Четные и нечетные функции
Определение.
Функция
называетсячетной, если она не
изменяет своего значения при изменении
знака аргумента, т.е.
.
Например,
;
;
– четные функции.
График четной
функции расположен симметрично
относительно оси
(рис.1.4).
Рис. 1.4
Определение.
Функция
называетсянечетной, если при
изменении знака аргумента знак функции
меняется на противоположный, а числовое
значение её сохраняется, т.е.
.
Например,
;
– нечетные функции.
График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат (рис.1.5).
Рис. 1.5
Функция может быть ни четной. ни нечетной, и в этом случае её называют функцией общего вида.
Например,
;
;
.
Графики таких
функций не симметричны ни относительно
оси
,
ни относительно начала координат.
Периодические функции
Определение.
Функция
называется периодической, если существует
такое положительное число
,
что
в
области определения функции.
Наименьшее из
положительных чисел Т, удовлетворяющих
условию определения, называетсяпериодомфункции
.
Например, функции
,
являются периодическими с периодом
.
Нули функции
Определение.
Значение аргумента,
при котором функция обращается в нуль,
,
называетсянулем функции.
Например, нулями
функции
являются значения
и
.
Монотонные функции
Определение.
Функция называется возрастающей(убывающей) в некоторой области изменения аргумента, еслибольшемузначению аргумента соответствуетбольшее(меньшее) значение функции (рис.1.6, 1.7).
Рис. 1.6 Рис. 1.7
Определение.
Если функция в некоторой области изменения аргумента является только возрастающей или только убывающей, то функция называется монотонной.
Ограниченные функции
Определение.
Функция
называетсяограниченнойна множествеХ, если существует такое число
,
что для всех
выполняется неравенство
.
Например, функции
и
– ограниченные функции, т.к.
и
для
.
График ограниченной
функции лежит между прямыми
и
(рис.1.8).
Рис. 1.8
УПРАЖНЕНИЯ
Найти область определения следующих функций:
1)
; Ответ:
;
2)
; Ответ:
;
3)
; Ответ:
;
4)
; Ответ:
.
Найти множество значений функции:
1)
; Ответ:
;
2)
; Ответ:
;
3)
; Ответ:
.
Найти
,
,
,
,
если
.
Ответ:
;
;
;
.
Пусть
и
.
Найти
и
.
Ответ:
;
.
Установить чётность или нечётность функции:
1)
; Ответ:
чётная;
2)
; Ответ:
чётная;
3)
; Ответ:
общего вида;
4)
; Ответ:
нечётная.
Найти основные периоды функций:
1)
; Ответ:
;
2)
; Ответ:
;
3)
; Ответ:
.
Введя промежуточные аргументы, представить данную функцию, как суперпозицию других функций:
1)
; Ответ:
;
;
;
2)
;
Ответ:
;
;
;
;
.
Для данных функций найти явные обратные:
1)
; Ответ:
;
2)
; Ответ:
;
3)
; Ответ:
.