пособие1

17.17. lim esin 2x¡esin x		:
x!0	tgx

17.19. lim sin(x+h)¡sin(x¡h):
					h
h!0 ax+h+ax¡h							¡	2ax	:
17.21. lim				h	2
h!0	3
17.23. lim	p5+x¡2					:
x!3		sin ¼x

17.25. lim plg x¡1 :

x!10p x¡9¡1

17.27. lim cos x¡1:

x!0 sin2 2x

17.29. lim 1¡sin3 x:

x!¼/2 cos2 x

17.31. lim ex¡e :

x!1 sin(x2¡1)

17.18. lim

2x¡2:

ln x

x!1 p

p

17.20. lim

x+2¡ 2

:

17.22. x!0

sin 3x

1¡p

cos x

lim

1¡cos

p

:

x

x

0

!

sin2 x+sin x

1

17.24.

lim

2

2

¡

:

x

¼/6

2 sin

x¡3 sin x+1

!

3x+1

¡3

17.26. lim

:

x

0 ln(1+xp1+xex)

!

sin bx¡sin ax

17.28. lim

:

x!0

ln(tg(¼/4+ax))

17.30. lim log3 x¡1:

x!3 tg¼x

18. Построить графики функций с помощью производной первого по-

рядка.

18.1. y = 2x3 ¡ 9x2

2+ 12x ¡ 9:

18.2. y = 3x ¡ x3:

1)

= 2 3

y = ¡(x + 1) (¢±

18.3. y = x2

(x ¡ 2) :

:

18.4. y =

x3

¡ 92x2

4 +26x ¡ 9:

18.5. y

¡

x2

¡

x3

18.6.

x

¡

:

18.7. y = 2x3 ¡ 32x2 ¡ 4:

2

18.8. y = 3x2

¡ 2 ¡ x3:

18.9. y = (x

¡

(x

3)

:

18.10. y

=

¡

¡¢±

5:

18.11. y =

¡

8x3:

¡

18.12. y

=

+ 3

1)

2 ¡

6x

16x2 (x

:

18.13. y =

3

2

¡ 5:

18.14. y = 2 ¡ 12x

2

3

2x

+ 3x2

2

¡ 8x

:

18.15. y = (2x + 1) (2x ¡ 1) :

18.16. y = 2x

3

2

+ 9x2

+ 12x:

2

:

18.17. y =

12x2

¡ 8x3

¡ 2:

18.18. y = (2x ¡ 1)

(2x ¡ 3)

=

(¡

4)

¢±

¡

¢±

18.19. y =

27 x3 ¡ x2

4 ¡ 4:

18.20. y = x 12 ¡ x2

8:

18.23.

¡

2 .

x

3

8:

18.24.

y =

¡x

2

4

2

¡

y = 16 6x

2

¢±16:

5:

18.21. y

x2

x

16:

9:

18.22. y = 27 x3 + x2

4

18.25. y =

16x3¡

36x2 + 24x

18.26. y =

6x2

x3

.16

8:

¡

¡

¢±

¡

¡

¢

18.29.

= ¡ (

¡ 2) (

¡2

6)

.3

16

18.30.

=

¡

¡

2

¡ ¢±

2

¡

2

2

¡

¡

¡

18.27. y

x

x

:

18.28. y

16x3

12x2

4:

.

18.31. y =

16x3

+ 12x2

¡

5:

¢±

¡

y = ¡ (x + 1) (x ¡ 3) 16:

y = 11 + 9x ¡ 3x ¡ x 8:

19.	Построить графики функций с помощью производной первого по-
рядка.			p3
	19.1.
		y = 1 ¡		2	¡
	19.2.			x3		2x:
				p	2	:
		y = 2x ¡ 3			x

51

= 12q

+¢2x + 9 :

63

(

¡ 2)

2

2

19.4. y =

12

6 (x

1)¡= x

19.3. y

3

x

2

= x2

+ 8 :

¢

y = 1 ¡ qx

+ 2x:

¡

19.5.

¡

p3

¡

2

= 2 3 + 6 ¡ 3q2

(

2

19.6. y

x

3

x + 3)2:

19.8. y = 1q p3 x2 + 4x + 3:

±¡

¢

¡

19.7. y = 6

6 (x ¡ 3)

x ¡ 2x + 9 :

19.9. y = 3 3

(x ¡ 3)2 ¡ 2x + 6:

p3

2

(x + 2)2:¢

19.10.

2

3

19.11. y = 4x + 8±¡

6

y = 6q

6x x + 4x + 12 :

¡

q

±¡

¢

y =

3

(

2

2

q

+ 2)

x

19.12. y = 3

6 (x ¡ 4)

¡ 4x + 12 :

19.13.

3

x

x

:

19.14.

p3

2

y = p

x

+ 4x + 3:

= ¡ 3 3

q

6 (

4±¡

¢

2

+ 8

y = 6 (x 2)

19.15. y

q3

3

x + 1)2

x2

+ 6x + 17 :

19.16.

¡

¡2

x

:

2

= 2q

±¡

¢

19.17. y = 3

6 (x ¡ 5)

x

¡ 6x + 17 :

19.18. y

= 6

p

+ 3

8x (x + 2):

=

+ 6

q

1)2:

19.19. y

x

¡

6

¡

9 3

(x

¡

19.20.

p3

2

y

x

x + 8:

19.21. y =

3

4x (x ¡ 1):

q

19.23. y = ¡3

¡

±¡

¢

x (

x

2):

19.22. y = p3 3

3

6 (x + 2)2

x2

+ 8x + 24 :

19.24. y

= p

p

1

¡

x2

4x + 3

:

¡

19.25. y = 9q3

6x2¡ 6:

(x + 1)2 ¡2

3

19.26. y = 6q

6 (x + 3)

x

+ 10x + 33 :

16

12

3

2

19.27. y = 8x

¡

±¡(x

2) :

¢

¡3

q

¡2

2

19.28. y = ¡6q6 (x ¡

6)

x

¡ 8x + 24 :

±¡

3

2

(

+ 2)

2

¡2

¢

3q

x

¡

8x

16:

19.29. y = 12

19.30. y = 3q

±¡2 ¡x

+ 2x + 9¢¢:

6 (x ¡ 1)

52

q

19.31. y = 3 3 (x + 4)2 ¡ 2x ¡ 8:

20. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках.

20.1. y

= x2 + 16x ¡ 16;

[1; 4] :

20.2. y

=

4 ¡ x ¡

4

; [1; 4] :

x2

20.3. y = q3

2 (x ¡ 2)2 (8 ¡ x) ¡ 1;

[0;

6] :

2 x2+3

20.4. y =

( )

; [¡3; 3] :

x2¡2x+5

20.5. y =

2p

¡ x;

[0;

4] :

x

20.7.

=

¡

1 + qp

¡

9¡

20.6. y

3

2 (x

1)2 (x

7);

[

1;

5] :

y = x ¡ 4

+ 5; [1; ] :

x

20.8. y =

10x

; [0; 3] :

2

¡

¡4

¡

20.10.

= q22(

108

1+x

20.9. y

3

x + 1)2 (5

x)

2;

[

3;

3] :

y = 2x + x ¡ 59; [2; ] :

20.11.y = 3 ¡ x ¡ 4 2 ; [¡1; 2] :

p (x+2)

20.12.y = 3 2x2 (x ¡ 3); [¡1; 6] :

20.13.

y =

2(¡x2+7x¡7)

; [1;

4

] :

x2¡2x+2

20.14. y = x ¡ 4p

+ 8;

[¡1;

7] :

x + 2

20.15.

3

2

5

y = q4x2 (x ¡ 2)

2(5 ¡ x);

[1;

] :

20.16.

y =

; [¡4; ] :

4+x2

¡ 1] :

20.17. y = ¡x2

2

+ x8 + 8;

[¡4;

20.18. y =

p

[¡2; 4] :

3

2x2 (x ¡ 6);

20.19.

¡2x(2x+3)

4

y =

x2+4x+5 ; [1;

] :

20.20. y = ¡x2(+2x+5) ;

[¡5; 1] :

2 x2

+3

20.21.

3

2

4

y = q2

2 (x ¡ 1)

16(x ¡ 4);

[0;

] :

20.22.

5

y = x ¡ 2x +

¡ 13; [2;

] :

x¡1

20.23. y = 2p

¡ x + 2;

[1; 5] :

x ¡ 1

20.25.

¡

= qx22(

+ 2)

8

¡

20.24. y

3

x

2 (1

x);

[

3;

4] :

y = ¡2 + 2x +

+ 5; [¡2; 1] :

x¡2

20.26. y = 8x +

4

¡ 15;

£21;

2¤

:

x2

53

20.28.

y = q2

2[¡4; ] :

2 (x + 2)

16(x ¡ 4) + 3;

20.27.

3

2

2

y = x + 4x +

¡ 9; [¡1; ] :

x+2

20.30. y = 3

2 (x + 1)2 (x

£ 2);

[

2¤; 5] :

20.29. y =

4

¡ 8x ¡ 15;

¡2;

¡

21

:

x2

20.31.

q

10x+10

¡2

¡

y = ¡

; [¡1;

] :

x2+2x+2

21. Исследовать поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков.

21.1. y = x2 ¡ 4x ¡ (x ¡ 2) ln (x ¡ 1) ; x0 = 2: 21.2. y = 4x ¡ x2 ¡ 2 cos (x ¡ 2) ; x0 = 2:

21.3. y = 6ex¡2 ¡ x3 + 3x2 ¡ 6x; x0 = 2:

21.4. y = 2 ln (x + 1) ¡ 2x + x2 + 1; x0 = 0: 21.5. y = 2x ¡ x2 ¡ 2 cos (x ¡ 1) ; x0 = 1: 21.6. y = cos2 (x + 1) + x2 + 2x; x0 = ¡1: 21.7. y = 2 ln x + x2 ¡ 4x + 3; x0 = 1:

21.8. y = 1 ¡ 2x ¡ x2 ¡ 2 cos (x + 1) ; x0 = ¡1: 21.9. y = x2 + 6x + 8 ¡ 2ex+2; x0 = ¡2:

21.10. y = 4x + x2 ¡ 2ex+1; x0 = ¡1:

21.11. y = (x + 1) sin (x + 1) ¡ 2x ¡ x2; x0 = ¡1:

21.12. y = 6ex¡1 ¡ 3x ¡ x3; x0 = 1:

21.13. y = 2x + x2 ¡ (x + 1) ln (2 + x) ; x0 = ¡1: 21.14. y = sin2 (x + 1) ¡ 2x ¡ x2; x0 = ¡1: 21.15. y = x2 + 4x + cos2 (x + 2) ; x0 = ¡2: 21.16. y = x2 + 2 ln (x + 2) ; x0 = ¡1:

21.17. y = 4x ¡ x2 + (x ¡ 2) sin (x ¡ 2) ; x0 = 2:

21.18. y = 6ex ¡ x3 ¡ 3x2 ¡ 6x ¡ 5; x0 = 0: 21.19. y = x2 ¡ 2x ¡ 2ex¡2; x0 = 2:

21.20. y = sin2 (x + 2) ¡ x2 ¡ 4x ¡ 4; x0 = ¡2: 21.21. y = cos2 (x ¡ 1) + x2 ¡ 2x; x0 = 1: 21.22. y = x2 ¡ 2x ¡ (x ¡ 1) ln x; x0 = 1: 21.23. y = (x ¡ 1) sin (x ¡ 1) + 2x ¡ x2; x0 = 1: 21.24. y = x2 ¡ 4x + cos2 (x ¡ 2) ; x0 = 2:

21.25. y = x4 + 4x3 + 12x2 + 24 (x + 1 ¡ ex) ; x0 = 0: 21.26. y = sin2 (x ¡ 2) ¡ x2 + 4x ¡ 4; x0 = 2:

21.27. y = 6ex+1 ¡ x3 ¡ 6x2 ¡ 15x ¡ 16; x0 = ¡1: 21.28. y = sin x + sh x ¡ 2x; x0 = 0:

54

21.29. y = sin2 (x ¡ 1) ¡ x2 + 2x; x0 = 1:

21.30. y = cos x + ch x; x0 = 0:

21.31. y = x2 ¡ 2ex¡1;

x0 = 1:

22. Найти асимптоты и построить графики функций.

22.1. y =

17¡x2

:

22.2. y =

x2

+1

:

p

2

4x

5

3

¡

4x

¡

22.3. y = x

3

2

4x:

2

22.4. y = 4x

+9:

¡

3x3

¡

4

+8

2

4x2

22.5. y =

4x +3x ¡28x¡2

:

22.6. y =

x

¡3

:

2

2¡3x

p3x2

¡

2

3

2

22.7. y = 2x ¡6:

22.8. y =

2x

+2x ¡23x¡1

:

x

2

2

4x

3

¡

22.10. y =

2

¡

22.9. y = x ¡5x2 :

2x ¡6x+4:

5¡3x

3x

2

2

3

¡

22.11. y =

2¡x

4

:

22.12. y =

4x 2¡3x

:

p9x2

¡

4x ¡1

2

2

22.13. y =

3x

¡7:

22.14. y =

x +16

:

2x+1

p

2

3

2

2x

2

9x 2¡8

¡

:

22.16. y =

21

x

:

22.15. y = x +3x ¡2

¡

2

2¡3x

7x3+9

2

22.17. y =

2x

¡1

:

22.18. y =

2x ¡3x

¡22x+1

:

px2

¡

2

1¡3x

2

2

22.19. y = x ¡11:

22.20. y =

2x ¡9

:

4x¡3

px2

1

3

2

2

¡

22.21. y =

x ¡2x ¡23x+2

:

22.22. y = x

+2x¡1

:

3

12¡x

22x+1

22.23. y =

x +x

2¡3x¡1

:

22.24. y = x +6x+9

:

22x ¡2

2 x+4

22.25. y =

3x ¡10

:

22.26. y = x ¡2x+2

:

p

2

x+3

43x ¡12

2

22.27. y =

2x +2x

¡9x¡3

:

22.28. y =

3x ¡10:

2

22.29. y =

2

2x ¡3

22.30. y =

3¡2x2

:

¡x

¡4x+13:

¡8¡x

4x+3

p

2

22.31. y =

9

¡10x2

:

x ¡4

p4x2¡1

23. Провести полное исследование функций и построить их графики.

23.1. y = x3+42 :

23.2. y = x2¡x+1:

x

x2¡1

23.3. y =

2

:

23.4. y =

4x

:

2

3+x

2

x +2x

23.5. y =

12x

:

23.6. y = x2¡3x+3:

2

9+x3

2 x¡1

23.7. y = 4¡2x :

23.8. y = x ¡4x+1:

x

23.10. y =

x¡4 2

23.9. y = 2x32+1

:

(x¡21)

:

x

x

1 2

23.11. y =

x2

:

23.12. y =

1 +

:

(x¡1)

2

x

23.13.

12 3x

2

23.14.

9+6x 3x2

y =

:

y =

³

¡

´

2¡

2

:

x +12

x

¡2x2+13

23.15. y = ¡

8x

:

23.16. y =

((xx+1)¡1)2

:

x2+4

55

23.17. y =

3x4+1

:

23.18. y =

4x

:

3

2

x

(x+1)

23.19. y =

8(x¡1)2

:

23.20. y =

1¡22x3

:

(x+1)

x

23.21. y =

4

:

23.22. y =

4

:

2

+2x¡3

2

x2

3+2x¡x

23.23. y =

x

+2x¡7

:

23.24. y =

1

:

2

4

x

+2x¡3

x3

¡1

23.25. y = ¡

x

:

23.26. y =

x x¡232

:

(x+2)

2

23.27. y =

4(x+1)2

:

23.28. y =

3x

3

2

:

2

+2x+4

¡

x

x

23.29. y = x2

¡6x+92 :

23.30. y = x3¡273x+54

:

(x¡1)

x

23.31. y = x3

2

4:

¡

x

24. Провести полное исследование функций и построить их графики.

24.1. y = (2x + 3) e¡2(x+1):

24.2. y = e2(x+1) :

2(x+1)

24.3. y = 3 ln

x

¡

1:

24.4. y = (3

¡

x) ex¡2:

x¡3

2

¡

x

24.5. y =

e

:

24.6. y = ln

x

+ 1:

+2

2

¡

x

2(xx

1)

24.7. y = (x ¡ 2) e3¡x:

24.8. y = 2(e x¡¡1):

24.9. y = 3

3 ln

x

:

24.10. y =

¡

(2x + 1) e2(x+1):

x+4

2(x+2)

¡

24.11. y = 2(e x+2):

24.12. y = ln

x

¡

2:

x

2

3

x¡

24.13. y = (2x + 5) e¡2(x+2):

24.14. y =

e

¡

:

3¡x

x) ex¡3:

x

24.15. y = 2 ln

1:

24.16. y = (4

¡

x+1

2(x+2)¡

24.17. y = ¡

e¡

:

24.18. y = 2 ln x+3x ¡ 3:

2(x+2)

24.19. y = (2x ¡ 1) e2(1¡x):

24.20. y = ¡

e¡(x+2)

:

x+2

24.21. y = 2 ln

x

¡

3:

24.22. y =

¡

(x + 1) ex+2:

x¡4

x+3

x

24.23. y =

e

:

24.24. y = ln

1:

x+3

x+5

1)

2(x

¡

24.25. y = ¡ (2x + 3) e2(x+2):

24.26. y = ¡

e¡ ¡

:

2(x¡1)

24.27. y = ln

x¡x

5

+ 2:

24.28. y = (x + 4) e¡(x+3):

24.29. y =

ex¡3

:

24.30. y = ln x+6x

¡ 1:

x¡3

1

24.31. y = 2 ln

x¡x

+ 1:

25. Провести полное исследование функций и построить их графики.

= p

y =

p(

( + 2) ( + 4 + 1)

+ 1) ( + 2 ¡ 2)

25.1. y =

3

(2 ¡ x) (x2

¡ 4x + 1):

25.2. y = ¡ 3

(x + 3) (x2

+ 6x + 6):

25.5. y = p3

(x ¡ 1) (x2

¡ 2x ¡ 2)

:

25.6. y = p3

(x ¡ 3) (x2

¡ 6x + 6)

:

25.3. y

3

x

x2

x :

25.4.

3

x

x2

x :

25.7. y = p3

25.8. y = p3

(x2

¡

4x + 3)2:

x2 (x + 2)2:

q3

q3

2

2

25.9. y = qx2 (x ¡ 2) :

25.10. y = q(x2 ¡ 2x ¡ 3) :

56

= q3

(

+

2

25.11. y

3

x2

x

4)2:

25.13. y =

(x +

3) x :

25.15. y = p3

p3

:

1)2

(x

¡

¡

x2

q3

25.17. y = q3

(x ¡

4)

(x + 2)

:

2

25.19. y = q3

(x +

1) (x ¡ 2) :

2 3

2

25.21. y = q3

(x ¡

2)

¡

q(x ¡ 3) :

x (x

2

25.25. y = p3

3)2

:

25.23. y =

q3

(x ¡

6) x :

¡

2

¡

3

2

25.27. y = q3

(x +

2)

q(x + 3) :

2

25.29. y = q3

x (x + 6)

:

2

25.31. y = qx (x ¡ 1) :

3

x2 (x ¡ 4)2:

25.12. y = q3

2

:

25.14.

y = q3

(x ¡ 1) (

x

+ 2)

2

:

25.16. y =

(x + 6) x

25.18. y = p3

(x

¡

1)2

¡

3

(x

2)2:

q3

q

¡

25.20. y =

2

(x ¡ 3) x :

25.22. y = p3

(x + 2) (x

¡

4)2:

q3

3

2

25.24. y = px2 ¡ q(x

¡ 1) :

3 2

25.26. y = q3

x (x + 3)

:

2

25.28. y

= q3

x

x

¡

6) :

(

2

3

2

25.30. y = q(x + 1)

¡ q(x + 2) :

26. Провести полное исследование функций и построить их графики.

26.1. y = esin x+cos x:

26.2. y = arctg

p

(sin x + cos x)

2

:

26.3. y = ln (sin x + cos x) :

26.4. y = 1/(sin£x + cos x):

±

¤

p

2

sin x

:

26.6. y = arctg (sin x) :

26.5. y = e

p

26.7. y = ln

2

sin x

:

26.8. y = 1/(sin x ¡ cos x):

26.9. y = esin¡x¡cos x:

¢

26.10. y = arctg

(sin x ¡ cos x)

p

2

:

26.11. y = ln (sin x

cos x) :

26.12. y

(sin x + cos x)2:

¤

26.13.

p

cos x¡

26.14.

= 1.

£

±

2

y = e¡

¡p

:

y =

¡

arctg (cos x) :

(sin x ¡ cos x)2:

26.15. y = ln

2

cos x

:

26.16. y = 1

26.17. y = e

sin x

cos x:

¢

26.18. y

p3

sin x:

¡¡

¡

= .

= q3

26.19. y

26.20. y

p

(

sin x

cos x) :

x

x

)

:

= ln p¡2 sin x

¡

(sin

¡ cos

2

26.21.

:

26.22.

±

y = e¡

¡p

y = pcos x:

26.23. y = ln

26.24. y = p

2

sin x

:

cos x:

¢

26.25. y = e

cos x sin x

:

26.26. y =

3

(sin x + cos x)

p2:

¡

¡

26.27.

y = ln (cos x ¡ sin x) :

26.28.

p

±

y = qsin x:

26.29. y = ep

cos x:

= q(sin

)±

p

2

26.30. y

x

+ cos

x

:

26.31. y = ln

p2 cos x :

2

¡

¢

57

5.Интегрирование

5.1.Неопределенный интеграл. Определение и свойства

Определение 5.1. Функция F (x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a; b], åñëè F 0(x) = f(x) äëÿ 8x 2 [a; b].

Пример 5.1. Нетрудно видеть, что функция sin x ¡ 13 sin3 x является первообразной для функции cos3 x. Действительно,

(sin x ¡ 13 sin3 x)0 = cos x ¡ sin2 x cos x = cos x(1 ¡ sin2 x) = cos3 x:

Теорема 5.1. Åñëè F (x) первообразная для функции f(x), òî F (x) + C, ãäå C- некоторая константа, также является первообразной для f(x).

Теорема 5.2. Åñëè F (x) è Φ(x) две первообразные одной и той же

функции, то их разность F (x) ¡ Φ(x) есть константа на [a; b].

Следствие 5.1. Любые две первообразные одной и той же функции связаны соотношением Φ(x) = F (x) + C:

Определение 5.2. Множество всех первообразных функции f(x) íà-

Rзывается неопределенным интегралом от этой функции и обозначается

f(x) dx.

Укажем несколько свойств неопределенного интеграла:

Z Z

1: d f(x) dx = f(x) dx; 2: dF (x) = F (x) + C;

Z Z Z Z Z

3: af(x)dx =a f(x)dx; 4: (f(x) § g(x)) dx = f(x) dx § g(x) dx;

	Z	Z
6: Z	5:	f(x) dx = f(x(t))x0(t) dt;
	f0(x)g(x) dx = f(x)g(x) ¡ Z		f(x)g0(x) dx:

Свойства 3 и 4 означают линейность операции интегрирования. Свойство 5 следует из инвариантности формы первого дифференциала и лежит в основе нахождения интеграла с помощью замены переменной.

Используя свойства 1-6 и свойства дифференциалов, сводят вычисление интегралов к так называемым табличным интегралам. Таблица интегралов обратна к таблице производных и может быть легко получена.

58

Таблица интегралов

1.

R

x® dx =

x®+1

+ C (® 6= ¡1.

®+1

3.

dx

= arctg x + C.

1+x2

5.

R

p

dx

= arcsin x + C.

1

¡

x2

7.

R

ax

ax dx =

+ C (a > 0; a = 1).

ln a

9.

R

cos x dx = sin x + C.

6

11.R

R

dx

= tg x + C:

cos2 x

13.

1

dx =

1

ln aa+xx

+ C

a2 x2

2a

¡

¡

14.

R

1

dx = ln x¯+ p¯x2

+ k

+ C

px2+k

15.

R

j ¯

¯

j

ch x dx = sh x + C.

17.

R

sh12 x dx =

cth x + C.

R

¡

2.

R

dxx = ln jxj + C:

4.

dx

1

x

+ C (a = 0).

= a arctg a

a2+x2

R

dx

x

6

6.

p

= arcsin a

+ C (a = 0).

a2 x2

8. R

¡

6

ex dx = ex + C.

10.R

R

sin x dx = ¡ cos x + C.

12.

dx

= ¡ ctg x + C.

sin2 x

(

a = 0).

R

6

(k 6= 0).

16.

R

sh x dx = ch x + C.

18.

ch12 x dx =

th x + C.

R

¡

5.2. Приемы нахождения неопределенных интегралов

5.2.1. Подведение под знак дифференциала. Иногда удается представить подынтегральное выражение в виде f(u)du, ãäå u- некоторая функция от x, и при этом интеграл R f(u) du является табличным. Этот прием

называется подведением под знак дифференциала и представляет собой простейший вариант замены переменной, выраженной свойством 5. Для демонстрации этого приема нам понадобится свойство дифференциала

df(x) = a1d(af(x)) = a1d(af(x) + b)

и таблица производных, которую читатель должен знать из курса дифференциального исчисления.

Пример 5.2.

R

R

1 + x > 0 äëÿ âñåõ x èç R.

R

x dx

R

2

= 1

2xdx2

=

1

d(x22)

=1

d(1+x22)

= 1 ln(1 + x2) + C:

1+x

2

1+x

2

1+x

2

1+x

2

2

Знак модуля опущен в силу того, что

Пример 5.3.

R

d(x4)

R

R

3

R

3

x3dx

= 1

4x3dx4

=

1

d(x44) =

1

d(1+x44)

= 1 ln(1 + x4) + C:

4

1+x

4

1+x

4

1+x

4

1+x

4

Пример 5.4.

R

R

x dx

= 1

R

4x dx

=

1

=1arctg(x4) + C:

8

4

2

4

2

1+x

4

1+(x )

4

1+(x )

4

Пример 5.5.

R

R

sin 2x dx =

21

sin 2x d(2x) = ¡21 cos 2x + C:

С другой стороны,

sin 2x dx =

2 sin x cos x dx =

2 sin x d sin x =

2

R

R

xdx

¡ R

xd

x

¡

2 x

C:

sin

x + C;

sin 2xdx =R

2 sin x cos

R

=

2 cos

cos

R

= cos

+

59

Последний пример показывает, что у одной и той же функции может быть несколько разных первообразных, связанных между собой соотноше-

íèåì Φ(x) = F (x) + C:

5.2.2. Интегрирование по частям. Свойство 6 интеграла называ-
ется формулой интегрирования по частям. Понимают его в том смысле,
что множество первообразных, стоящее в левой части, совпадает со мно-
жеством первообразных, получаемых по правой части.
Пример 5.6.			xex dx = xex
Положим gR(x) = x, f0(x) = ex: Тогда f(x) = ex è
Вычислить xex dx:			R		¡
ex dx = xex ¡ ex + C:
R Пример 5.7. Вычислить		x cos x dx:		x cos x dx =
Полагаем g(x) = x f0(x)		R= cos x: Тогда f(x) = sin x è
x sin x ¡	sin x dx = x sin x + cos x + C:			R
использовании формулы интегрирования по частям нужно удачно
Ïðè	R
выбрать f è g, чтобы интеграл, полученный в правой части формулы нахо-

дился легче. Положим в примере 5.6 g(x) = ex f0(x) = x: Тогда g0(x) = ex, f(x) = x22 è R xex dx = x22 ex ¡12 R x2ex dx: Вряд ли интеграл R x2ex dx можно считать проще исходного.

Иногда требуется применить формулу интегрирования по частям несколь-

ко раз, например, при вычислении интеграла

R

x2 sin x dx: Предлагается

найти этот интеграл самостоятельно.

Pn(x)eax dx,

В интегралах

Pn(x) cos(ax) dx,

Pn(x) sin(ax) dx,

ãäå

полином (многочлен) степени

n

, обычно полагают

g(x) =

Pn(x)- некоторый R

R

R

Pn(x), f0(x) = cos ax (f(x) =

sin(ax)

),

f0(x) = sin ax (f(x) =

¡ cos(ax)

) è

a

a

f0(x) = eax (f(x) = eaax ), соответственно.

Интегралы

eax cos(bx) dx è

eax sin(bx) dx вычисляются с использова-

нием формулыRинтегрирования Rпо частям два раза.

5.2.3. Простейшие преобразования подынтегрального выраже-

íèÿ

Многие интегралы легко вычисляются, если произвести простейшие

преобразования, например, выделить целую часть, преобразовать тригоно-

метрическое выражение и так далее. Поясним сказанное на примерах.

Пример 5.8.

dx

x

dx =

x+2¡2 dx =

dx

¡

2

= x

¡

2 ln x + 2

j

+ C:

x+2

x+2

x+2

R

R

j

Пример 5.9.

x2+4 4

dx

x

R

x2

R

dx =

2 ¡

dx =

dx

¡

4

= x

¡

2 arctg

+ C:

2

2

+4

2

x +4

x +4

R

1 R

x

Пример 5.10.

1+cos 2x

1

R

R

R cos2 x dx = R

2

dx =

2x +

4 sin 2x + C:

60