. Тимощук пропонує диференціювати допомогу учням згідно етапам роботи над задачею. В методичних рекомендаціях Л. Г. Латохіної для диференціації навчання розв’язування задач пропонуються спеціальні завдання, які пов’язані з аналізом тексту задачі, пошуком способу її розв’язування, а також,

59

спрямовуючі на складання оберненої задачі, виразів і рівнянь до задачі.

В руслі першого напрямку В. А. Мізюк розроблено систему завдань, диференційованих за складністю; визначено психологометодичні засади диференційованого формування вмінь розв’язувати задачі в початковій школі. Авторка дійшла висновку, що методика диференційованого вироблення вмінь розв’язувати задачі має враховувати рівні навчальної діяльності учнів початкової школи (мінімально-базовий, базовий і підвищений), операційний склад умінь і психолого-методичні засади їх формування [72].

На мінімально-базовому рівні учні мають розв’язувати задачі обов’язкового мінімуму, визначеного програмою з математики. На цьому рівні доцільно використовувати пояснювально-ілюстративні методи, прийоми емоційного стимулювання; більшої ваги набуває наочність. Учням пропонуються задачі репродуктивного характеру, нескладні творчі завдання; обсяг їх самостійності незначний: переважає розв’язування задач за зразком, реконструктивна робота. На цьому рівні учні повинні знати структуру задачі, вміти виділяти умову, вимогу, відомі й шукані величини, встановлювати залежності між ними.

На базовому рівні учні повинні розв’язувати задачі середньої складності. Це задачі з більш складними обчисленнями і логічними перетвореннями, задачі, що утворені шляхом комбінації задач обов’язкового мінімуму і містять одну чи дві ново засвоєні дії. Розв’язування цих задач потребує від школярів продуктивної розумової діяльності. На цьому рівні навчання переважають конструктивні і варіативні самостійні роботи, збільшення кількості задач, які потребують від учнів ретельного аналізу задачної ситуації. Учні, які досягли цього рівня, повинні володіти загальними знаннями про задачу і вміти пояснювати причини неповноти або неправильності її побудови, самостійно складати нескладні задачі.

Підвищений рівень математичної підготовки характеризується вміннями розв’язувати задачі підвищеної складності, із логічним навантаженням, з елементами випереджувального навчання. Ці задачі характеризуються збільшенням кількості логічних операцій, нестандартною фабулою і способом розв’язування. Вироблення вмінь спрямоване на інтенсивну самостійну діяльність – самостійні пошуки нової інформації, дослідження цікавих і оригінальних способів розв’язування тощо. Окрім загальних знань про задачу, учні мають

60

знати додаткові характеристики її складових. На основі цього вони самі мають складати задачі та завдання творчого характеру.

Важливим засобом вироблення вмінь розв’язувати задачі у дослідженні В. А. Мізюк виявилася система диференційованих завдань, яка включає такі їх види: підготовчі, пробні, тренувальні, творчі, перевірочні.

Підготовчі завдання спрямовані на активізацію опорних знань і вмінь, необхідних для розв’язування задачі. До них віднесено завдання-питання і нескладні задачі. Для підготовки таких завдань аналізується задачний матеріал уроку чи теми, визначаються основні поняття теоретичного курсу математики та ускладнення, які можуть виникнути в учнів певної групи. Автор зазначає, що для учнів з низькими навчальними можливостями (ІІІ група) доцільно систематично пропонувати підготовчі завдання, для учнів із середніми і високими (ІІ та І групи) – залежно від складності задачного матеріалу.

Пробні завдання рекомендується використовувати на етапі ознайомлення із розв’язанням задач нового виду. Вони спрямовані на первинне закріплення набутих знань та вироблення вмінь розв’язувати аналогічні задачі. Використання пробних завдань залежить від числових даних і сюжету задачі. Для учнів третьої групи краще пропонувати невеликі числові дані, щоб спрямовувати їх увагу саме на засвоєння способу розв’язування. Учням ІІ групи – слід надавати інструктивні вказівки до розв’язання, ІІІ групи – розв’язувати пробні задачі під керівництвом учителя.

Тренувальні завдання спрямовували діяльність учнів на закріплення вивчених способів розв’язування, опрацювання окремих дій та застосування набутих знань і вмінь у стандартних ситуаціях. Диференціація завдань відбувалася шляхом підвищення їх складності і збільшенням міри самостійності.

Творчі завдання спрямовані на розширення, поглиблення і вдосконалення набутих знань і вмінь розв’язувати задачі. Їх розв’язування вимагають оригінальності мислення, кмітливості, цілеспрямованого пошуку плану, складних міркувань, які потребують напруження розумової діяльності, творчого підходу до розв’язання. До творчих віднесено задачі з нестандартними ситуаціями: зайвими, недостатніми даними, з незвичайно сформульованим текстом, завдання на переформулювання і складання задач [72].