- •Глава 2 предел функции
- •2.1. Определение предела функции
- •2.2. Односторонние пределы
- •2.3. Условие существования предела функции
- •2.4. Предел функции при бесконечно большом значении аргумента ()
- •2.5. Предел числовой последовательности
- •2.6. Бесконечно большие функции
- •2.7. Бесконечно малые функции
- •2.8. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •2.9. Основные теоремы о пределах
- •2.10. Признак существования предела функции
- •2.11. Два замечательных предела
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •2.12. Эквивалентные бесконечно малые
- •2.13. Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей
- •Примеры
- •Неопределенность вида
- •Примеры
- •Примеры
2.3. Условие существования предела функции
Установим связь между односторонними пределами и пределом функции в точке.
Из определения предела функции следует, что если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем
.
Верно и обратное: если существуют ии они равны, то существует предел.
Справедлива следующая теорема.
Теорема.
Для существования предела функции в точкенеобходимо и достаточно существование в этой точке пределов справа и слева и выполнение равенства
.
Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует или равен бесконечности, то не существует и предела функции в точке .
2.4. Предел функции при бесконечно большом значении аргумента ()
При решении ряда задач необходимо бывает исследовать характер изменения функции при бесконечно больших значениях аргумента, т.е. когда .
Может оказаться, что при этом значения функции стремятся к некоторой постоянной А. Эту постоянную называют пределом функции при .
Записывают:
.
В зависимости от характера изменения х (или), обозначают одним из символов:
или .
Однако, тогда и только тогда, когда одновременнои.
Например, функция определена на всей числовой оси. Предел функции равен нулю, т.е.. График четной функцииприближается к прямойпри.
2.5. Предел числовой последовательности
По аналогии с пределом функции в бесконечно удаленной точке вводится понятие предела последовательности.
Определение.
Число а называется пределом числовой последовательности , если для любогонайдется такое натуральное число, что при всехвыполняется неравенство
.
Обозначают:
или при.
Говорят также, что последовательность сходится ка.
Например, последовательность
с общим членом
имеет предел
.
2.6. Бесконечно большие функции
Определение.
Функция называетсябесконечно большой при (или), если
или при .
Например, бесконечно большими функциями (б.б.ф.) являются:
при ;
при ;
при .
Различают частные случаи б.б.ф., когда, начиная с некоторого момента, б.б.ф. возрастая, принимает только положительные значения или, убывая, принимает только отрицательные значения.
Записывают это следующим образом:
, .
Например, ,.
2.7. Бесконечно малые функции
Определение.
Функция называетсябесконечно малой при (или), если
.
Бесконечно малые функции (б.м.ф.) обозначают малыми греческими буквами α(х), β(х) и т.д.
Например,
при ;
при ;
при .
Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует простая связь, устанавливаемая следующей теоремой.
Теорема.
Если функция есть бесконечно малая функция прии в некоторой окрестности точки, то обратная величинаявляется бесконечно большой функцией при.
Справедлива и обратная теорема: величина, обратная всякой бесконечно большой, будет бесконечно малой.
Например, приесть б.м.ф., апри− б.б.ф.
2.8. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
Сравнивая между собой определения предела функции в точке с определением бесконечно малой функции, можно заметить, что разность между функцией и ее пределом является величиной бесконечно малой.
Утверждение этого факта формулируют в двух теоремах − прямой и обратной.
Теорема (прямая).
Если функция имеет предел, равныйА, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции , т.е. если, то
.
может принимать как положительные, так и отрицательные значения, т.е. функция может быть как больше, так и меньше своего предела.
Теорема (обратная).
Если функцию можно представить в виде суммы числаА и бесконечно малой функции , то числоА является пределом функции , т.е. если, то
.