пособие1

1	1	1
Za	(f(x) § g(x))dx = Za	f(x)dx § Za	g(x)dx:

Обратное утверждение не верно.

Для других типов несобственных интегралов первого рода свойства аналогичны.

Сходимость не всех несобственных интегралов первого рода просто выяснить по определению. Поэтому часто используют так называемые признаки сравнения.

Теорема 5.6. Пусть для всякого x > A (A > a) выполнено неравенство jf(x)j 6 jg(x)j. Тогда, если интеграл R1g(x)dx абсолютно сходится,

то интеграл

Ra

f(x)dx абсолютно

1

a

Ra

f(x)dx

1

1

сходится, а если интеграл

àá-

f(x) g(x)

R

солютно расходится, то интеграл

a

g(x)dx абсолютно расходится.

Теорема 5.7. Åñëè

=

è

бесконечно малые одного порядка ма-

x!1 g(x)

6= 0 1

Ra

Ra

лости, то есть lim f(x)

K

;

, то интегралы

1f(x)dx è

1g(x)dx

Пример 5.23.

Выяснить сходимость интеграла R1 1 x2

dx:

либо оба абсолютно сходятся, либо оба абсолютно 1расходятся.

2+sin x

Òàê êàê ¯

¯

6

äëÿ âñåõ x > 1; а интеграл R1

dx сходится, то и

x2

x2

x2

исходный интеграл¯ ¯

тоже сходится.

1

3

2+sin x

3

Пример 5.24. Выяснить сходимость интеграла R1

(x+1)1p

dx:

x+2

Íàõодя порядок малости подынтегральной функции относительно функ-

öèè

1

x® , получаем

!1

(x + 1)px + 2

<

0;

åñëè ® < 1; 5;

;

åñëè ® > 1; 5:

xlim

x®

=

8

1;

åñëè ® = 1; 5;

:

1

Таким образом, порядок малости 1,5 и интеграл сходится.

5.4.2. Несобственные интегралы второго рода

Определение 5.8. Пусть f(x) задана на полуинтервале [a; b),

x!b

1

¡

Ra

lim f(x) =

и для всякого 0 < ± < b

a существует интеграл

b¡± f(x)dx:

71

f(x)dx:

Предел lim±!0 Rab¡± f(x)dx называется несобственным интегралом второго

R b

рода (интеграломR от неограниченной функции) и обозначается a

Åñëè lim±!0 ab¡± f(x)dx существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в слу- чаях, когда подынтегральная функция бесконечно большая на нижнем пределе, во внутренней точке отрезка [a; b], на верхнем и нижнем пределах од-

новременно. Мы рассмотрим случай особенности на верхнем пределе. Для

остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.

1

Пример 5.25. Рассмотрим

1

1

0

xdx® . Пусть ® = 1: Тогда dxx

= lim dxx =

1

0

"!0 "

R

Таким образом,

рассмотренный интеграл

lim(ln x

) = lim(ln 1

ln ") =

R

R

j"

¡

1

:

"

!

0

"

0

!

ïðè ® = 1 расходится. Пусть теперь ® 6= 1: Тогда

1

1

x1¡® 1

1

dx

dx

® < 1;

lim

= lim

®

1

ïðè

Z

x®

=

x®

1

®¯"

=

¡

ïðè ® > 1;

"!0

"!0

Z

¡

¯

½

1

0

"

¯

и мы окончательно получили, что рассматриваемый¯

интеграл при ® < 1

1

b

b

сходится и при ® > 1 расходится. Интегралы 0

dx

dx

dx

x® , a

(x¡a)®

, a

(b¡x)®

исполь-

зуются в признаке сравнения в качестве

эталонных.

R

R

R

Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формули-

руются и доказываются признаки сравнения для несобственных интегралов

второго рода.

Теорема 5.8. Пусть для всякого b ¡ ±b6 x < b выполнено неравенство

0 6 f(x) 6 g(x). Тогда, если интеграл

g(x)dx сходится, то интеграл

ab f(x)dx сходится, а если интеграл

abRfa(x)dx расходится, то интеграл

Rab g(x)dx расходится.

R

R

Теорема 5.9. Если f(x) è g(x)бесконечно большие одного порядка ро-

ñòà, òî åñòü lim f(x)

= K = 0;

1

, то интегралы

R

b f(x)dx è

b g(x)dx

x!b g(x)

6

a

a

либо оба сходятся, либо оба расходятся.

R

2

Пример 5.26. Выяснить сходимость интеграла R1

p

dx

:

x¡1

72

По определению имеем

Z	px 1				= ±!0	Z	2
	2		dx
					lim
1		¡
					1	¡	±

px ¡ 1	±!0		¡	1)		¯1¡±		= 2:
dx	= lim (2px					¯	2

R1

Пример 5.26. Выяснить сходимость интеграла 0 px(dxx¡1): Подынтегральная функция имеет особенность в точках x = 0 è x = 1:

Разбиваем интеграл на два

Z0

px(x ¡ 1)

=

Z0

px(x ¡ 1)

+0Z;5

px(x ¡ 1):

1

dx

0;5

dx

1

dx

Первый из этих интегралов сходится, так1как порядок роста подынтегральной функции при x ! 0 относительно /x равен 1=2, а второй расхо-

дится, так как порядок роста подынтегральной функции при x ! 1 относительно 1

x¡1 равен 1.

5.5.Приложения определ¼нного интеграла

5.5.1.Вычисление площадей плоских фигур. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривыми x = a, x = b, y = f1(x),

y = f2(x), причем для всех x 2 [a; b] выполнено неравенство f1(x) 6 f2(x). Тогда ее площадь вычисляется по формуле

Zb

S = (f2(x) ¡ f1(x)) dx:

a

Åñëè f1(x) ´ 0 и верхняя граница криволинейной трапеции задается параметрическими уравнениями y = Ã(t), x = '(t) (t 2 [®; ¯]), то площадь вычисляется по формуле

Z¯

S = Ã(t)'0(t) dt:

®

Аналогично, если f1(y) 6 f2(y) äëÿ âñåõ y 2 [c; d], то для криволинейной трапеции ограниченной кривыми y = c, y = d x = f1(y), x = f2(y) имеем

Zd

S = (f2(y) ¡ f1(y))dx:

c

73

Åñëè f1(y) ´ 0 и правая граница криволинейной трапеции задается параметрическими уравнениями y = Ã(t), x = '(t) (t 2 [®; ¯]), то площадь вычисляется по формуле

Z¯

S = '(t)Ã0(t) dt:

®

В общем случае плоскую область разбивают на простейшие области рассмотренных выше типов.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением r = r(') (® · ' · ¯), и двумя лучами,

составляющими углы ®, ¯ с положительным направлением вещественной оси вычисляется по формуле

	¯
	1
S =	2 Z®	r2(') d':

Пример 5.27. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 è x = y2.

Эти кривые пересекаются в точках A(0; 0) è B(1; 1). Поэтому

S = Z	(px ¡ x2)dx =	3 px3			0 ¡ 3 ¯0 = 3:
0	1	2		¯	1 x3		¯	1	1
				¯
				¯			¯
Пример 5.28. Найти площадь фигуры, ограниченной¯											линиями y2 =

2x + 1 è x ¡ y ¡ 1 = 0.

Эти кривые пересекаются в точках A(0; ¡1) è B(4; 3). В данном случае лучше рассматривать простейшую область второго типа. Поэтому

Z

µ

¡ 2

¶

µ 2

2 ¡ 6 ¶¯ 1

3

3

y2 ¡ 1

y2

3y y3

3

1

¯¡

16

S =

y + 1

dy =

+

¯

=

:

¡

¯

5.5.2. Вычисление объ¼мов. Пусть область такова, что для 8x 2 [a; b] известна площадь S(x) сечения плоскостью x = const: Тогда, заменяя

объем области заключенной между плоскостями x = xi; x = xi+1 íà объ¼м цилиндра S(»i)Δxi, получаем V = Rab S(x) dx:

74

Для тел, полученных вращением кривой y = f(x) вокруг оси OX, имеем V = ¼ Rb y2dx = ¼ Rb f2(x)dx. Соответственно, для тел, полученных враще-

a	a	x2dxb= ¼ Ra	f2(y)dy.
нием кривой x = f(y) вокруг оси OY , имеем V = ¼ Ra
	b	b

Если кривую y = f(x) вращать вокруг оси OY , òî V = 2¼ R xf(x)dx.

p a

Пример 5.28. Трапеция ограничена кривыми y = x; y = 0; x = 1:

Вычислить объ¼м тела, полученного вращением этой трапеции вокруг оси

OX:

Подставляя в формулу, получаем

1		1
V = ¼ Z0	f2(x)dx =¼ Z0	xdx =	¼	:
			2

5.5.3. Вычисление длины дуги кривой. Пусть кривая задана пара-
метрически	½ y = y(t); (t 2 [®; ¯]). Тогда ее длина вычисляется по фор-
	x = x(t);

ìóëå	Z¯ q
			dt:
l =		(x0(t))2 + (y0(t))2
	®

8 Аналогично, для пространственной кривой, заданной параметрически

< x = x(t);

y = y(t); (t 2 [®; ¯]), длина кривой равна

:z = z(t);

Z¯ q

l = (x0)2 + (y0)2 + (z0)2dt:

®

Для кривой, заданной явно уравнением y = f(x), формула приобретает

âèä	Zb q1 + (f0(x))2dx:
l =

a

Если кривая задана в полярной системе координат, то

½x = r(') cos '; y = r(') sin ':

75

Поэтому

x0 = r0

cos '

¡

r sin ';

'

'

½ y'0 = r'0

sin ' + r cos ':

Подставляя в формулу для длины кривой, получаем

l = Z®¯ q

d':

(r0)2 + (r)2

Пример 5.29. Найти длину дуги кривой y = ln x, заключенной меж-

ду точками x1

p

è x2 =

p

: Так как кривая задана явно, то l =

=

3

8

p

p

8

8

q1 +

dx. Делаем замену t = p

. Тогда x2 = t2 ¡

dx = p

x2 + 1

p

x2

x

3

3

R

1

èRпоэтому

px2+1

1;

2xdx = 2tdt

Z t2 ¡ 1

Z

t2 ¡ 1

3

t2dt

3

(t2 ¡ 1 + 1)dt

l =

=

=

22

= Z2

dt + Z2

t2

¡ 1

= Z2

dt +

2 Z2

t ¡ 1

¡ 2 Z2

3

t + 1 =

3

3

3

3

dt

1

dt

1

dt

2

t + 1

¯

2

r2

= 1 + 1 ln t ¡ 1

¯

3

= 1 + ln

3:

¯

½ y = a sin3 t; заключенной

Пример 5.30. Найти длину дуги кривой

¯

x = a cos3 t;

между точами t1 = 0 è t2 = 2¼:

Так как кривая задана параметрически, то x0 = ¡3a cos2 t sin t; y0 = 3a sin2 t cos t и поэтому

l = 3a Z2¼				dt =				3a	Z2¼jsin 2tj dt =
		cos4 t sin2 t + sin4 t cos2 t
								2
0	p								0
	¼/2		2			¼			= 6a:
= 6a Z sin 2t dt = ¡6a					¯0
	0				¯	/
			cos 2t		¯		2
					¯

5.5.4. Вычисление площадей поверхностей вращения. Площадь поверхности, образованной вращением кривой y = f(x) (a · x · b), вокруг

76

îñè OX равна

S = 2¼ Zb f(x)				dx:
		1 + (f0	(x))2
a	p

В случае параметрического задания x = '(t), y = Ã(t) (t 2 [®; ¯]) кривой y = f(x) площадь равна

Z¯ p

S = 2¼ Ã(t) ('0(t))2 + (Ã0(t))2 dt:

®

Если кривая задана в полярной системе координат уравнением r = r(') (' 2 [®; ¯]), òî

S = 2¼ Z¯ r(') sin '					d':
		(r0	('))2	+ (r('))2
®	p

Если мы вращаем кривую x = f(y) (a · y · b) вокруг оси OY , òî

площадь равна		(y))2 dy:
S = 2¼ Zb f(y) 1 + (f0
p

a

В этом случае приведенные выше формулы для случая параметрического задания или для случая задания кривой в полярной системе координат соответствующим образом переписываются.

Теоретические упражнения

1.	Считая, что функция sin x
				x равна 1 при x = 0, доказать, что она инте-
	грируема на отрезке [0; 1].
2.	Какой из. интегралов больше:
		1	µ		¶			1
	Z0			sin x		2	èëè	Z0	sin x
						dx				dx?
				x					x

3. Пусть f (t) непрерывная функция, а функции ' (x) è Ã (x) дифференцируемые. Доказать, что

	Ã(x)
d	Z	f (t) dt = f [Ã (x)] Ã0 (x) ¡ f [' (x)] '0 (x) :
dx

'(x)

77

x2

2

4.

Найти d

pRx

et dt:

dx

5.

Найти точки экстремума функции

f (x) = Z0x (t ¡ 1) (t ¡ 2) e¡t2dt:

6.

Пусть f (x) непрерывная периодическая функция с периодом T . Äî-

казать, что

Za

f (x) dx = Z0

f (x) dx 8a:

a+T

T

7.

Доказать, что если f (x) четная функция, то

Z

f (x) dx =

Z f (x) dx =

2 Z f (x) dx:

0

+a

+a

1

¡a

0

¡a

8.

Доказать, что для нечетной функции f (x) справедливы равенства

Z f (x) dx = ¡ Z f (x) dxè

Z f (x) dx = 0:

0

+a

a

¡a

0

¡a

+1R

9. Чему равен интеграл ¡1 sin2 x ln 2+2¡xxdx?

10. При каком условии, связывающем коэффициенты a, b, c интеграл
R	x3(x¡1)2 dx является рациональной функцией?
	ax2+bx+c

Расчетные задания

1. Найти неопределенные интегралы.

1.1.	R					dx
				sin2 x cos2 x					.	´dx:
1.3.		ex³4			2 ¡ x3
				x				e¡x
1.5.	R					dx:
			1+x2
	R			sin3 x
1.7. R		1¡sin2 x					dx:

R

³

2

x

¡ 1¡ x ´2

1.2.

³1

1+x2

p

x2

dx:

1.4.

sin

+ cos

dx:

1.6.

R

¡

sin42x

dx:

2

´

2

R

sin

x

1.8. R

8

5xx4+1 dx:

78

1.9.

x2+2

1.10.

1+sin(2x)

2dx:

2sin2 x

dx:

x2¡1

1.11.R

3 tg

x+4

1.12. R

x +2

dx:

x2¡2 dx:

sin2 x

3

5

1.13. R

(px¡1)

dx:

1.14.

R

(3

x

¡

4

x

+ x

) dx:

x

R

R

3

1.15.

(

1

¡

1

) dx:

1.16.

(1+2x)

dx:

x3

1¡

x

2

1

x2

1.17.

R

(x7 + p6 x + 3p3 x +

) dx:

1.18.

R

4

¢

3xex dx:

x3

1.19.

R

sin2 x dx:

1.20.

R

1

+

px21+10

dx:

x2

25

1.21. R

x+2

R

¡

1.22.

cos x)2 dx:

dx:

(sin x

(x

4)3

³

¡

´

1.23.

R

¡

R

sin2 x dx:

1.24.

(2x + 9)9 dx:

1.25.

R

43x¡2 dx:

1.26.

R

(ex + 9)(ex + 2) dx:

1.27. R

x2+9

dx:

1.28. R

e

x

1 +

e¡x

dx:

x2

¡

1

cos2 x

3

1.30.

x2

´

1.29. R

10+sin

x

R

2+³

sin2 x

3

dx:

x2+4 dx

R

3

R

p

1.31.

(2+x2

x

)

dx:

R

2. Найти неопределенные интегралы.

2.1.

R

31=x

dx:

2.2.

R

e4x

dx:

x2

ex¡1

2.3.

ecos x sin x dx:

2.4.

p

x

dx:

p

+1

x

R

p

R

2.5.

x+1+1

dx:

2.6.

3 + cos(5x) sin(5x) dx:

px+1¡1

p

x

sin(2x)

2.7.

R e

dx:

2.8. R

p

dx:

2

(2x)

2.9.

R

xx

2.10.R

¡p4

x4 dx:

p

dx:

1

¡

6x5

x

4

R

2

2.12. R

¡ cos(5x)

dx:

sin(1=x2)

dx:

3

p3 cos2

(5x)

2

x

2.11.

¡

R

3

2.14. R 1+sin(2x)

parcsin x

2.13.

R

dx:

2.16. R

sin2 x

dx:

1¡x2

2.15.

2p

x

dx:

dx

dx:

p

x(1+ln x)

x

2.17. R

p

2.18. R

x6

1+ln x

dx:

dx:

x

x14+5

2.19.

R

sin x

dx:

2.20. R

etg x

dx:

cos5 x

cos2 x

2.21.

R

p

x

dx:

2.22.

R

p

dx

:

3x+6

ex+1

2.23.

R

(arctg x2 )2 dx:

2.24.

R

(arcsin 2x2)2 dx:

R

1+x

2.26. R

p1¡4x

2.25.

2x22x2 dx:

p2x+12 dx:

R p

2.28. R

1

x

2.27.

ex

dx:

p5x¡¡8

dx:

2x

R

5¡e

R

1¡3x

2.29.

cos x

dx:

2.30.

x4

dx:

10

2.31.

R

2+sin xdx5p

:

R

p9¡x

2

R

(arccos x) 1¡x

79

3. Найти неопределенные интегралы.

3.1.

R

(4

3x) e¡3x dx:

3.2.

R

arctg p

dx:

4x ¡ 1

3.3.

(3x¡+ 4) e3x dx:

3.4.

(4x ¡ 2) cos 2x dx:

3.5.

R

(4 ¡ 16x) sin 4x dx:

3.6.

R

(5x ¡ 2) e3x dx:

3.7.

R

(1 ¡ 6x) e2x dx:

3.8.

R

ln

x2 + 4

dx:

3.9.

R

ln

4x2

+ 1

dx:

3.10.R

(2¡

¡ 4x)

¢sin 2x dx:

3.11.R

arctg p

3.12.

R

e

¡

2x

x

¡ 3)

dx:

6x

1 dx:

¡

¢¡

(4

3.13.R

e¡3x (2 ¡ 9x) dx:

3.14.

R

arctg p

dx:

2x ¡ 1

3.15.

R

arctgp

dx:

3.16.

R

arctg p

dx:

3x ¡ 1

5x ¡ 1

3.17.

R

(5x + 6) cos 2x dx:

3.18.

R(3x ¡ 2) cos 5x dx:

3.19.

R

xp

¡ 3

3.20.R

2

cos 2x dx:

(4x + 7) cos 3x dx:

3.21.

(2x

5) cos 4x dx:

3.22.

R

(8

x

x dx:

R ¡

¢

¡

3 ) cos 5

3.23.

R

(x +¡5) sin 3x dx:

3.24.

R

(2

3x) sin 2x dx:

3.25.

R

(4x + 3) sin 5x dx:

3.26.

R

(7x¡¡ 10) sin 4x dx:

3.27.

R

p

¡

3.28.

R

xdx

2

8x sin 3x dx:

:

cos2 x

xdx

2

3.29.

R

¡sin2 x

:

¢

3.30.

R

x sin

x dx:

3.31.

R

cos xdx

:

R

x sin3 x

R

4. Найти неопределенные интегралы.

4.1.

dx

:

4.2.

1+ln x

dx:

4.3.

dx

:

xp

x

xp

x2+1

x2

1

4.4. R

2+ln x2

4.5. R

4.6. R

(arccos¡x)3

1

x

dx:

p

xdx

:

p

¡

dx:

x

4 2

+1

2

4.7. R tg x ln cos x dx:

4.8. R

x +x

4.9. R

x

31¡x

tg(x+1)

dx:

dx:

cos2(x+1)

(x2+1)2

4.10.R

1

cos x

4.11.R

sin x

cos x

4.12.R

x cos x+sin x

(x

¡sin x)3

dx:

(cos x+sin¡

x)5

dx:

(x sin x)

2

dx:

¡

x3+x

4.14.

xdx

4.15.

xdx

4.13.R

x4+1 dx:

R p

4

2

:

R

3

:

¡1

p

R

1+ln(x 1)

4.17. R

x

2¡x

R

x¡1

x

(x +1)dx

4 arctg x

4.16.

¡

dx:

:

4.18.

2¡

dx:

3

5

3x¡1

(x +3x+1)

1+x

4.19. R

x

dx:

4.20. R

x+cos x

dx:

4.21.

R

2 cos x+3 sin x

dx:

x2+4

x2+2 sin x

(2 sin x

¡

3 cos x)3

4.22.

R

8x

arctg 2x

R

1/(2px)+1

R

x

¡1+4x2

dx:

4.23.

p

2

dx:

4.24.

dx:

x4+1

x+x

4.25.

R

x+1/x

4.26.

R

x(¡1/x

)

4.27.

R

arctg x+x

p

dx:

p

dx:

1+x2

dx:

x2+1

x2+1

4.28. R

x

(arctg x)4

4.29. R

x3

R

(arcsin x)2+1

¡

1+x2

dx:

dx:

4.30.

p

dx:

x2+1

2

R

R

1¡p

R

1¡x

4.31.

x

px(x+1) dx:

R

5. Найти неопределенные интегралы.

5.1. R

x3+1

5.2. R

3x3+1

dx:

dx:

x2¡x

x2¡1

80