1.7. Основные элементарные функции

Основными элементарным функциями называются следующие функции:

1. Степенная функция

, .

2. Показательная функция

.

3. Логарифмическая функция

.

4. Тригонометрические функции

.

5. Обратные тригонометрические функции

.

1.8. Сложная функция

Из основных элементарных функций можно строить другие функции при помощи новой операции взятия функции от функции.

Пусть yявляется функцией отu, т.е., аu, в свою очередь, зависит от переменнойх, т.е.. Тогдаyтакже зависит отх:

.

Функция называетсясложной функцией, илифункцией от функции, илисуперпозицией функций.

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции, ах– независимой переменной.

Операция взятия функции от функции может проводиться любое число раз. Например, функция есть суперпозиция трех функций,и.

Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

1.9. Обратная функция

Определение.

Пусть функция , определена на множествеХс областью значенийY. Если каждомусоответствует единственное, при котором, то функцияназывается обратной (рис.1.3).

Рис. 1.3

Поскольку традиционно независимую переменную принято обозначать через х, а зависимую (функцию) – черезy, то обратная функция для х примет вид:. Это соответствие часто записывают также в виде.следует воспринимать как символ для обозначения обратной функции, а не как. Например, для функцииобратной функцией будет. В полученном выражении поменяем местамихиy, тогда– обратная функция.

1.10. Элементарные функции

Определение.

Функции, полученные из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа арифметических действий и конечного числа операций взятия функции от функции, называются элементарными функциями.

Например, ;;;.

Элементарные функции делятся на алгебраическиеитрансцендентные.

К алгебраическимотносятся следующие функции:

1. Целая рациональная функцияилимногочлен:

,

где – числа, называемые коэффициентами,степень многочлена.

Например, .

2. Дробная рациональная функция.

Эта функция является отношением двух многочленов:

.

Например, .

3. Иррациональная функция.

Например, ;.

Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

Например, ;;.

1.11. Явные и неявные функции

Определение.

Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.

Такая функция имеет вид: , т.е. переменнаяyвыражается черезх.

Например, ;;.

Определение.

Неявнойфункциейyнезависимой переменнойхназывается функция, значения которой находятся из уравнения, связывающегохиyи, не разрешенного относительноy.

Неявная функция имеет вид: .

Например, ;.

Замечание.

Термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют не природу функции, а способ ее задания.

1.12. Основные характеристики функции

Изучить функцию – это значит охарактеризовать ход ее изменения (ее поведение) при изменении независимой переменной. Характеризуют функцию по следующим свойствам:

1. четность или нечетность функции;

2. периодичность функции;

3. нули функции;

4. возрастание или убывание функции (монотонность функции);

5. ограниченность функции.

Рассмотрим эти характеристики.