пособие1

Тогда

= p

¡

j

p

= p

1

!

0 ïðè n

! 1

.

x2

x1

n + 1

n

n + 1 + pn

j

¡

jf(x2) ¡ f(x1)j = jx22 ¡ x21j = jn + 1 ¡ nj = 1:

Следовательно, какое бы ± >p0 мы ни выбрали, при достаточно большом n для точек x1 = pn è x2 = n + 1 будет выполняться неравенство jx2 ¡

x1j < ±, à jf(x2) ¡ f(x1)j = 1 > " = 1=2.

Теоретические задачи

1. Доказать, что, если f (x) непрерывная функция, то F (x) = jf (x)j

есть также непрерывная функция. Верно ли обратное утверждение?

2. Сформулировать на языке "¡± утверждение: Функция f (x), определенная в окрестности точки x0, не является непрерывной в этой точке .

3. Пусть предел	lim f (x) = 0 конечен, а				lim ' (x) не существует. До-
казать, что	x		x0	6	x x0
		!			!
lim f (x) ' (x) также не существует.

x!x0

У к а з а н и е. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного.

4. Пусть функция f (x) имеет предел в точке x0, а функция ' (x) íå

имеет предела. Будут ли существовать пределы:

1) lim [f (x) + ' (x)]; 2) lim f (x) ' (x)?

x!x0		x!x0
Рассмотреть пример: lim x sin 1
	x!0		x.
5. Пусть lim f (x)	6= 0	, а функция ' x			бесконечно большая при x	!
x x0				( )
!

x0. Доказать, что произведение f (x) ' (x) является бесконечно большой функцией при x ! x0.

6.Является ли бесконечно большой при x ! 0 функция x1 cos x1 ?

7.Доказать, что lim sin x не существует.

x!1

8. Функция f определена на (0; +1). Пусть Ln = sup f(x). Предполо-

[n;+1)

жим, что существует lim f(x) = L. Доказать, что Ln ! L ïðè n ! 1.

x!+1

9. Функция f : [0; +1) ! [0; +1) такова, что f ограничена в окрестности точки x = 0 è f(x+y) · f(x)+f(y) для любых x ¸ 0, y ¸ 0. Доказать,

что существует lim f(x)

x!+1 x .

10. Какие из следующих функций ограничены на указанных промежутках? Достигают ли они своих наименьшего и наибольшего значений на этих множествах?

21

à) x 2		[1; 5], y = arcctg					x2 + 1			+ 2sin x ¡ x2;
								2x
					8	¡x2 + 1				ïðè ¡1 · x < 0;
á) x	2	[	¡	1; 1], y =		0				ïðè x = 0;
					< x2			1		ïðè 0 < x · 1;
â) x	2	[	¡	1; 1], y =	:	¡x¡2 + 1				ïðè ¡1 · x · 0;
					½	¡x2				ïðè 0 < x · 1;

11. Исследовать на равномерную непрерывность в заданных областях
следующие функции:
à) f(x) = x=(4 ¡ x2) (¡1 · x · 1),
á) f(x) = ln x (0 < x < 1),
â) f(x) = ex cos 1	(0 < x < 1).
x

12. Пусть f непрерывна на R и существуют конечные пределы lim f(x)

x!+1

è lim f(x). Доказать, что f равномерно непрерывна на R.

x!¡1

Расчетные задания

1. Доказать (найти ± (")), ÷òî:

1.1. lim 2x2+5x¡3

=

7:

x

3

x+3

¡

1.3.

!¡

2

=

7:

lim 3x +5x¡2

x

2

x+2

¡

1.5.

!¡

2

+x¡1

=

5:

lim

6x

x

1/2

x+1/2

¡

1.7.

!¡

2

¡1 =

6:

lim

9x

¡

x

1/3 x+1/3

1.9.

!¡

2

¡2x¡1 =

4:

lim

3x

x

1/3

x+1/3

¡

!¡

2

1.11. lim x ¡4x+3 = 2:

x

!

3

x¡3

1.13.

6x2¡5x+1 =

lim

1:

x

!

1/3

x¡1/3

¡

1.15.

2

+13x+21

1

:

lim

2x

= ¡

x

!¡

7/2

2x+7

2

1.17.

2

+x¡1

= 5:

lim

6x

x

!

1/3

x¡1/3

2

= 23:

1.19. lim 2x ¡21x¡11

x

!

11

x¡11

2x2+15x+7

= ¡13:

1.21. xlim7

x+7

1.23.

!¡

2

¡x¡1

=

5:

x

lim

6x

!¡

1/3

3x+1

¡3

1.2. lim 5x2¡4x¡1

= 6:

x

!

1

x¡1

2

= 10:

1.4. lim 4x ¡14x+6

x

!

3

x¡3

2

¡x¡1

= 5:

1.6. lim

6x

x

1/2

x¡1/2

!

2

= 7:

1.8. lim 3x ¡5x¡2

x

!

2

x¡2

7x2+8x+1

1.10. xlim1

= ¡6:

x+1

1.12.

!¡

2x2+3x¡2

lim

= 5:

x

!

1/2

x¡1/2

1.14.

2

=

19:

lim

10x +9x¡7

¡

x

!¡

7/5

x+7/5

1.16.

2

¡9x+10 = 1

:

lim

2x

x

!

5/2

2x¡5

2

1.18.

2

=

81:

lim

6x ¡75x¡39

¡

x

!¡

1/2

x+1/2

2

= 26:

1.20. lim 5x ¡24x¡5

x

!

5

x¡5

1.22.

lim 2x

+6x¡8

=

¡

10:

1.24.

x!¡4

2

x+4

=

8:

lim

x

+2x¡15

¡

x

!¡

5

x+5

22

1.25. lim 3x2¡40x+128

= 8:

1.26. lim

5x2¡51x+10

= 49:

x

!

8

x¡8

x

!

10

x¡10

1.27.

lim

2x

¡5x+2

= 3:

1.28. lim

3x

+17x¡6

=

¡

19:

x

!

1/2

x¡1/2

¡

x

!¡

6

x+6

1.29.

2

+17x¡6

= 19:

1.30.

2

8:

lim

3x

lim

15x ¡2x¡1 =

¡

x

!

1/3

x¡1/3

x

!¡

1/5 x+1/5

2

= 8:

1.31. lim 15x ¡2x¡1

x

!

1

x¡1=3

2. Доказать, что функция f (x) непрерывна в точке x0 (найти ± (")).

2.1. f (x) = 5x2 ¡ 1; x0 = 6:				2.2. f (x) = 4x2 ¡ 2; x0 = 5:
2.3. f (x) = 3x2 ¡ 3; x0 = 4:				2.4. f (x) = 2x2 ¡ 4; x0 = 3:
2.5 f (x) = ¡2x2 ¡ 5; x0 = 2:				2.6 f (x) = ¡3x2 ¡ 6; x0 = 1:
2.7 f (x) = ¡4x2 ¡ 7; x0 = 1:				2.8 f (x) = ¡5x2 ¡ 8; x0 = 2:
2.9 f (x) = ¡5x2 ¡ 9; x0 = 3:				2.10	f (x) = ¡4x2 + 9; x0 = 4:
2.11	f (x) = ¡3x2 + 8; x0 = 5:			2.12	f (x) = ¡2x2 + 7; x0		= 6:
2.13	f (x) = 2x2 + 6; x0 = 7:			2.14	f (x) = 3x2 + 5; x0	= 8:
2.15	f (x) = 4x2 + 4; x0	= 9:		2.16	f (x) = 5x2 + 3; x0	= 8:
2.17	f (x) = 5x2 + 1; x0	= 7:		2.18	f (x) = 4x2 ¡ 1; x0	= 6:
2.19	f (x) = 3x2 ¡ 2; x0 = 5:			2.20	f (x) = 2x2 ¡ 3; x0	= 4:
2.21	f (x) = ¡2x2 ¡ 4; x0		= 3:	2.22	f (x) = ¡3x2 ¡ 5; x0		= 2:
2.23	f (x) = ¡4x2 ¡ 6; x0		= 1:	2.24	f (x) = ¡5x2 ¡ 7; x0		= 1:
2.25	f (x) = ¡4x2 ¡ 8; x0		= 2:	2.26	f (x) = ¡3x2 ¡ 9; x0		= 3:
2.27	f (x) = ¡2x2 + 9; x0		= 4:	2.28	f (x) = 2x2 + 8; x0	= 5:
2.29	f (x) = 3x2 + 7; x0	= 6:		2.30	f (x) = 4x2 + 6; x0	= 7:
2.31	f (x) = 5x2 + 5; x0	= 8:

3. Вычислить пределы функций.

3.1.	lim	(x3¡2x¡1)(x+1)							:
			4		2
	x 1		x	+4x ¡5
	!¡	x2+3x+2				)	2
3.3. lim		(						:
		3		2	¡x¡2
	x!¡1 x		+2x

(x2+2x¡3)2

3.5. lim x3+4x2+3x :

x!¡3

3.7. lim (1+x)3¡(1+3x): x!0 x+x5

3.9. lim x32¡3x¡2:

x!¡1 x ¡x¡2

3.11. lim x3¡3x+2 :

x!1 x3¡x2¡x+1

3.13. lim x3+4x2+5x+2: x!1 x3¡3x¡2

3.2. lim x3¡3x2¡2:

x!¡1 x+x

(2x2¡x¡1)2

3.4. lim x3+2x2¡x¡2:

x!1

(x3¡2x¡1)2

3.6. lim x4+2x+1 :

x!¡1

3.8. lim x2¡2x+1:

x!¡1 2x2¡x¡1

3.10. lim x3+5x2+7x+3: x!¡1 x3+4x2+5x+2

3.12. lim x33+x22¡5x+3:

x!1 x ¡x ¡x+1

3.14. lim x4¡1 :

x!1 2x4¡x2¡1

23

3.15.

lim

x3+5x2+8x+4

:

3

2

x

2

x

+3x ¡4

!¡

3

6x2+12x

8

:

3.17. lim x

¡3

2

¡

x

2

x

¡3x +4

!

3

3.19.

lim

x2¡3x¡22

:

x

1

(x ¡x¡2)

!¡

3

¡3x¡2:

3.21.

lim

x2

x!¡1

x +2x+1

x4

1

3.23. lim

4

¡2

¡1

:

x

1

2x

¡x

!

2

3.25. lim

2x

¡2x¡1

:

3

x

1 x

+2x ¡x¡2

!

3

¡2x¡1:

3.27.

lim

x4

x!¡1

x +2x+1

x

2

¡1

3.29. lim

:

2

x

1

2x

¡x¡1

!

x

3

2

3.31. lim

3¡4x

2¡3x+18

:

x!3

x ¡5x +3x+9

4. Вычислить предеëû функций.

4.1

lim

p1+2x¡3

:

p

2

x!4 p

x¡

4.3

lim

3

x¡1

:

p

2

¡1

x

!

1

x

3

4.5 lim

px3¡6+2

:

x!¡2

x +8

4.7 lim

p

¡5

:

9+2x

3

x!8

3

px¡2

2

4.9 lim

p8+3x+2x ¡2

:

x!0

x+x

3

4.11

lim

px¡1

:

p

p

x

1

1+x¡ 2x

!

3

4.13 lim

p4x¡2

:

x

2 p2+x¡p2x

!

3

4.15 lim

p9x¡3

:

x

3 p3+x¡p2x

!

3

4.17 lim

p16

x¡4

:

x

4 p4+x¡p2x

!

p3

4.19

x/4

¡

1/2

p1/2+x

lim

p2x:

x

1/2

¡

!

p3

4.21

x/16

¡

1/4

p1/4+x

lim

p2x:

x

1/4

¡

!

3

3

x

p27+x

p27

4.23

lim

3

¡

5

¡

:

2

p

x!0 p

x

+px

4.25

2

¡(1+x)

lim

1¡2x+3x

:

3

p

x

x!0

4

4.27

lim

px¡2

:

p3 (p

x

16

x

4)2

!

p

¡2

¡

4.29

x

:

3

2

lim p

x

4

x ¡16

!

3

2

+8x

¡

4

:

3.16. lim x ¡35x

2

x

!

2

x ¡3x +4

3.18.

x3+5x2+8x+4

lim

:

x3+7x2+16x+12

x!¡2

3

3x

2

3.20. lim

x

2

:

3

¡

¡

x!2

x +7x +16x+12

x2

2x+1

3.22. lim

3

¡2

:

x

!

1 x ¡x ¡x+1

3.24.

x2+3x+2

lim

:

3

2

¡x¡2

x

!¡

1 x

+2x

x2+2x 3

3.26.

lim

x3+4x2+3¡ x

:

3.28.

x!¡3

3

¡(1+3x)

lim

(1+x)

:

x2+x5

3.30.

x!0

x3+7x2+15x+9

lim

:

x3+8x2+21x+18

x!¡3

p

¡

3

:

4.2.

lim

1¡x3

x!¡8

2+px

4.4 lim

p

x+132¡2p

x+1

:

x!3 4

x ¡9

p

4.6 lim

p

x

¡2

:

x!16p

x¡4

2

4.8 lim

1¡2x+x ¡(1+x)

:

x!0

3

x

3

p

p

4.10

lim

27+x¡3

27¡x

:

x+2px4

4.12

x!0

p

p

lim

3

1+x¡

3

1¡x

:

p

p

1¡x

x!0 p

1+x¡

4.14

lim

x

¡1

:

2

¡1

x

1

x

!

3

4.16

lim

px¡6+2

:

x!¡2

x+2

p

5

9+2x

4.18

lim

3

¡

:

2

p

¡4

x

8

x

!

p3

4.20

x/9

¡

1/3

lim

p1/3+x

p2x:

x

1/3

¡

4.22

!

p1+x7¡p1¡x:

lim

3

p

x

x!0

3

2

p8+3x x2

4.24

lim

3

¡

¡

:

x!0 p

px2+x3

5

9+2x

4.26

lim

3

¡

:

p

x¡2

x

8

4.28

!

4x

lim

p

:

2

x

0

4x +2x+3¡2x

!

6p

10¡x¡

1

x

4.30

lim

3

¡

:

x! ¡8

2+px

24

		p				2p
			x	+13			x+1
4.31	lim				¡			:
				3
					2
				p
	x 3				x ¡9
	!

5. Вычислить пределы функций.

5.1. lim

ln(1+sin x)

:

sin 4x

x!0

2

:

5.3 lim 3x ¡5x

x!0

sin 3x

4x

5.5 lim

:

tg(¼(2+x))

x!0

3

x:

5.7 lim 1¡cos2

x!0

4x

2

x

¡1

5.9 lim

:

x!0 ln(1+2x)

5.11

lim

ln(1¡7x)

:

x!0

sin(¼(x+7))

5.13

9 ln(1¡2x)

lim

:

x!0

4 arctg 3x

5.15

sin

7x

lim

:

2

x!0

x +¼x

5.17

2 sin[¼(x+1)]

lim

ln(1+2x)

:

x!0

p

5.19

lim

1+x¡1

:

x!0

sin[¼(x+2)]

5.21

lim

1¡p

cos x

:

x!0

x sin x

4x

¡1

5.23

lim

e

:

x!0

sin(¼(x/2+1))

2

x¡4tg

2

x:

5.25

lim sin

x!0

x

5.27

tg x¡sin x

lim

:

x 0

x(1¡cos 2x)

5.29

!

tg(¼(1+x/2))

lim

ln(x+1)

:

5.31

x!0

2x sin x

:

lim

1¡cos x

x!0

6. Вычислить пределы функций.

6.1. lim x2¡1:

x!1 ln x 6.3 lim 1+cos 3x:

x!¼ sin2 7x

6.5 lim 1+cos ¼x: x!1 tg2¼x

6.7 lim sin x2¡tg42x:

x

¼

(x¡¼)

6.9

!

cos 5x

¡

cos 3x

:

lim

x!¼

sin

2

x

6.11 lim sin 7¼x

:

sin 8¼x

x!2 p

2

¡3x+3¡1

6.13 lim

x

:

x!1

sin ¼x

5.2. lim

cos 10x

:

1¡

2

¡1

x

0

ex

5.4

!

1¡cos 2x

lim

:

x

0 cos 7x¡cos 3x

5.6

!

2x

lim

:

tg[2¼(x+1/2)]

5.8

x!0

arcsin 3x

lim p

p

:

x

0

2+x¡ 2

!

arctg 2x

5.10 lim

:

sin(2¼(x+10))

x!0

5.12 lim cos(x+5¼/2)2tg x: x!0 arcsin 2x

5.14 lim 1¡p3x+1 :

x!0 cos[p ¼(x+1)/2]

5.16 lim 4+x¡2:

x!0 3 arctg x

5.18 lim cos 2x¡cos x:
x!0	1¡cos x

5.20 lim sin[5(x+¼)]: x!0 e3x¡1

5.22 lim arcsin 2x ln 2: x!0 2¡3x¡1

5.24 lim 1¡cos x :

x!0 (e3x¡1)2

5.26

lim

arcsin 2x

:

ln(e¡x)¡1

x

!

0

5.28

ln(x2+1)

lim

p

:

x2+1

x

!

0

1¡

¼x

1)

5.30

2(e

¡

lim

3

:

p

1+x¡1)

x!0

3(

6.2. lim

p

¡1

:

x2¡x+1

x!1

ln x

1¡sin 2x2 :

6.4

lim

x

!

¼/4

(¼¡4x)

6.6

tg3tgxx:

lim

x!¼/2

6.8 lim

p

¡1

x2¡x+1

:

x!1

tg¼x

sin 72x¡sin23x:

6.10

lim

x

2¼

ex ¡e4¼

!

ln(5¡2x)

6.12 lim p

:

10¡3x¡2

x

2

!

6.14 lim x2¡¼2 :

x!¼ sin x

25

6.15 lim 35x¡3¡32x2 :

x!1

tg¼x

6.17

ln 2x¡ln ¼

lim

:

x!¼/2 sin(5x/2) cos x

6.19 lim

e¼¡ex

:

x

!

¼ sin 5x¡sin 3x

1 24¡x2

6.21 lim

¡

:

x

!

2

2(p2x¡p3x2

¡5x+2)

6.23 lim

tgx+2¼x:

6.25

x!¡2

1¡2 cos x:

lim

x

!

¼/3 ¼¡3x

2

6.27

(2x¡1)

lim

:

x

!

1/2 esin ¼x¡e¡ sin 3¼x

6.29 lim 3¡p

:

10¡x

x!1

sin 3¼x

6.31 lim

cos 3x2¡cos x

:

x!¼

tg 2x

7. Вычислить пределы функций.

7.1.

lim

2cos2 x¡1:

x!¼/2

ln sin x

3

7.3 lim

ln(x¡p2x¡3)

:

sin(¼x/2)¡sin[(x¡1)¼]

x

!

2

7.5.

e

tg x

¡e¡

sin 2x

:

x

lim

!

¼/2

sin x¡1

sin(p

¡p

)

7.7. lim

2x2¡3x¡5

1+x

:

ln(x¡1)¡ln(x+1)+ln 2

x!3

7.9. lim

p

ln(4x¡1)

:

1¡cos ¼x¡1

x

!

1/2

sin ¼x

7.11 lim

2

3

¡1

:

7.13

x!3

ln(x

¡6x¡8)

lim

tg ln(3x¡5)

:

x+3

¡e

x2+1

x

2 e

!

p

1+ln2 x

¡

1

7.15 lim

:

x!1

1+cos ¼x

7.17

ln(2x¡5)

lim

:

sin ¼x

¡1

x!3

e

7.19

lim

esin 2x¡etg2x

:

x!¼/2

ln(2x/¼)

7.21 lim

p

2x+7

¡3p

2x+1+5

:

7.23

x

!

1

x ¡1

(x3¡¼3) sin 5x

:

lim

esin

2

x¡1

x!¼

7.25 lim ln cos 2x: x!¼ ln cos 4x

7.27 lim ax2¡a2¡1 :

x!a tg ln(x/a)

6.16

lim

2x¡16:

x!4

sin ¼x

6.18

lim

cosln tg2xx:

x!¼/4

2

:

6.20

lim ln(9¡2x

)

x!2

sin 2¼x

3

6.22

p

¡1

:

lim

4

x

p

x 1

x¡1

6.24

!

1¡sin(x/2)

lim

:

x ¼

¼¡x

!

2

¡2x):

6.26

lim arctg(x

x!2

sin 3¼x

6.28

cos(¼x/2)

lim

:

1¡

p

x 1

x

!

6.30

lim sin 5x:

x!¼

tg3x

7.2.

lim

(2x¡1)2

:

x

!

1/2 esin ¼x¡e¡ sin 3¼x

tg x¡tg 2

7.4. lim

:

x!2 sin ln(x¡1)

7.6.

lim

ln sin 3x2 :

x!¼/6

(6x¡¼)

7.8.

lim

(x¡2¼)2

:

x

!

2¼ tg(cos x¡1)

7.10

arcsin (x+2)/2

lim

p

:

2+x+x2

¡9

x!¡2

3

7.12

lim

ln cos 2x

:

2

x!¼

(1¡¼/x)

7.14

lim

ln cos x

:

sin 2x

¡1

x

!

2¼ 3

7.16

cos(x/2)

lim

:

e

sin x

sin 4x

x

!

¼

¡e

2

¡esin

2

3x :

7.18

lim

esin 6x

x!¼/3

log3 cos 6x

2

7.20

lim

tg(ex+2

¡ex ¡4):

x!¡2

tgx+tg2

7.22

lim

ln(2+cos x)

:

(3

sin x

¡1)

2

x

!

¼

7.24

tg(x+1)

lim

:

p

3

2

x!¡1 e

3

x ¡4x +6¡e

7.26

lim

ln sin x

:

x

2

!

¼/2

(2x¡¼)

7.28

3

lim

sin(e p1¡x2¡e px+2):

3

x!¡3 arctg(x+3)

26

7.29

lim

ln(cos(x/2)+2)

:

a2¼2/x2

¡a¼/x

x

!

a¼

¡a

a¼/x 1

a sin(x2

¼)

¡

7.31

lim

p

/

:

sin x+1

x!1/2

2

¡2

7.30 lim tg(3¼/x¡3) :

x!¼ 3cos(3x/2)¡1

8. Вычислить пределы функций.

8.1. lim

sin 2x

1+x

:

x!0

¡sinx4x¢2/(x+2)

8.3. lim

¡

¢x+3

:

x

x!0

:

8.5. lim (cos x)

x!0

ln(1+x) x/(x+2)

8.7. lim

:

x!0

6x

8.9. lim ³ex

3

2

1

(8x+3)/(1+x)

´

:

x

¡

x!0

³ sin 6x´2+x

:

8.11. lim

2x

x!0

¡

8.15.

x3

2

x!0

+8¢

x+2

8.13. lim

¡sin 2x

¢x

:

sin 3x

lim

:

x+10

x!0

³32x

¡1

´x+1

8.17. lim

2

:

8.21. lim

¡

x

¢

:

x2

x!0

³11x+8

´cos2 x

:

8.19. lim

12x+1

x!0

ln(1+x2)

3/(x+8)

x!0

8.23. lim¡ arcsin x ¢2/(x+5) :

8.25.

x!0

¡ x x

¢cos x4

:

lim (e

+ x)

8.29.

x!0

¡

¡

¢¢

x

¼

(e ¡1)/x :

8.27. lim

tg

¡

x

x

!

0

4

)

1+8x

1

/(

x2

+1

lim

2+11x

¢1/(x+2)

:

8.31.

x!0

¡ x3+4

:

lim

³x3+9

´

x!0

9. Вычислить пределû функций.
9.1.		¡	3x 1		1/(px¡1)
	lim		¡		3			:
	x!1		x+1
			2x¡1		3
9.3. lim				¢1/(px¡1)				:
	x!1	¡	x	¢

8.2. lim

2+x

x

:

3¡x

x

!

0

¡ e3x ¢1

cos2(¼=4+x)

x!0

³ 2x¡ ´x2+3

8.4. lim

:

x +4

8.6. lim

:

x!0

x+2

8.8. lim ³tg4x

2+x

:

´

8.10.x!0

¡

x

x+2¢ cos x

:

lim

x+4

¢1

8.12.

x!0

¡ ex2

´

6/(1+x)

lim

2

:

x!0

³ x¡

x+2

:

8.14. lim (tg (x + 3))

x!0

8.16. lim (sin (x + 2))3/(3+x) :

x!0

x4+5 4/(x+2)

8.18. lim

:

x+10

x!0

³x3+1 ´2/(x+1)

:

8.20. lim

³x

3+8

8.22.

x!0

x´1+x

:

lim

cos

¼

x!0

¡arctg 3¢x x+2 :

8.24. lim

x

¢1/(x+6)

8.26.

x!0

¡ sin 5x2

lim

³ sin x

´5

:

x!0

¢

tg2x

8.28. lim

6

:

¡ cos x

x 0

8.30.

!

¡ arcsin2 x

2x+1

lim

:

³arcsin

2

4x

´

x!0

9.2. lim	sin x		1/(x¡a)	:
x!a	sin a
	¡cos x¢		1/(x¡2)
9.4. lim				:
x!2	¡cos 2	¢

27

9.5.

2x

7

1/(px¡2)

lim

¡

3

:

x!8

x+1

9.7. lim ¡

2x¡1

5

¢1/(px¡1) :

x!1

x

9.9.

x

ctg2x/sin 3x :

lim¡(cos ¢)

x!2¼

¡

¢

¼x

lim

6¡x

tg 6

:

9.11. lim

x!3

3

9.13.

(3

¡

tg ¼x

:

x

1

2x)

2

9.17.

!

¡

9

2x

¢1

tg ¼x6

x/(x¡1)

x!3

¡3x

9.15. lim

¡

x¡1

¡

:

9.19.

x!1

¢(3x¡1)/(x¡1)

lim

¡

2e

¡ ¡

1

¢

:

x!1

lim

2e

1

:

9.21. lim

¡

2ex¡2

¡

1 (3x+2)/(x¡2) :

x!2

9.23. lim

2¡x

¢

1/ln(2¡¢x) :

x!1

¡

x

sin(¼x/2)

9.25. lim (2

¡

x) ln(2¡x)

:

x

!

1

¡

¢

ln(x+2)

x+1

9.27. lim

ln(2¡x)

:

x!1

2x

1

ln(x+1)

9.29. lim

:

ln(2

¡

x)

x

1

x

9.31.

!

¡

2x¢

1

¢

ln(3+2x)

ln(2¡x)

x!1

¡

x¡

:

lim

9.6. lim (tgx)1/cos(3¼/4¡x) :

x!¼/4		¢	tg ¼x
¡	x
9.8. lim 2			2a	:
x a	¡ a
!					2	2x :
9.10. lim (cos x)1/sin

x!2¼

9.12. lim (cos x)ctgx/sin 4x :

x!4¼

5

9.14. lim (cos x)tg5x sin 2x :

9.16.

x!4¼

(sin x)6 tgx¢tg3x :

lim

9.18.

x!¼/2

x

¢

1/(x¡¼/2) :

lim

9.20.

x!¼/2

¡tg2

sec x

:

lim

(1 + cos 3x)

9.24.

x!¼/2

x

´

³

sin(x¡1)

9.22. lim

sin(x¡1)

x¡1¡sin(x¡1) :

x 1

x¡1

!

¡

¢

¡

:

9.26. lim

lim

ctg

1/cos x

:

2

9.28.

x!¼/2

¢

ctgx

¡

sin x

1/(x

3)

x!3

sin 3

(sin x)

18 sin

:

lim

x!¼/2

4

¢

x!¼

¡

1/cos(x/2) :

9.30. lim

ctgx

10.Вычислить пределы функций.

10.1.lim ¡1 ¡ ln ¡1 + x3¢¢3=(x2 arcsin x) : 10.2. lim (cos px)1/x :

x!0

1+x 2x

1/x2

x!0

arctg2p

2/sin x

10.3. lim

:

10.4. lim

2

3

x

sin´2 3x

:

x!0

1+x¢¢3x

ctg3x

x!0

³

¡

4

1

10.5. lim

¡

1+sin x¢cos ®x

:

10.6. lim

5

/

:

¡ cos x

x

!

0

1+sin x cos ¯x

x

!

0

³

´

10.9.

1/(x sin

)

:

10.10.

e

2

:

¼x

10.7. lim (1

ln (1 + p

x

))

4

3

10.8. lim

¡

2

¢

³

´

x sin

px

arcsin

2

px

x

0

¡

3

/

x

0

¡

!

!

1/ln cos x

lim (cos ¼x)

:

lim

1 + sin 3x

:

10.11.x!0

¡

¡

¼

arcsin¢¢

ctgx

10.12. x!0

¡

2

¢ 1/ln(1+¼x3)

lim

tg

:

lim

¡

x sin

¢/ ( )

:

x

0

4

¡

3 (

)/

x

0

¡

1

ln 1+x2

!

cos ec2x

!

x

x

10.13. lim

2

¡

5

:

10.14. lim (2

¡

cos 3x)

:

x

0

x

0

!

¡

¡

¢

¼x

!

2

x!0

x!0

10.15. lim

³

e

sin x ctg´

:

10.16. lim (cos x)

1/ln(1+sin x)

:

2

28

2

1= ln(1+tg2(¼x=3))

10.17. lim

³

ex

´

:

x!0

5

³2 ¡

´2

1/ln cos x

:

10.19. lim

2

¡ 3

sin

x

x

0

!

¡

ctg2x

10.21. lim

6

:

¡ cos x

x

0

10.23.

!

1+sin x cos¢2x

1/sin x3

lim

¡1+sin x

cos 3x

¢

:

x!0

1

6

1/x3

10.27.

x!0

¡

1+x 3x

1/tg2x

¢

px

:

10.25. lim

1 + ln 3arctg

x!0

¡1+x¢¢7x

¢

lim

:

10.29. lim (1 ¡ ln cos x)1/tg2x :

x!0 ³1+x2¢2x ´1/sin3 x

10.31. lim 1+x2¢5x :

x!0

10.18. lim (3 ¡ 2 cos x)¡cosec2x :

x!0

xp2

10.20. lim

2

¡

cos x:

x 0

!

2

cosec2x

10.22. lim

3

:

cos x

10.24. x!0

¡

¡

¢1/(1¡cos ¼x)

2

e

x2

:

lim

³

¡

´

x!0

1/x3

10.26. lim

³

1+tgx cos 2x

:

1+tgx cos 5x

x!0

1

/

ln 1+3x2

)

2

(

10.28. lim

1 + tg

x

:

x!0

¡1

2

x

1

/

ln 1+tg2

3x

)

10.30. lim

sin

(

:

¡

¢

¢

x!0

¡

2

4. Дифференцирование. Исследование функций

Определение 4.1. Производной функции y = f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента

x ïðè x !0:

lim	y	=	lim	f(x +	x) ¡ f(x)	:
x!0	x		x!0		x
Производная обозначается так: y0 èëè y(1), èëè dy
водной называют дифференцированием.					dx. Нахождение произ-
Геометрически производная есть угловой коэффициент касательной (тан-
генс угла наклона) к графику этой функции.
Функция, дифференцируемая в точке x, будет и непрерывной в этой

точке.
Непрерывность функции есть необходимое (но недостаточное) условие
дифференцируемости.
Практически производные находятся по формулам дифференцирова-
ния, приведенным ниже.
1.	Åñëè c постоянная, а u(x) функция, то c0 = 0, (cu(x))0 = cu0(x).
2. (u(x) § v(x))0 = u0(x) § v0(x).
3. (u(x)v(x))0 = u0(x)v(x) + u(x)v0(x).
4.	¡	u(x)	0	=	u0(x)v(x)¡u(x)v0(x)
		v(x)				v2(x)		;		(f('(x)))0	= f0('(x))'0(x)
5.			¢y = f(u)				u = '(x)
	Åñëè					,			, òî		;

29

6. Для данной функции y = f(x) производная от обратной к ней функции x = '(y) вычисляется по формуле '0(y) = 1=f0('(y)).

Производные от элементарных функций.

(x®)0 = ®x®¡1 (x>0, ® 2 R).

(ax)0 = ax ln a (a > 0, a =6 1).

(tg x)0 = cos12 x (x =6 ¼=2 + ¼n). (arcsin x)0 = p11¡x2 .

(arctg x)0 = 1+1x2 .

(log

x)0 =

1

a > 0, a = 1, x > 0).

a

x ln a (

6

(sin x)0 = cos x, (cos x)0

=

sin x.

(ctg x)0 =

¡21

x (

x = ¼n, n

¡ Z).

sin

6

2

(arccos x)0

=

p

¡1 2

.

1¡x

(arcctg x)0

=

¡1

2

.

1+x

Для функции y = f(x) уравнения касательной и нормали (прямой, перпендикулярной к касательной) в точке M(x0; y0) имеют вид:

y ¡ y0 = y0(x0)(x ¡ x0); y ¡ y0 = (¡1=y0(x0))(x ¡ x0):

Óãîë ® между двумя пересекающимися кривыми y = '(x), y = Ã(x)

определяется как угол между прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения P (x0,y0) по формуле

tg ® = (k1 ¡ k2)=(1 + k1k2); k1 = '0(x0); k2 = Ã0(x0):

Определение 4.2. Главная часть приращения функции y = f(x),

линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается dy èëè df(x). Имеем dy =

y0(x)Δx = y0(x)dx.

Производные и дифференциалы высших порядков (вторые, третьи и т.д.) определяются индуктивно, то есть y(n) = [y(n¡1)]0, dny = d(dn¡1y) =

y(n)(x)dxn.
Пример 4.1.				Используя определение, найти производную функции
y = f(x) = x.				(x+Δx)¡x = lim 1 = 1.
lim		y =	lim
x!0		x	x!0	x	x!0
Пример 4.2. Составить уравнения касательной и нормали к параболе
y = x2	¡ 4x в точке x = 1.

Ïðè x = 1 имеем y = ¡3. Далее, y0(x) = 2x ¡ 4, y0(1) = ¡2. Подставляя

найденные значения в уравнение касательной при x0 = 1, y0 = ¡3, имеем 2x + y + 1 = 0, а подставляя в уравнение нормали x ¡ 2y ¡ 7 = 0.

Говорим, что функция y(x) åñòü o-малое от функции Ã(x) ïðè x ! a

(y(x) = o(Ã(x))), åñëè lim y(x)=Ã(x) = 0.

x!a

Теорема Тейлора. Функция f(x), дифференцируемая n раз во всех точках некоторой окрестности точки a, причем такая, что ее производная

30