- •Тема 1. Вступ до математичного аналізу
- •1.1. Поняття функції
- •1.2. Побудова графіків функцій шляхом елементарних перетворень
- •Тема 2. Елементи теорії границь
- •2.1. Границя послідовності та границя функції
- •2.2. Важливі границі
- •2.3. Нескінченно малі (н. М.) і нескінченно великі (н. В.) функції та зв’язок між ними
- •2.4. Порівняння н. М. Функцій
- •2.5. Основні теореми про границю
- •2.6. Техніка обчислення границь
- •2.8. Неперервність функції
- •Завдання для самостійної роботи
- •Тема 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •3.1. Похідна функції
- •Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •3.3. Диференціал функції
- •3.4 Похідні та диференціали вищих порядків
1.2. Побудова графіків функцій шляхом елементарних перетворень
При побудові графіка функції використовують в певній послідовності перетворення графіка функції . Ці перетворення можна виконати, наприклад, в такій послідовності.
а) Будуємо графік .
б) Графік функції , k>0 дістанемо стискуванням графіка а) в k разів вздовж осі абсцис до осі ординат для випадку k>1, або розтягуванням в 1/k раз вздовж осі абсцис від осі ординат у випадку 0<k<1. Стискування графіка вздовж осі абсцис в k раз (k>1) здійснюється так: абсциса кожної точки зменшується в k раз, ордината при цьому залишається незмінною (кожна точка М(x, y) графіка переходить у точку графіка ).
Якщо ж k<0, то можна спочатку побудувати графік , а потім відобразити його симетрично відносно осі ординат.
в) Графік , m>0 дістанемо розтягуванням графіка б) в m разів вздовж осі ординат відносно осі абсцис для випадку m>1, або стискуванням в 1/m раз вздовж осі ординат відносно осі абсцис у випадку 0<m<1. Розтягування графіка вздовж осі ординат в m раз (m>1) здійснюється так: ордината кожної точки збільшується в m раз, абсциса при цьому залишається незмінною (кожна точка М(x,y) графіка переходить у точку графіка ).
У випадку m<0 можна спочатку побудувати графік , а потім відобразити його симетрично відносно осі абсцис.
г) Графік функції або , k>0 дістанемо паралельним перенесенням графіка в) вліво вздовж осі Ox на одиниць для a>0 і вправо на для a<0.
д) Графік функції дістанемо паралельним перенесенням графіка г) вгору на bодиниць вздовж осі Oy для b>0 і вниз на для b<0.
Розглянуті перетворення можна виконувати у будь-якому порядку, але величини, на які графік переноситься вздовж координатних осей, залежать від порядку перетворень.
Проілюструємо побудову графіка функції за наведеним алгоритмом.
Приклад 1.3. Побудувати графік функції .
Розв’язання
а) За вихідний беремо графік функції . Для зручності розглянемо побудову графіка тільки на одному періоді .
б) Оскільки , то стискаємо графік функції в два рази вздовж осі Ox. Дістаємо графік функції .
в) Розтягуємо графік функції в три рази вздовж осі Oy, оскільки . Дістаємо графік функції .
г) Симетрично відобразивши останній графік відносно осі Ox, дістанемо графік функції .
д) Отриманий графік паралельно переносимо на вправо вздовж осі Ox, дістанемо графік функції або .
е) Нарешті, отриманий графік паралельно перенесемо на дві одиниці вгору вздовж осі Oy, оскільки b=2>0. Дістанемо графік функції (рис. 1.3).
Рис. 1.3
Приклад 1.4. Побудувати графік функції .
Розв’язання
Область існування функції: .
Поділивши чисельник на знаменник, дістанемо
, або .
Графік такої функції можна отримати з графіка функції за допомогою таких перетворень:
а) паралельного перенесення графіка вздовж осі абсцис на одиниць вліво;
б) розтягування графіка а) вздовж осі ординат в раз;
в) симетричного відображення графіка б) відносно осі абсцис;
в) паралельного перенесення вздовж осі ординат на одиниць вгору.
Будуємо схематичний графік функції (рис. 1.4).
Рис. 1.4