2.9. Основные теоремы о пределах

Приведем без доказательства теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.

Пусть и− функции, для которых существуют пределы при(или), т.е.и.

Теорема.

Если функция постоянна, то ее предел равен ей самой:

.

Теорема.

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

.

Следствие.

Функция может иметь только один предел при .

Теорема.

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

.

Следствие.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие.

Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

.

Теорема.

Если предел функции отличен от нуля, то предел обратной ей по величине функцииравен обратной величине предела данной функции:

.

Теорема.

Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:

.

Теорема.

Если для функции существует, то

.

2.10. Признак существования предела функции

Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, припредела не имеет, хотя.

При решении некоторых задач бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции, а числовое значение предела при этом имеет второстепенную роль. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Укажем такой признак.

Теорема.

Если функция заключена между двумя функциямии, стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если

, ,,

то

.

2.11. Два замечательных предела

Замечательными (вследствие большого числа их приложений) в математике называются пределы двух следующих функций, когда их аргумент х стремится к нулю:

и .

Первый замечательный предел

Теорема.

Предел отношения синуса бесконечно малого угла к величине этого угла в радианах равен единице:

.

Это равенство указывает на тот факт, что при очень «небольших» значениях х

.

Первый замечательный предел часто используют при вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции.

Второй замечательный предел

Можно доказать, что функция

при стремится к числуе:

.

Число е иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 (…). Числое служит основанием натуральных логарифмов () и играет важную роль в математике.

Дадим другое выражение для числа е. Полагая (, т.к.), будем иметь

.

Оба равенства называют вторым замечательным пределом. С помощью числа е удобно выражать многие пределы.

Замечание.

Показательная функция вида

называется экспоненциальной, употребляется также обозначение

.

2.12. Эквивалентные бесконечно малые

Пусть и− бесконечно малые функции при(или), т.е.и.

Если , тоиназываютсяэквивалентными бесконечно малыми (при ).

Обозначается: .

Например, при, т.к..

Для эквивалентных бесконечно малых справедливы следующие свойства:

1. Если при, то.

2. Если ипри, топри.

3. Если ипри, то, т.е. предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых.

Последнее свойство означает, что при нахождении предела, можно бесконечно малые, стоящие в числителе или в знаменателе или в обоих, заменять эквивалентными им величинами, в частности, более простыми. Такой прием часто применяют при вычислении пределов функций.

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которыми пользуются при вычислении пределов функций:

1.		при
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.