пособие1

16.21. r = 32 cos '; r = 52 cos ':

16.23. r = sin 6':

16.25. r = cos ' + sin ':

16.27. r = 2 cos 6':

16.29. r = 3 sin '; r = 5 sin ': 16.31. r = 6 sin '; r = 4 sin ':

16.22. r = 4 cos 4':

16.24. r = 2 cos '; r = 3 cos ':

16.26. r = 2 sin 4':

16.28. r = cos ' ¡ sin ': 16.30. r = 2 sin '; r = 4 sin ':

17.

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямо-

угольной системе координат.

17.1. y = ln2

p

· x · p

:

x;

3

15

17.2. y =

x

¡

ln x

;

1 · x · 2:

4

2

17.3. y = p

+ arcsin x; 0 · x · 7/9:

1 ¡ x2

17.3. y = ln

5

p

· x · p

:

;

3

8

2x

17.5. y = ¡ ln cos x; 0 · x · ¼/6:

17.6. y = ex + 6; lnp

· x · ln p

:

8

15

17.7. y = 2 + arcsin p

+ p

; 1/4 · x · 1:

x ¡ x2

x

17.8. y = ln

x2 ¡ 1

;

2 · x · 3:

17.9. y = p

1¡

¡ x2

+¢arccos x; 0 · x · 8/9:

= 2

¡

1 ¡ x2

¢

·

·

17.10. y = ln

; 0 · x · 1/4:

17.11. y

+ ch x;

0

x 1:

17.12. y

= 1 ¡ ln cos x; 0 · x · ¼/6:

17.13. y

= ex + 13; lnp

· x · ln p

:

15

24

17.14. y

= ¡ arccos p

+ p

; 0 · x · 1/4:

x ¡ x2

x

17.15. y

= 2 ¡ ex; lnp

· x · ln p

:

3

8

17.16. y

= arcsin x ¡ p

; 0 · x · 15/16:

1 ¡ x2

17.17. y = 1 ¡ ln sin x; ¼/3 · x · ¼/2:

=

¡

x2 ¡ 1

¢

; 3 · x · 4:

17.18. y = 1 ¡ ln

17.19. y

p

x

¡

x2

¡

arccos p

x

+ 5; 1/9

·

x

·

1:

17.20.

p

2

y

= ¡ arccos x +

1 ¡ x

+ 1; 0 · x · 9/16:

17.21. y

= ln sin x; ¼/3 · x · ¼/2:

17.22. y

= ln 7 ¡ ln x;

p

· x · p

:

3

8

17.23. y

= ch x + 3; 0 · x · 1:

17.24. y

= 1 + arcsin x ¡ p

; 0 · x · 3/4:

1 ¡ x2

17.25. y

= ln cos x + 2; 0 · x · ¼/6:

17.26.

x

+ x26;

lnp

p

y = ex

8 · x · ln 24:

17.27. y =

e

+e¡

+ 3;

0 · x · 2:

2

17.28. y = arccos p

¡ p

+ 4; 0 · x · 1/2:

x ¡ x2

x

91

17.29. y =

ex+e¡x+3

; 0

· x · 2:

4

17.30. y

=

ex + e;

lnp

x

· ln

p

:

x x

3 ·

15

17.31. y =

1¡e ¡e¡

; 0

·

x

·

3:

2

18. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими урав-

нениями.

18.2.

½ y = 3 (2 sin t ¡ sin 2t) ;

18.1.

½ y = 5 (1 ¡ cos t) ;

x = 5 (t ¡ sin t) ;

x = 3 (2 cos t ¡ cos 2t) ;

18.3.

0 · t · ¼:

18.4.

0 · t · 2¼:

½ y = 4 (sin t ¡ t cos t) ;

½ y =

¡2 ¡ t2¢cos t + 2t sin t;

x = 4 (cos t + t sin t) ;

x =

t2

¡ 2

sin t + 2t cos t;

0 · t · 2¼:

0 · t ·¡

¼:

¢

x = 10 cos3 t;

x = et (cos t + sin t) ;

18.5.

½ y = 10 sin3 t;

18.6.

½ y = et (cos t ¡ sin t) ;

18.7.

0 · t · ¼/2:

18.8.

0 · t ·1

¼:

1

½ y = 3 (1 ¡ cos t) ;

½ y =

2 sin t ¡

4 sin 2t;

x = 3 (t

¡

sin t) ;

x =

2 cos t

4 cos 2t;

1

¡1

18.9.

¼ · t · 2¼:

18.10.

¼/2 · t · 2¼/3:

½ y = 3 (sin t ¡ t cos t) ;

½ y =

¡2 ¡ t2

¢cos t + 2t sin t;

x = 3 (cos t + t sin t) ;

x =

t2

¡ 2

sin t + 2t cos t;

18.11.

0 · t · ¼/3:

18.12.

0 · t ·¡

¼/3: ¢

½ y = 6 sin3 t;

½ y = et

(cos t ¡ sin t) ;

x = 6 cos3 t;

x = et (cos t + sin t) ;

0 · t · ¼/3:

¼/2 · t · ¼:

x = 2; 5 (t ¡ sin t) ;

x = 3; 5 (2 cos t ¡ cos 2t) ;

18.13.

½ y = 2; 5 (1 ¡ cos t) ;

18.14.

½ y = 3; 5 (2 sin t ¡ sin 2t) ;

18.15.

¼/2 · t · ¼:

18.16.

0 · t · ¼/2:

¢cos t + 2t sin t;

½ y = 6 (sin t ¡ t cos t) ;

½ y =

¡2 ¡ t2

x = 6 (cos t + t sin t) ;

x =

t2

¡ 2

sin t + 2t cos t;

0 · t · ¼:

0 · t ·¡

¼/2: ¢

x = 8 cos3 t;

x = et (cos t + sin t) ;

18.17.

½ y = 8 sin3 t;

18.18.

½ y = et (cos t ¡ sin t) ;

18.19.

0 · t · ¼/6:

18.20.

0 · t · 2¼:

½ y = 4 (1 ¡ cos t) ;

½ y = 2 (2 sin t ¡ sin 2t) ;

x = 4 (t ¡ sin t) ;

x = 2 (2 cos t ¡ cos 2t) ;

¼/2 · t · 2¼/3:

0 · t · ¼/3:

92

	x = 8 (cos t + t sin t) ;
18.21.	½ y = 8 (sin t ¡ t cos t) ;
18.23.	0 · t · ¼/4:
	½ y = 4 sin3 t;
	x = 4 cos3 t;
	¼/6 · t · ¼/4:
	x = 2 (t ¡ sin t) ;
18.25.	½ y = 2 (1 ¡ cos t) ;
	0 · t · ¼/2:
	x = 2 (cos t + t sin t) ;
18.27.	½ y = 2 (sin t ¡ t cos t) ;
	0 · t · ¼/2:
	x = 2 cos3 t;
18.29.	½ y = 2 sin3 t;

0· t · ¼/4:

½x = t sin t + t cos t;

18.31.y = t cos t + t sin t;

0· t · ¼:

½¡ ¢

18.22.x = ¡t2 ¡ 2¢ sin t + 2t cos t; y = 2 ¡ t2 cos t + 2t sin t;

18.24.	0	· t · 2¼:
	½ y = et (cos t ¡ sin t) ;
		x = et (cos t + sin t) ;
	0	· t · 3¼/2:
		x = 4 (2 cos t ¡ cos 2t) ;
18.26.	½ y = 4 (2 sin t ¡ sin 2t) ;
	0	· t · ¼:
18.28.		x =		¡	t2 ¡ 2 sin t + 2t cos t;
		·				¢
	½ y =			¡2 ¡ t2		¢cos t + 2t sin t;
	0		t · 3¼:

½x = et (cos t + sin t) ;

18.30.y = et (cos t ¡ sin t) ;

¼/6 · t · ¼/4:

19. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

19.1. ½ = 3e3'/4;			¡ ¼/2 · ' · ¼/2:
19.2. ½ = 4e4'/3;			¡ ¼/2 · ' · ¼/2:
19.3. ½ = p		e';	¡ ¼/2 · ' · ¼/2:
	2
19.4. ½ = 5e5'/12;			¡ ¼/2 · ' · ¼/2:
19.5. ½ = 6e12'/5;			¡ ¼/2 · ' · ¼/2:

19.6. ½ = 3e3'/4; 0 · ' · ¼/3:

19.7. ½ = 4e4'/3; 0 · ' · ¼/3: 19.8. ½ = p2e'; 0 · ' · ¼/3:

19.9. ½ = 5e5'/12; 0 · ' · ¼/3: 19.10. ½ = 12e12'/5; 0 · ' · ¼/3:

19.11. ½ = 1 ¡ sin '; ¡ ¼/2 · ' · ¡¼/6:

19.12. ½ = 2 (1		¡ cos ') ;	¡ ¼ · ' · ¡¼/2:
19.13. ½ = 3 (1		+ sin ') ;	¡ ¼/6 · ' · 0:
19.14. ½ = 4	(1	¡ sin ') ; 0 · ' · ¼/6:
19.15. ½ = 5	(1	¡ cos ') ;	¡ ¼/3 · ' · 0:
19.16. ½ = 6	(1	+ sin ') ;	¡ ¼/2 · ' · 0:
19.17. ½ = 7	(1	¡ sin ') ;	¡ ¼/6 · ' · ¼/6:

93

19.18. ½ = 8 (1 ¡ cos ') ; ¡ 2¼/3 · ' · 0:

19.19. ½ = 2'; 0	· ' · 3/4:
19.20. ½ = 2'; 0	· ' · 4/3:
19.21. ½ = 2'; 0	· ' · 5/12:

19.22. ½ = 2'; 0 · ' · 12/5: 19.23. ½ = 4'; 0 · ' · 3/4: 19.24. ½ = 3'; 0 · ' · 4/3: 19.25. ½ = 5'; 0 · ' · 12/5:

19.26. ½ = 2 cos '; 0 · ' · ¼/6: 19.27. ½ = 8 cos '; 0 · ' · ¼/4: 19.28. ½ = 6 cos '; 0 · ' · ¼/3:

19.29. ½ = 2 sin '; 0 · ' · ¼/6: 19.30. ½ = 8 sin '; 0 · ' · ¼/4: 19.31. ½ = 6 sin '; 0 · ' · ¼/3:

20. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

20.1.

x2

+ y2 = 1;

z = y; z = 0 (y ¸ 0) :

9

20.2. z = x2 + 4y2;

z = 2:

20.3. x2

y2

2

+

¡ z2

= 1; z = 0; z = 3:

20.4.

92

42

x

+

y

¡

36z

=

¡

1;

z = 12:

92

42

2

20.5.

x

+

y

+

z

= 1;

z = 1; z = 0:

16

9

4

20.6. x2 + y2 = 9;

z = y; z = 0 (y ¸ 0) :

20.7. z = x2 + 9y2;

z = 3:

20.8. x2

2

2

+ y2

¡ z2

= 1; z = 0; z = 3:

20.9.

42

x

2+ 16y

2¡ 64z

2= ¡1;

z = 16:

9

20.10.

x

+

y

+ 16z = 1; z = 2; z = 0:

16

9

20.11.

x2

y2

= 1; z = yp

; z = 0 (y ¸ 0) :

+

3

3

4

20.12. z = 2x2 + 8y2; z = 4:

20.13.

x2

+ 25y2

¡

z2 = 1; z = 0; z = 2:

81

20.14.

x2

+

y2

36z2

=

1; z = 12:

¡

¡

42

92

2

20.15.

x

+

y

+ 36z

= 1; z = 3; z = 0:

16

9

20.16.

x2

+ 16y2

= 1; z = yp

; z = 0 (y ¸ 0) :

3

3

20.17. z = x2 + 5y2; z = 5:

20.18. x2

y2

2

+

¡ z 2

= 1; z = 0; z = 4:

20.19.

92

42

x

+ 25y

¡

z

=

¡

1; z = 20:

100

92

2

2

20.20.

x

+

y

+ 64z

= 1; z = 4; z = 0:

16

9

94

20.21. x2

y2

y

27

+ 25

= 1; z = p

; z = 0 (y ¸ 0) :

3

20.22. z = 4x2 + 9y2;

z = 6:

20.23. x2 +

y2

¡

z2 = 1; z = 0; z = 3:

4

20.24.

x2

+

y2

z2

=

1; z = 20:

25

9

¡

100

¡

2

2

2

20.25.

x

+

y

+

z

= 1; z = 5; z = 0:

16

9

100

20.26. 2

+ y2

y

x27

= 1; z = p

; z = 0 (y ¸ 0) :

3

20.27. z = 2x2 + 18y2; z = 6:

20.28.

x2

+

y2

¡

z2 = 1; z = 0; z = 2:

25

9

20.29.

x2

+

y2

64z2

=

1; z = 16:

16

9

¡

¡

2

2

2

20.30.

x

+

y

+

z

= 1; z = 6; z = 0:

16

9

144

20.31.

x2

+

y2

+

z2

= 1; z = 7; z = 0:

16

9

196

21. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. В вариантах 1 16 ось вращения Ox, в вариантах

17 31 ось вращения Oy.

21.1. y = ¡x2 + 5x ¡ 6; y = 0:

21.2. 2x ¡ x2 ¡ y = 0; 2x2 ¡ 4x + y = 0:

21.3. y = 3 sin x; y = sin x; 0 · x · ¼:

21.4. y

= 5

cos x;

y = cos x; x = 0; x

¸

0:

2

x;

x = ¼/2; y = 0:

21.5. y = sin

21.6. x = p3

; x = 1; y = 1:

y ¡ 2

21.7. y = xex; y = 0; x = 1:

21.8. y = 2x ¡ x2; y = ¡x + 2; x = 0:

21.9. y = 2x ¡ x2; y = ¡x + 2:

21.10. y = e1¡x; y = 0; x = 0; x = 1:

21.11. y = x2; y2 ¡2 x = 0:

21.12. x2 + (y ¡ 2)

= 1:

21.13. y = 1 ¡ x2; x = 0; x = p

; x = 1:

y ¡ 1

21.14. y = x2; y = 1; x = 2:

21.15. y = x2; y = p

x:

21.16. y = sin (¼x/2) ; y = x2:

21.17. y = arccos (x/3) ;

y = arccos x;

y = 0:

21.18. y = arcsin (x/5) ;

y = arcsin x;

y = ¼/2:

21.19. y = x2; x = 2; y = 0:

21.20. y = x2 + 1;

y = x; x = 0; y = 0:

21.21. y = p

;

y = 0; y = 1; x = 0; 5:

x ¡ 1

95

21.22. y = ln x; x = 2; y = 0:

21.23. y = (x ¡ 1)2 ; y = 1:

21.24. y2 = x ¡ 2; y = 0; y = x3; y = 1:

21.25. y = x3; y = x2:

21.26. y = arccos (x/5) ; y = arccos (x/3) ; y = 0: 21.27. y = arcsin x; y = arccos x; y = 0:

21.28. y = x2 ¡ 2x + 1; x = 2; y = 0:

21.29. y = x3; y = x:

21.30. y = arccos x; y = arcsin x; x = 0: 21.31. y = (x ¡ 1)2 ; x = 0; x = 2; y = 0:

22. Вычислить несобственные интегралы или установить их сходимость (расходимость).

22.1.

Re

x ln x.

1

dx

22.3.

R1

2+x3 dx.

1 x cos x

22.5.

R2

x ln3 x.

1

dx

22.7.

R1

px3+1dx.

1

sin x

22.9.

1

3x+1

R1

(2+x)2p

dx.

x+1

1

dx

22.11.

R0

.

x2

+2x+2

R1

2

22.13.

x x5+4 dx.

1

+6x+9

22.15.

R0

x2+2x+2dx.

1

x+1

1 xarctgx

22.17. 1

2+xp

dx.

x+1

22.19.

R0

5+x6 dx.

R1

x2

1

2+sin x

22.21. 1

(6x+1)p

dx.

x+1

22.23.

R0

x2+x+8.

R1

dx

22.2. R11

2

xdx

22.4. R02

p

x2¡1

.

xdx

p

sin2 x

.

x

dx

22.6.

3

px¡1.

R12 p

x2+1

22.8.

3

.

R1

dx

1p16¡x2

ln(1+p

x)

22.10.

p

sin x dx.

x3

R0e

dx

22.12. R11

.

x ln x

22.14.

cos x

dx.

x sin x

0

0

1

22.16. R

ex dx.

¡R11

x2sin x

e

22.18.

p

sin xdx.

x

R0e

dx

22.20. R02

x ln2 x

.

p

22.22.

sin x

dx.

x+2)

R0e x(xdx

22.24. R0

ln x .

96

	22.25.	R1	2x+xpxdx.
		1	x+1
	22.27.	R0	x2+4x+8dx.
		1	x+2
	22.29.	1	dx
			x pln5 x.
	22.31.	1	4
			x2+4.
		R0
		R1 xdx

22.26. R01	x3		dx.
1	ln(1+3x2)
22.28. R03	p1¡x2 .
	dx
22.30. R0	x sin 2xdx.
	x+3

97

Литература

1.Демидович В.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Издание 13. М.: Издательство МГУ, Издательство ЧеРо, 1997.

2.Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. М.: Высшая школа, 1994.

3.Ельцов А. А. Высшая математика II. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Конспект лекций. Томск: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, 1998.

4.Саженков А.Н., Саженкова Т.В., Славский В.В. Математический анализ. Теория пределов, непрерывность и дифференцируемость. Барнаул: Из-во Алтайского госуниверситета, 1997.

5.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа,2001.

Содержание

Глава 1. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Глава 2. Предел последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Глава 3. Предел функции. Непрерывность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 Глава 4. Дифференцирование. Исследование функций. . . . . . . . . . . . . . . 29 Глава 5. Интегрирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

98

Аннотация

Настоящее учебно-методическое пособие написано для использования на практических занятиях по курсу математического анализа на факультете информатики и прикладной математики Югорского государственного университета. В начале каждой темы кратко излагаются основные теоретические сведения (определения, формулировки теорем и формулы, необходимые для решения задач). Приводятся решения типовых задач, даются теоретические задачи. Каждая глава заканчивается списком расчетных заданий, которые могут использоваться как при проведении практических занятий, так и при подготовке контрольных работ и семестровых заданий. В первую часть включены материалы, относящиеся к первому семестру, т.е. метод математической индукции, пределы последовательностей и функций, дифференцирование, интегрирование функций одной переменной. При подборе задач были использованы: "Сборник задач по математи- ческому анализу"Б. П. Демидовича, "Сборник заданий по высшей математике"Л. А. Кузнецова и некоторые другие. Полный список использованной литературы приведен в конце пособия.