пособие1

5.3.

x3

¡

17

dx:

2

x ¡34x+3

5.5. R

2x

1

x2+x¡

6

dx:

R

3¡

2

5.7.

x +2x +3

dx:

(x

1)(x¡2)(x¡3)

5.9.

R

¡

x3

dx:

(x¡1)(x+1)(x+2)

R

R

x3¡3x2¡12

dx:

5.11.

(x 4)(x¡3)x

3x3¡3¡2

dx:

5.15. R

x¡

x

5.13.

R

x ¡x

2x

5.17.

x¡

x5

x3+1

dx:

5.19. R

2

¡

5

3

2x

2

8x +3 dx:

5

¡

3

+4

+9x

¡xx2+3x

dx:

5.21.

R

x3

5x2+5x+23

(x

¡1)(x+1)(x¡5)

dx:

5.23.

R

2x¡4¡5x2¡8x¡8 dx:

R

x(x¡2)(x+2)

5.25.

4+3x3

5x2+2

dx:

3x (x

1)(¡x+2)

5.27.

R

x5x¡x¡4¡6x3+13x+6 dx:

R

x(x¡3)(x+2)

5.29.

2x4+2x3¡3x2+2x¡9 dx:

R

x(x¡1)(x+3)

2x3¡40x¡8

dx:

5.31. R

x(x+4)(x¡2)

5.4.

2x3+5

dx:

x2¡3x¡2

5.6. R

3x +25

dx:

x2+3x+2

5.8. R

3x3+2x2+1

dx:

(x+2)(x¡2)(x¡1)

5.10.R

x3¡3x2¡12

dx:

5.12. R

(x¡4)(x¡3)(x¡2)

4x3+x2+2

dx:

x(x¡1)(x¡2)

5.14. R

x3¡3x2¡12

dx:

5.16. R

(x¡4)(x¡2)x

5+3x3

1

dx:

x

x2+x¡

R

3x5

12x3

¡

7

5.18.

x¡

+2x

dx:

2

5.20. R

5+25x3+1

dx:

¡x x2+5x

R

5

4

2x3+5x2

7x+9

dx:

5.22.

x +2x(x¡+3)(x

1)x¡

5.24.

R

4x4+2x2¡x¡3¡dx:

R

x(x¡1)(x+1)

2x

4+2x3 41x2+20

dx:

5.26.

(x

4)(¡ x+5)

5.28.

R

3x3x¡x¡2¡12x¡2 dx:

R

x(x+1)(x¡2)

5.30.

2x3¡x2¡7x¡12 dx:

R

x(x¡3)(x+1)

6. Найти неопределенные интегралы.

6.1.

x3+4x2+4x+2

dx:

6.2.

x3+4x2+3x+2

dx:

(x+1)2(x2+x+1)

(x+1)2(x2+1)

R

3+7x2+7x 1

6.4. R

2x3+4x2+2x 1

6.3.

2x

2

¡

dx:

2

¡

dx:

(x+2)

2

2

R

(x +x+1)

6.6. R

(x+1) (x +2x+2)

6.5.

3+6x2+9x+6

2x3+11x2+16x+10

x

dx:

2

dx:

(x+1)

2

2

(x+2)

2

R

(x +2x+2)

6.8. R

(x +2x+3)

3

x2+5x

¡

1

dx:

x3+9x2+21x+21

dx:

6.7.

R

(x+1)

(x +2)

6.10.R

(x+3)

(x

+3)

3

2+8x+8

x3+5x2+12x+4

6.9.

x +6x

dx:

dx:

2

2

(x+2)

2

2

R

(x+2)

(x +4)

6.12. R

(x +4)

3

2

dx:

3+13x2

13x+1

dx:

2x

¡42x ¡2 16x¡12

¡3x

2

2¡

6.11.

R

(x¡1) (x +4x+5)

6.14. R

(x¡2)

(x ¡x+1)

6.13.

x

3+2x2+10x

dx:

3x3+x+46

dx:

(x+1)

2

2

(x¡1)

2

2

R

(x ¡x+1)

6.16. R

(x +9)

3

+24x2+20x 28

2x3+3x2+3x+2

6.15.

4x

2

¡

dx:

dx:

2

2

2

R

+3)

(x +2x+2)

6.18. R

(x

+x+1)(x +1)

6.17.

(x

x3+x+1

dx:

x2+x+3

dx:

2

2

+1)

2

2

(x +x+1)(x

(x +x+1)(x +1)

6.19. R

2x3+4x2+2x+2

6.20. R

2x3+7x2+7x+9

dx:

dx:

(x2+x+1)(x2+x+2)

(x2+x+1)(x2+x+2)

6.21. R

4x2+3x+4

dx:

6.22. R

3x3+4x2+6x

dx:

(x2+1)(x2+x+1)

(x2+2)(x2+2x+2)

R

2

+1

R

x3+x2+1

2

2x ¡x

2

+1)

dx:

6.24.

dx:

2

2

6.23. R

(x ¡x+1)(x

R

(x

¡x+1)(x +1)

81

6.25.			x3+x+1			dx:
	(x2	¡x+1)(x2+1)
6.27. R	x3		+2x2	+x+1
						dx:
	(x2	+x+1)(x2			+1)
6.29. R	2x3		+2x2	+2x+1
						dx:
	(x2	+x+1)(x2			+1)
R	x3		+3x2	+3x+2
	2						dx:
	2			2	+1)
6.31. R	(x	+x+1)(x

6.26.		2x3+2x+1
					dx:
	(x2	¡x+1)(x2	+1)
6.30. R	2	2					dx:
6.28. R		x+4			dx:
	(x2	+x+2)(x2	+2)
R	3x3+7x2+12x+6
	(x +x+3)(x		+2x+3)

7. Найти неопределенные интегралы.

7.1.

dx

:

7.2.

dx

:

1+sin x

3+cos

x

7.3. R

dx

:

7.4. R

dx

:

sin x cos x

2 sin x+cos x+3

7.5. R

¡

7.6. R

sin x

dx

:

dx:

sin x+cos x+1

sin x+1

7.7. R

cos x

dx:

7.8. R

dx

:

cos x+2

sin x(1¡sin x)

7.9. R

sin x

7.10.R

sin x

dx:

dx:

5+2 sin x

(sin x+1)2

R

6 sin2 x

dx:

7.12. R

sin x+2

dx:

3 cos(2x)

4

sin x+cos x+1

7.11.

R

7.14. R

7.13.

tg2 x ¡

dx:

1+sin x dx:

4+3 cos(2x)

cos x+1

7.15. R

cos x

7.16. R

cos x

dx:

dx:

sin x+2

sin x

¡

cos x+1

7.17. R

1

7.18. R

2

x

dx:

6 sin

dx:

(3 tg x+5) sin(2x)

4+3 cos(2x)

R

1

7.20. R

tg2 x

1

7.19.

dx:

3

2

¡

dx:

sin x+cos x

tg

x+5

7.21. R

1

dx:

7.22. R

cos x

dx:

3 sin x+1

sin x+2

7.23. R

3 tg2 x 50

7.24. R

sin x

2 tg x¡+7

dx:

dx:

2 sin x+1

7.25. R

5 tg x+2

dx:

7.26. R

dx

:

2 sin(2x)+5

cos x+2

7.27. R

cos x

sin x

7.28. R

11

3 tg x

sin

¡x+1

dx:

2 tg¡ x+3

dx:

7.29. R

sin x

7.30. R

sin x+cos x

dx:

sin x

cos x dx:

2 sin x+1

¡

R

1

7.31. R

dx:

R

2 tg x+1

8. Вычислить определенные интегралы.

8.1. R0 (x2 + 5x + 6) cos 2x dx:

¡2

8.3. R0 ¡x2 + 4x + 3¢cos x dx:

¡1

8.5. R0 ¡x2 + 7x + 12¢cos x dx:

¡4

8.7. R¼ ¡9x2 + 9x + 11¢cos 3x dx:

0

8.2. R0 ¡x2 ¡ 4¢cos 3x dx:

¡2

8.4. R0 (x + 2)2 cos 3x dx:

¡2

8.6. R¼ ¡2x2 + 4x + 7¢cos 2x dx:

0

8.8. R¼ ¡8x2 + 16x + 17¢cos 4x dx:

0

82

9.9. R1

9.6.

0 ¼R/4

0

8.9.

2¼

3x2 + 5

8.10.

2¼

2x2 ¡ 15

cos 2x dx:

0

cos 3x dx:

R0 2¼¡

¢

¢

R2¼ ¡

8.11.

3 ¡ 7x2

cos 2x dx:

8.12.

0

1 ¡ 8x2

cos 4x dx:

R00

¡

¢

¡

¢

R3

8.13.

1

x2 + 2x + 1

sin 3x dx:

8.14.

0

x2 ¡ 3x

sin 2x dx:

¡R¼

¡

¢

¼

¡

¢

R2

8.15. 0

x2 ¡ 3x + 2

sin x dx:

8.16.

0

x2 ¡ 5x + 6 sin 3x dx:

R0

¡

¢

¼

¡

¢

R4

8.17.

x2 + 6x + 9

sin 2x dx:

8.18.

x2 + 17; 5

sin 2x dx:

3

¡

¢

0

¡

¢

¼

R3

¡R2

8.19. 0

1 ¡ 5x2

sin x dx:

8.20. ¼

3x ¡ x2

sin 2x dx:

R2

¡

¢

4

¡

¢

Re2

8.21. R18 x2ln2 x dx:

8.22. R11

ln2pxx

dx

:

2

8.23. R13

ln

x dx

8.24.

R00

3

px2 :

(x + 1) ln

(x + 1) dx:

8.25. R22

(x ¡ 1)3 ln2 (x ¡ 1) dx:

8.26. ¡Re1

(x + 2)3 ln2 (x + 2) dx:

8.27. R01

x

1)2 ln2 (x + 1) dx:

8.28.

R11

p

ln2 x dx:

x

(

+ x

8.29.

1

x2e¡2

dx:

8.30.

0

x2e3x dx:

¡R0

x

R

8.31. ¡R2

¡x2 + 2¢e2 dx:

9. Вычислить определенные интегралы.

e2+1

1

2

dx

1

9.1.

1+ln(x¡1)

9.2.

(

x +1

)

9.3.

R

4 arctg x

x

x¡1

dx:

:

1+x2¡

dx:

+1

0

(x3

+3x+1)2

eR

R

9.4.

2

x3 dx

2¼

x+cos x

x2

+4:

9.5.

dx:

0

x2+2 sin x

¼

R1/2 8x¡arctg 2x

9.8. R4 1/(2p

)+1

x

9.7.

R0p

1+4x2

dx:

R1 p

(p

+x)2

dx:

x

8

x+1/x

8

x¡1/x

9.10. pR3

9.11.

pR3

p

dx:

p

dx:

x2+1

x2+1

2 cos x+3 sin x 3 dx: (2 sin x¡3 cos x)

x dx : x4+1

0 p

9.12. R3 arctg x2+x dx: 1+x

0

83

p1¡px x(x+1)

1+x2

p

9.13. R0 3 x¡(arctg x)4 dx:

9.16. R3 dx:

1

2

9.19. pR2

p

dx

:

x2+1

R1/p2

9.22.

1

x3 dx

0

(x2+1)2

:

9.25.

¼R

(arccos x)3

dx:

p

0

1¡x2

/2

9.28.

¼R9

x cos x+sin x

dx:

/4

(x sin x)2

9.31.

R2

px¡1:

x dx

3

1				x3
9.14. R0p
					dx:
		x2+1
	8			px2+1:
9.17. pR3
				dx

9.20. Re x2+ln x2 dx:

1

x

9.23. ¼R/4tg x ln cos x dx:

0

9.26. R2¼ 1¡cos x 2 dx:

¼ (x¡sin x)

9.29. R1 x3+x dx:

0 x4+1

sin 1 (arcsin x)2+1

9.15.

p

dx:

1 x2

0

¡

eR

9.18. R1

1+lnx x dx:

1

9.21. R00

dx

p

x

:

x4+x2+1

9.24.

tg(x+1)

dx:

cos2(x+1)

¡1

¼R/4

R3

9.27.

sin x¡cos x

5

dx:

0

(cos x+sin x)

p

px4x¡x2¡1:

9.30. pR2

dx

10. Вычислить определенные интегралы.

2

R

10.1.

2 arctg 2

dx

¼/2

sin2 x(1¡cos x)

:

10.3.

arctg 2

dx

:

¼/2

sin2 x(1+cos x)

¼/2R

10.5.

cos x¡sin

2x dx:

(1+sin x)

10.7.

2R0arctg(1/2)

dx

:

sin x(1¡sin x)

arctg(1/3)

2¼/2 R

10.9.

cos xdx :

5+4 cos x

10.11.

R0¼/2

cos xdx

:

/3

1+sin x¡cos x

10.13.

¼¼R/2

sin xdx

:

0

1+sin x+cos x

¼R/2

10.15. R0

cos xdx

:

1+sin x+cos x

¼/2

10.2.

R0

cos xdx

:

2+cos x

10.4.

¼/2

cos xdx

:

(1¡cos x)

3

2 arctg(1/2)

10.6.

2 arctgR3

dx

:

cos x(1¡cos x)

arctg 2

2

R

¼/2

10.8.

2¼ R

dx

:

2 arctg(1/2)

(1+sin x¡cos x)2

/3

1+sin x

10.10.

dx:

0

1+cos x+sin x

¼R/2

10.12.

(1+cos x)dx

:

1+sin x+cos x

2R0arctg(1/2)

10.14.

2

R

1+sin x

dx:

2

0

(1¡sin x)

arctg(1/3)

10.16.

R0

cos xdx

:

(1¡sin x)(1+cos x)

84

R0

10.17.

10.19.

10.21.

10.23.

10.25.

10.27.

10.29.

10.31.

					cos xdx			:
¡2¼/3				1+cos x¡sin x
¼/2					cos xdx
								:
0		(1+cos x+sin x)2
¼R/2
R0			sin xdx
						:
	0	(1+sin x)2
					sin xdx					:
¡¼/2			(1+cos x¡sin x)2
/2
¼R				sin2 xdx
								:
		(1+cos x+sin x)2
2R0arctg 2
¼R/2					dx				:
					sin x(1+sin x)

¼R/2 sin xdx :

02+sin x

¼R/2 sin xdx :

05+3 sin x

10.18.

10.20.

10.22.

10.24.

10.26.

10.28.

10.30.

2R

0

cos xdx

¡¼/2

(1+cos x¡sin x)2

:

arctg(1/2)

¼/2 R0

(1¡sin x)dx

:

cos x(1+cos x)

R0

sin xdx

:

+sin x)2

0

(1+cos x

2

xdx

cos

:

¡2¼/3

(1+cos x¡sin x)2

2¼R/3

¼R/2

cos2 xdx

:

(1+cos x

sin x)2

¡

0

R0

dx

:

(1+cos x+sin x)2

¼R/4

dx :

0cos x(1+cos x)

11. Вычислить определенные интегралы.

		¼				¼
11.1.				28 sin8 x dx:		11.2.	24 sin6 x cos2 x dx:
		/2				0
						R2¼
	¼2R¼
	R¼					R	0
11.3.	0		sin4 x cos4 x dx:			11.4. 0	sin2 (x/4) cos6 (x/4) dx:
11.5. R0¼24 cos8 (x/2)					dx:	11.6. ¡¼¼R/2			28 sin8 x dx:
11.7.				24 sin6 x cos2 x dx:		11.8.	24 sin4 x cos4 x dx:
		/2				0
	¼2R¼					R	2¼
11.9. R0			¼sin2 x cos6 x dx:			11.10. R00 cos8 (x/4)				dx:
11.11.		R		24 sin8 (x/2)	dx:	11.12.	R		28 sin6 x cos2 x dx:
			0			¡¼
			2¼				¼
11.13.				28 sin4 x cos4 x dx:		11.14.	0	24 sin2 x cos6 x dx:
			/2
		¼2R¼				R2¼
11.15. R0				cos8 x dx:		11.16. R0		sin8 (x/4)		dx:

85

dx :

(5+x)p25¡x2

dx :

(1+x)p1¡x2

¡R7/8

11.17. R¼ 24 sin6 (x/2) cos2 (x/2) dx:

0

11.19. R¼ 28 sin2 x cos6 x dx:

¼/2

11.21. R2¼ sin8 x dx:

0

11.23. R¼ 24 sin4 (x/2) cos4 (x/2) dx:

0

11.25. R2¼ 28 cos8 x dx:

¼/2

11.27. R2¼ sin6 x cos2 x dx:

0

11.29. R¼ 24 sin2 (x/2) cos6 (x/2) dx:

0

11.31. R2¼ sin4 3x cos4 3x dx:

0

11.18. R0

28 sin4 x cos4 x dx:

¡¼/2

11.20. R¼ 24 cos8 x dx:

0

11.22. R2¼ sin6 (x/4) cos2 (x/4) dx:

0

11.24. R0 28 sin2 x cos6 x dx:

¡¼/2

11.26. R¼ 24 sin8 x dx:

0

11.28. R2¼ sin4 (x/4) cos4 (x/4) dx:

0
0
11.30. ¡¼R/2	28 cos8 x dx:

12. Вычислить определенные интегралы.

12.1. R1 4p1¡x¡p3x+1 dx: 0 (p3x+1+4p1¡x)(3x+1)2

12.3. 6px+2 dx:

¡14/15 (x+2)2px+1

R5 p5¡x

12.5. 0 e 5+x

R1 p1¡x

12.7. 0 e 1+x

12.9. R8 5px+24 dx:

(x+24)2px 1R10q

12.11. 4¡x dx:

6

x¡12

12.13. R0 xdx :

¡1/2 2+p2x+1

12.15. R1 15px2+3 dx:

1/8 (x+3) px

64

p

p

6

3

12.2.

1¡

x+2 x

3

R19

x+2px3+px4 dx:

R12

q

29x¡¡221x

12.4. 6

dx:

R q

6¡x

12.6.

dx:

8

x¡14

10/3

12.10. R2

x+p3x¡2¡10

12.8.

px+2+px¡2

dx:

5/2

(p

x+2

¡p

x¡2

)(x¡2)2

12.12. R12

p

3x¡2+7 dx:

(4p

¡p

)dx

(

2¡x

2x+2

R04

24 x

¡ )

:

p

x+2+4p

2

x

(2x+2)2

12.14. R0

p

¡

dx

1e

4+x

(4+x)p

:

16¡x2

3

¡R

p3x+5+2

12.16.

5/3

1+p3x+5dx:

3

86

x4dx

3

3

2x

12.17. 22 q2x¡¡

7dx:

R

(4p2¡x¡p3x+2)dx

12.19. R05

(p

3x+2+4p

)(3x+2)2

:

2¡x

R15

12.21.

qx2¡¡x6dx:

3

12.23. 9

q

6 x

x¡¡18

dx:

R64

3

12.25. R16

(2+px)dx

:

(px+2px3+px)px

6

R01

p

(6

x)/(6+x)

12.27.

e

¡ p

dx

:

2

(6+x)

36

x

4p

¡p

dx

1

x

x+1

12.29. 0

(

¡ ¡

)

:

(p

x+1+4p

)(x+1)2

1¡x

R2

(4p

¡p

)dx

2¡x

x+2

12.31. R0

(p

x+2+4p

)(x+2)2

:

2¡x

7

p

x+25

12.18.

+25)2p

dx:

x+1

R02

(x

ep

2 x

dx

12.20.

2+¡x

:

R01/3

(2+x)p4¡x2

1R

5p

12.22. 1/24

x+1

dx:

(x+1)2p

x

12.24.

(4p

¡p

)dx

1¡x

2x+2

:

(p

2x+1+4p

)(2x+1)2

1

x

R04/3

4p

¡

x

64R

x2px¡1dx:

12.26.

16/15

p

p

12.28.

6¡ x+

4

4x

1

px3

7x¡6px3 dx:

R3

p

¡

(3 x)/(3+x)

dx

12.30. R0

e

¡

:

(3+x)p

9¡x2

13. Вычислить определенные интегралы.

16

13.1. R0 p

dx:

256 ¡ x2

3

13.4.

R0p

dx

:

2 3/2

(9+x )

/2

2

13.7.

p

x4dx

:

0

(1 x2)3

13.10.

R0

p16¡x2 :

R2

x2dx¡

4

x2p

13.13. R0

dx:

16 ¡ x2

13.16. R4 p16 ¡ x2dx:

0p

13.19. 2R 2 x4dx :

0

(16¡x2)p16¡x2

2
13.22. R0	p	dx	:
		(16¡x2)3

13.2. R1 x2p1 ¡ x2dx:

0

p

2

5

/

dx

13.5.

p

:

(5 x2)3

pR3

¡

0

13.8. R0 2

p

dx

:

(4¡x2)3

13.11. R

p

dx:

4 ¡ x2

0

5/2

13.14.

4R0p

x2dx

p

:

25¡x2

3

13.17.

R

p

dx

:

0

(64¡x2)3

13.20. R3

x2p

dx:

9 ¡ x2

13.23.

¡3

p(8¡x2)3 :

R0

2

x4dx

5
13.3. R0			dx			:
	(25+x2)p
					25+x2
2
13.6. R1	p
		x2	1
		x4¡		dx:

R1

13.9. 0 (2¡x2)3/2 :

13.12. R4 dx2 3/2 :

0 (16+x )

13.15. R5 x2p25 ¡ x2dx:

	0
	2p
				2
	pR3
13.18.							px24¡2			dx:
	p								x
		2
13.21. R1					p				dx		:
								(1+x2)3

13.24. R6 px24¡9dx:

3

x

87

13.25.

13.28.

13.31.

R1 p4 ¡ x2dx:

0 p

R2 x4dx :

0 3/2R

(4¡x2)3/2

0

px92¡dxx2 :

	4	p
13.26.			x24¡4				dx:
	2			x
	R1/p
				2
13.29.	R0						dx		:
						(1¡x2)p
								1¡x2

2
13.27. R0	dx			:
	(4+x2)p
			4+x2
1	2
13.30. R0
	px4¡dxx2	:

14. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

14.1.

y = (x ¡ 2)3 ;

14.2.

y = xp

; y = 0;

9 ¡ x2

y = 4x ¡ 8:

(0 · x · 3) :

14.3.

y = 4 ¡ x2;

14.4.

y = sin x cos2 x; y = 0;

y = x2 ¡ 2x:

(0 · x · ¼/2) :

14.5.

y = p

; y = 0;

14.6.

y = x2p

; y = 0;

4 ¡ x2

4 ¡ x2

x = 0; x = 1:

(0 · x · 2) :

14.7.

y = cos x sin2 x; y = 0;

14.8.

y = p

; y = 0;

ex ¡ 1

14.9.

(0 · x ·1

¼/2) :

14.10.

x = ln 2:

y =

xp

;

y = 0;

y = arccos x;

y = 0;

1+ln x

x = 1; x = e3:

x = 0:

14.11.

y = (x + 1)2 ;

14.12.

y = 2x ¡ x2 + 3;

y2 = x + 1:

y = x2 ¡ 4x + 3:

14.13.

y = xp

; y = 0;

14.14.

36 ¡ x2

x = arccos y;

x = 0;

(0 · x · 6) :

y = 0:

14.15.

y = arctg x;

y = 0;

14.16.

y = x2p

8 ¡ x2

; y = 0;

x = p

:

0 · x · 2p

:

3

2

14.17.

14.18.

¡

¢

x = e

¡ 1; x = 0;

=

4 ¡

= 0

;

p

y

y

xp

x2; y

14.19.

y = lnx2:

14.20.

(0 · x 1· 2) :

y =

1+p

; y = 0;

y =

;

y = 0;

1+cos x

x

x = 1:

x = ¼/2; x = ¡¼/2:

14.21.

x = (y ¡ 2)3 ;

14.22.

y = cos5 x sin 2x;

y = 0;

x = 4y ¡ 8:

(0 · x · ¼/2) :

14.23.

y =

x

;

y = 0;

14.24.

x = 4 ¡ y2;

(x2+1)

2

x = 1:

1

x = y2 ¡ 2y:

14.25.

14.26.

e1/x

x =

yp

;

x = 0;

y =

x2 ; y = 0;

1+ln y

y = 1; y = e3:

x = 2; x = 1:

14.27.

14.28.

= p

(0 · · 4)

y = x2p16 ¡ x2; y = 0;

x = 4 ¡ y2; x = 0;

x

:

y

0; y = 1:

88

14.29.	y = (x ¡ 1)2 ;		14.30. y = x2 cos x; y = 0;
14.31.	y2 = x ¡ 1:	2	(0 · x · ¼/2) :
	x = 4 ¡ (y ¡ 1) ;
	x = y2 ¡ 4y + 3:

15. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными урав-

нениями.

x = 4p

cos3 t;

x = p

cos t;

2

2

15.1.

½ y = 2p

sin3 t;

15.2.

½ y = 2p

sin t;

2

2

15.3.

x = 2 (x ¸ 2) :

15.4.

y = 2 (y ¸ 2) :

½ y = 4 (1 ¡ cos t) ;

½ y = 2 sin3 t;

x = 4 (t ¡ sin t) ;

x = 16 cos3 t;

y = 4 (0 < x < 8¼; y ¸ 4) :

x = 2 (x ¸ 2) :

x = 2 cos t;

x = 2 (t ¡ sin t) ;

15.5.

½ y = 6 sin t;

15.6.

½ y = 2 (1 ¡ cos t) ;

15.7.

y = 3 (y ¸ 3) :

15.8.

y = 3 (0 < x < 4¼; y ¸ 3) :

½ y = sin3 t;

½ y = 2 sin t;

x = 16 cos3 t;

x = 6 cos t;

x = 6p

x ¸ 6p

:

y = p

y ¸ p

:

3

3

3

3

x = 3 (t¡ sin t) ; ¢

x = 8¡

cos

3

t;¢

2

15.9.

½ y = 3 (1 ¡ cos t) ;

15.10.

p

½ y = p2 sin3 t;

¡

y = 3 (0 < x < 6¼; y ¸ 3) :

x = 4 (x ¸ 4) :

15.11.

½ y = 3p

2

sin t;

15.12.

½ y = 6 (1 ¡ cos t) ;

x = 2p

2

cos t;

x = 6 (t ¡ sin t) ;

y = 9 (0 < x < 12¼; y ¸ 9) :

15.13.

y = 3 (y ¸ 3) :

15.14.

½ y = sin3 t;

½ y = 8 sin t;

x = 32 cos3 t;

x = 3 cos t;

15.15.

x = 4 (x ¸ 4) :

15.16.

y = 4 (y ¸ 4) :

½ y = 6 (1 ¡ cos t) ;

½ y = 4 sin3 t;

x = 6 (t ¡ sin t) ;

x = 8 cos3 t;

y = 6; 0 < x < 12¼; y ¸ 6:

x = 3p

x ¸ 3p

:

3

3

x = 6 cos3 t;

x = 10 (¡t ¡ sin t) ;¢

15.17.

½ y = 4 sin3 t;

15.18.

½ y = 10 (1 ¡ cos t) ;

x = 2p

; x ¸ 2p

:

y = 15; 0 < x < 20¼; y ¸ 15:

15.19.

3

3

15.20.

½ y = p2 sin3 t;

½ y = 4p2 sin t;

x = 2p

2

cos3 t;

x = p

2

cos t;

x = 1 (x ¸ 1) :

y = 4 (y ¸ 4) :

89

½x = t ¡ sin t;

15.21.y = 1 ¡ cos t;

15.23.	y = 1; 0 < x < 2¼; y ¸ 1:
	½ y = 4 sin t;
	x = 9 cos t;

y = 2 (y ¸ 2) :

½x = 24 cos3 t;

15.25.y = 2 sin3 t;

x = 9p3 ¡x ¸ 9p3¢:

½x = 2 (t ¡ sin t) ;

15.27.	y = 2 (1 ¡ cos t) ;
	y = 2; 0 < x < 4¼; y ¸ 2:
	x = 2p				cos t;
			2
15.29.	½ y = 5p			sin t;
		2
	y = 5 (y ¸ 5) :

½x = 32 cos3 t;

15.31.y = 3 sin3 t;

x = 12p3 ¡x ¸ 12p3¢:

½x = 8 cos3 t;

15.22.y = 8 sin3 t; x = 1 (x ¸ 1) :

½x = 8 (t ¡ sin t) ;

15.24.	y = 8 (1 ¡ cos t) ;
15.26.	y = 12; 0 < x < 16¼; y ¸ 12:
	½ y = 8 sin t;
	x = 3 cos t;
	y = 4p				y ¸ 4p			:
		3				3
	x = 4p				2¡cos3 t;		¢
15.28.	½ y = p				sin3 t;
			2
	x = 2 (x ¸ 2) :
	x = 4 (t ¡ sin t) ;
15.30.	½ y = 4 (1 ¡ cos t) ;
	y = 6; 0 < x < 8¼; y ¸ 6:

16. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

16.1. r = 4 cos 3'; r = 2 (r ¸ 2) :
16.3.	r = p		cos '; r = sin ';
		3
	(0 · ' · ¼/2) :
16.5.	r = 2 cos '; r = 2p				sin ';
				3

(0 · ' · ¼/2) :

16.7. r = 6 sin 3'; r = 3 (r ¸ 3) :

16.9. r = cos ';

r = p2 sin (' ¡ ¼/4) ; (¡¼/4 · ' · ¼/2) :

16.11. r = 6 cos 3'; r = 3 (r ¸ 3) : 16.13. r = cos '; r = sin ';

(0 · ' · ¼/2) :

16.15. r = cos '; r = 2 cos ': p

16.17. r = 1 + p2 cos ': 16.19. r = 1 + 2 sin ':

16.2. r = cos 2':

16.4. r = 4 sin 3'; r = 2 (r ¸ 2) :

16.6. r = sin 3':

16.8. r = cos 3':

16.10. r = sin ';

r = p2 cos (' ¡ ¼/4) ; (0 · ' · 3¼/4) :

16.12. r = 1/2 + sin ': p

16.14. r = p2 cos (' ¡ ¼/4) ; r = 2 sin (' ¡ ¼/4) ;

(¼/4 · ' · 3¼/4) : 16.16. r = sin '; r = 2 sin ': 16.18. r = 1/2 + cos ':

16.20. r = 52 sin '; r = 32 sin ':

90