пособие1

3.5. lim

p3n¡1¡5

p125n3+n:

3

p

¡n

n

!1 p

n

p

n2+2

3.7.

4

n+2¡

3

lim

4

:

p

4

p

¡1

n!1

4n

+1¡ n

6n

3¡p

3.9. lim

n5+1

:

n

!1

p4n6+3¡n

p

p

4 2

3.11. lim

n

4

3n+1+

p

81n ¡n2

+1

:

3

n!1

(n+pn) 5¡n+n

3.13. lim

n+p3n3¡5:

3

n!1

2n+6

3

p

3

p

3.15.

lim

4n

+1¡3

27n

+4

:

5

4

p

+n

n!1

pn¡ n

3

3

pn3

7+pn2+4

3.17. lim

4

¡

:

n!1

pn5+5+pn

4

3.19. lim

3

4n2¡pn

3

:

n!1 pn6+n3+1¡5n

4

3.21. lim

np11n+p25n4¡81

:

n!1

(n¡7

p

p

2

¡n+1

n) n

p

p

7

+5

n¡5

3.23.

lim

7

n

¡

:

7

p

+5+

p

n

!1

n

n¡5

p

3

3

p

3.25. lim

n+2

¡

5

n

+2

:

7

p

p

5

n!1 pn+2¡ p

n +2

2

3.27.

lim

3

n+6¡

n ¡5

4

pn3+3+pn3+1:

n!1

n32

¡p

3.29. lim

n3+1

:

n

!1

pn6+2¡n

6

3

10

p

n

+1

3.31.

lim

npn+

:

4

p

3

¡1

n!1

(n+pn)

3

n

5

3

6

2

3.6.

p

+n

lim

npn¡

27n

:

4

p

2

(n+pn) 9+n

n!1 p

p

4

3.8.

lim

n

+2+

n¡2

:

4

4

p

p

n

!1

n

+2+

n¡2

3

p5n+2

3.10.

lim

¡

p8n3+5

:

4

p

n

!1 p

n+7¡n

n(n

2)(n+2)+p

n2

3

3.12. lim

¡

¡

:

3=2

+2n+3

n!1

n

3

2

3.14.

lim

pn¡9n

:

4

p

8

+1

n!1

3n¡ 9n

3

4

3.16. lim

np7n¡

p81

n8¡1:

n

(n+4

p

n)

p

2

¡5

n

!1 p

p

6

3.18.

lim

n

+4+

n¡4

:

5

6

p

p

n!1

n

+6¡ n¡6

p

3.20. lim

n3

+8

:

p

p

3

3

n!1

3

n

+2+

2n

¡1

2

p

2

p

+5

3.22. lim

n

¡ n

:

5

n!1

pn7¡pn+1

3

3.24. lim

pn2+2¡5n2

:

p

4

n!1 n¡ n ¡n+1

3

np71n

3.26. lim

¡

p64n6+9

:

n

3

p

2

(n¡pn) 11+n

!1 p

p

8

+6

n¡6

3.28.

lim

8

n

¡

:

8

p

+6+

p

n

!1

n

n¡6

p

3

3

p

3.30. lim

n+1

¡ 5

n

+1

:

4

n!1 pn+1¡pn5+1

4. Вычислить пределы числовых последовательностей

4.1. nlim n

p

¡ p

n2 + 1

n2 ¡ 1

:

4.2. lim n

¡

p

n2

¢ 3

´

n (n

¡

2)

¡

:

4.3. n!1

³

p3 3

¡

!1

¡

(n2 + 1) (n¢2

pn4

4.4. lim

4)

9

lim

n p

n

¡

5

np

n:

n!1

¡

n!1 hp

i

np

¡

¡

¡

n(n2+5)

n5

8

4.5. lim

p¡ ¡p

:

n

4.6. n!1

p

2

:

nlim

n ¡ 3n + 2 ¡ n

4.8. lim

¡

¢ pn2

2n + 3

:

n (n + 2)

!1

3

n3

:

¢

4.7. lim

¡n + p4

¡

¡

i

4.9. n!1 hp 2

¡

n!1

n!1 h

¡ p

i

+ 2

(

¡ 1)(

+ 3)

lim

p

n

n

n

n

:

11

4.10. nlim n2

¡ p

n (n4 ¡ 1)

n5 ¡ 8

:

!1

3

´

4.11.

3

n

p

2n

:

lim

³

5 + 8n

p

¡

n

!1

3

3

:

4.12. lim n2¡

p5 + n3

p3¢+ n3

n!1

¡

¡

¢2

3

2

3

(n

:

4.13. lim

(n + 2)

¡

3)

n!1

·q

¡ q

¸

p(n+1)

3

pn(n 1)(n

3)

4.14. lim

¡ p

¡

¡

:

n

4.15. n!1

p

p

2

+ 3n ¡ 2 ¡

n

2

¡ 3

:

nlim

n

4.16.

!1 p

p

p

: ¢

n + 2

n

3

lim

¡

n

¡

¡

n

!1

¡p

¢

4.17.

n5

+9)

(n4

¡

1)(n2+5)

pn(¡

lim

n

:

n!1

4.18. nlim

n (n + 5) ¡ n

:

4.19.

!1 p

p

3

3

´

3

:

lim

³ n

+ 8

n

pn

1

p

+ 2

¡

¡

n

!1 p

+1)(n¡2+3)

¡p

¢

4.20.

(n3

n(n4+2)

lim

2p

:

n

4.21. n!1 p

p

4

2

4

¡ 2:

nlim

n

+ 2n

¡

n

!1 p

np

(n5

+1)(n2

¡

1)

n(n4+1)

4.22. lim

¡

:

n

n!1 p

p

(n4

+1)(n2

1)

¡

n6

¡

1

4.23. lim

¡

:

n

n!1

4.24. lim

n

n (n

¡

1)

:

n!1 nh

3

¡3

i

p3

4.25.

n2

n6

n8

:

lim

(

p (

+ 4)

¡

¡

1)

n

!1

pn

4.26.

n

n

n

:

lim

p

(

+ 1) (

+ 2)

n

n!1 h3

¡

i

3

2

3

n (n ¡ 1)

4.27. nlim

pn

pnp

:

4.28.

!1 p

³

pn¡+ 3

pn

´4

:

n+2

lim

p

p

n4¡+ 3

¡

¡

: ¢

n!1

4.29. lim n

p

¡

n4

¡

2

n!1

4.30. lim n3¡=2

p

p

n3

¢

n3

¡

3

¡

2

:

n

¡

4.31.

!1 p

(n2¡+5)(n4+2)

¡p

¢

n6¡3n2+5

lim

:

n

n!1

5. Вычислить пределы числовых последовательностей

5.1. lim

12

+ 22 + 32 + ::: + n

21

:

5.2. lim (2n+1)!+(2n+2)!:

¡

(2n+3)!

n!1

n

n

n

n

n!1

¡1+3+5+7+:::+(2n¡1)

2n+1

:¢

n+1

n+1

:

5.3. lim

¡

5.4. lim 2

2

n

+3n

n!1

n+1

2

n!1

+3

12

5.5. lim

1+2+3+:::+n

:

p9n4+1

n!1

1+3+5+7+:::+(2n¡1)

5.7. lim

n

:

n+3

¡

i

5.9. n!1 h(n+4)!¡(n+2)!

:

lim

(n+3)!

n!1

2n

5n

5.11. lim

2

n+1¡

n+1

:

5.13. n!1

+5

1¡3+5¡7+:::+(4n¡3)¡(4n¡1)

lim

p

n2+1+p

:

n2+n+1

n!1

3

3

4

5.15. lim

pn

+5¡p3n

+2

:

n

!1

1+3+5+:::+(2n¡1)

n+2

2

5.17. nlim!1

¡

3

:

1+2+3+:::n

5.19. lim

£2¡5+4¡7+:::+2n¡¤(2n+3)

:

n!1

n+3

1+2+:::+n

5.21. lim

:

2

+3

n

!1

n¡n

3

5

9

1+2n

5.23. lim

+

+

+ ::: +

n

:

4

16

64

4

n!1

¡1+5+9+13+:::+(4n¡3)

4n+1¢:

5.25. lim

¡

n!1

2

n

+7

n

n+1

2

5.27. lim

:

2n¡7n¡1

n

!1

3+6+9+:::+3n

:

5.29. lim

¡

n2+4

n!1

2+4+:::+2n

n

:

5.31. lim

n+3

¡

n!1

¢

5.6. lim 1+3+5+:::+(2n¡1): n!1 1+2+3+::+n

5.8.

lim

1+4+7+:::+(3n¡2)

:

p

5n4+n+1

n!1

(3n¡1)!+(3n+1)!:

5.10. lim

n

(3n)!(n¡1)

!1

1+

1

+

1

+:::+

1

32

n

5.12. lim

3

3

:

1+

1

+

1

+:::+

1

5.14.

n!1

5

52

5n

lim

1¡2+3¡4+:::+(2n¡1)¡2n

:

p

9n4+1

n!1

3

n

2

n

5.16. lim

n

:

1

3

n

¡

n!1

¡ +2

¡

5

+

13

+ ::: +

3n+2n

:

5.18. lim

6

36

6n

n!1

¢

5.20. lim (2n+1)!+(2n+2)!: n!1 (2n+3)!¡(2n+2)!

5.22. lim n2+pn¡1 :

n!1 5+7+12+::+(5n¡3)

5.24. lim 2+4+6+:::+2n : n!1 1+3+5+::+(2n¡1)

	1¡		2+3 4+::: 2n
5.26. lim			3	¡		¡		:
n!1			pn3+2n+2
		n!+(n+2)!
5.28. lim							:
	(n¡1)!+(n+2)!
n!1									n	n
5.30. lim	7		+		29	+ ::: + 2			+5n		:
	10
n!1			100						10

6. Вычислить пределы числовых последовательностей

6.1. lim

n+1

n

:

6.2. lim

2n+3

n+1

:

n¡1

2n+1

n

!1

¢1 n4

n

!1

¢n+2

¡ n2

¡n

¡

1

6.3. lim

¡

:

6.4. lim

:

n

2

+3

n!1 ³

´ n2

n!1

n

¢6n+7

2

2

¡

n+1

2n

+2

¡

3n

6.5. lim

³

2

+1

´

:

6.6. lim

³

2

¡

:

n

!1

2n

n

!1

3n

+20n¡1

6.9.

2

n=2

6.10.

¢

3n+1´

n2¡3n+6

:

¡

n¡10

:

6.7. lim

6.8. lim

n!1

n +5n+1

n!1

n+1

2n+5

³6n 7 3n

+2

3n

+4n 1

´

2

lim

¡

:

lim

¡

:

3n

2

+4

n!1 ³

+2n+7

´n

n!1

6n

2

+¢n+1 ¡

n2

2n

2

+5n+7

¡

n

:

6.12. lim

:

6.11. lim

³n

2

+n 1

³

2n2+5n+3

n!1

2

¡

´

n

n!1

2

+3n¡1

´n2

6.13. lim

2n2+5n+7

:

6.14. lim

5n2

:

n+3

n!1 ³

5n +3n+3

´ n2

n!1

³2n +5 2n+3´

n3

2

6.17. lim

¡n+3

¢

:

:

6.18. lim

+1

¡

¡

:

6.15. lim

3n+1

6.16. lim

2n2

+7n¡1

:

n

3n

¡

1

n

³

2n +3n¡1

´n3

!1

¡

¢

n+4

!1

3

2n

6.19. lim

: 6.20. lim

n ¡1

:

n

n+5

n

!1

2n2+21n 7

´

2n+1

!1

³10n 3´

5n

n!1

³2n2+18n+9¡

n!1

¡

10n¡¡1

¢

13

¢n¡3 :

6.23.

!1 ³2x2+5x

3

´

n+1

n2

5n

6.21. lim

3

¡

:

2

n

3n ¡2n+7

lim

x+3

¡

=

¡

7:

x

3

!¡

2

+18n¡15

n+2

6.25. lim

:

7n2

n!1 ³

n

+11n+15

73

+n+1

2n2´

6.27. lim

³

n

:

n!1

n23+2

´

3n2

¡

7

:

6.29. lim

2n2

+2n+3

n!1

³

2n

+2n+1

´1¡2n

4n2+4n 1

n!1

³

4n2+2n+3¡

´

:

6.31. lim

6.22.

6.24.

6.26.

6.28.

6.30.

lim ¡n+3¢¡n2 :

nlim!1 ¡nn+1+4¢n : n!1 n+2

lim ¡2n¡1¢n+1 :

n!1 2n+1

lim ¡ 13n+3 n!1 13n¡10

lim ¡n+5¢n=6+1 :

n!1 n¡7

7. Показать, что данная последовательность предела не имеет, найти ее

частичные, а также верхний и нижний пределы.

7.1. a) x

n

= (

1)n¡1

(2 + 3 ),

b) x

n

= cos(

3¼n) + (

¡

1)n(

n

).

2n+1

¡

n

4

7.2. a) x

n

= (

1)n¡1

(4 + 3n)1=n,

b) x

n

= sin(3¼n) + (

1)n(

n2

).

2

¡

4

¡

3n +1

7.3. a) x

n

= (

1)n¡1

(1 + 4n)1=n,

b) x

n

= sin(¼n) + (

1)n(

2n2

).

2

¡

4

¡

5n +1

7.4. a) x

n

= (

1)n¡1

(1 + 4n)1=n,

b) x

n

= sin(¼n) + (

1)n(

2n2

).

2

¡

4

¡

5n +1

7.5. a) x

n

= (

1)n¡1

(1 + 3n)2=n,

b) x

n

= sin(¼n) + (

1)n(

2n

).

¡

3

¡

5n+2

7.6. a) x

n

= (

1)n¡1(4 + 3n)3=n,

b) x

n

= cos(

¼n) + (

1)n(

3n+2

).

¡

4

¡

5n+2

7.7. a) x

n

= (

1)n¡1(4 + 4n)1=n,

b) x

n

= tg(¼n) + (

¡

1)n(

3n2+2

).

2

¡

3

6n +2

7.8. a) x

n

= (

1)n¡1

(3 + 2n)3=n,

b) x

n

= tg(¼n)(1 +

1 )2n.

¡

3

n

7.9. a) x

n

= (

1)n¡1

(3 + 2n)2=n,

b) x

n

= sin(¼n)(2 +

1 ).

¡

3

n

7.10. a) x

n

= (

1)n¡1(3 + 3n)1=n,

b) x

n

= cos(

¼n)(1 + 3n)1=n.

¡

4

n2+2

7.11. a) x

n

= (

1)n¡1(1 + 4n)1=n,

b) x

n

= cos(

¼n)

+

n

2

n+3.

¡

4

n +1

7.12. a) x

n

= (

1)n¡1(1 + 3n)1=n,

b) x

n

= cos(

¼n)

n2+4

+

n

2

n+3.

¡

3

n +5

7.13. a) x

n

= (

1)n¡1(4 + 3n)2=n,

b) x

n

= cos(

2¼n)

n+1

+

n+2

n+5

n+4.

¡

3

7.14. a) xn = (¡1)n¡1

n3+1

3¼n

n+2

n2+2n+2

,

b) xn = cos(

4

)n+7

+

3n2+4 .

(4+2n3)

7.15. a) xn = (¡1)n¡1

n2+2n+1

¼n

n+3

2n2+3n+2

(3+2n2) ,

b) xn = cos(

2

)

+

3n2+4 .

2n+7

7.16. a) xn = (¡1)n¡1

1+3n

b) xn = sin(

¼n

)

2n+3

+

n2+3n+1

(3+2¢3n)

,

2

3n+4

3n2+1 .

7.17. a) x

n

= (

1)n¡1(1 + 3n)2=n,

b) x

n

= sin(5¼n)2n+3

+

n+1

2

¡

6 3n+4

3n +1.

7.18. a) xn = (¡1)n¡1(1 + 4n)1=n,

b) xn = cos(

3¼n 2n+3

n2+1

4

) n+4

+

.

4n2+1

14

7.19. a) xn = (¡1)n¡1	(1 + 5n)¡1=n,
7.20. a) xn = (¡1)n¡1	(1 + 2n)¡1=n,
7.21. a) xn = (¡1)n¡1	(3 + 2n)¡2=n,
7.22. a) xn = (¡1)n¡1	(3 + 3n)2=n,

7.23. a) xn = (¡1)n¡1				(1 + 3n)1=n,
7.24. a) xn = (¡1)n¡1					1+3n
					2¢3n+4		,
7.25. a) xn = (¡1)n¡1					1+4n
					5¢4n+4		,
7.26. a) xn = (¡1)n¡1				(1 + 4n)1=n,
7.27. a) xn = (¡1)n¡1				(1 + 3n)¡1=n,
7.28. a) xn = (¡1)n¡1				(1 + 3n)2=n,
7.29. a) xn = (¡1)n¡1				(1 + 4n)1=n,
7.30. a) xn = (¡1)n¡1					n2+1
					3n2+2	,
7.31. a) x	n	= (	1)n¡1	(7 + 4 ),
			¡			n

b) xn b) xn b) xn b) xn b) xn b) xn b) xn b) xn b) xn b) xn b) xn

b) xn b) xn

= cos(

¼n

n+3

+

n2+n+2

4

)n+4

4n2+1 .

= cos(3¼n4 )

n2

+2

+

n+2

.

n2

+3

4n+1

¼n

n+5

2n+2

= cos(

4

)n+3

+

.

3¢2n+1

3¼n

n+5

2n+2

= cos(

4

)n+1

+

.

5¢2n+1

¼n

2n+5

2n+2

= cos(

3

) n+1

+

.

3¢2n+1

¼n

n+5

n2+2

= tg(

3 )

+

.

2n+7

3n2+1

= sin(

¼n

2n+5

+

5n2+2

3 )

3n+7

3n2+1.

=cos(¼n2 )23nn+5+7 + 53nn+2+1.

=cos(¼n3 )34nn+5+7 + 3nn+2+1.

=sin(¼n3 )23¢3nn+5+7 + 23nn+1+1.

=tg(¼n3 )2nn+5+7 + 53nn+1+1.

=sin(¼n3 )23nn+5+7 + (1 + n1 )2n.

=cos(¼n4 ) + (¡1)n(2nn+1).

3. Предел функции. Непрерывность

Пусть a 2 R, произвольный интервал (c; d), содержащий a называется окрестностью a. Множества вида fx 2 R : jxj > Mg (M > 0), fx 2 R : x > Mg è fx 2 R : x < Mg называются окрестностями 1, +1 è ¡1,

соответственно.

Определение 3.1. Число A называется пределом функции f(x) ïðè

x ! a, если функция определена в некоторой окрестности точки a çà èñ-

ключением может быть самой этой точки и для любой последовательности xn ! a такой, что xn 6= a äëÿ âñåõ n, выполнено, что f(xn) ! A.

Âэтом определении числа A; a могут быть как конечными числами, так и совпадать с одним из чисел 1, +1, ¡1.

Âслучае когда числа A; a конечные числа это определение эквива-

лентно следующему.

Определение 3.2. Число A называется пределом функции f(x) ïðè x ! a, если функция определена в некоторой окрестности точки a, за исключением может быть самой этой точки и для любого " > 0 найдется

± > 0 такое, что при всех x 6= a, удовлетворяющих неравенству jx ¡ aj < ±, выполнено jf(x) ¡ Aj < ".

15

Тот факт, что предел функции f(x) ïðè x ! a равен A обозначается

òàê: lim f(x) = A.

x!a

Определение 3.3. Число A называется пределом функции f(x) ïðè x ! a справа (слева), если функция определена в некоторой правой (левой) окрестности точки a (т.е. на множествах вида (a; c) èëè (d; a)) è äëÿ

любой последовательности xn ! a такой, что xn > a (xn < a) äëÿ âñåõ n, выполнено, что f(xn) ! A.

Обозначения: lim f(x) = A ( lim f(x) = A).

x!a+0 x!a¡0

Свойства пределов:

1. Функция не может иметь двух различных пределов.

2. Если функции f(x); '(x) определены в некоторой окрестности точ-

êè a за исключением может быть самой этой точки и в этой окрестности функция f ограничена и lim '(x) = 0, то существует lim f(x)'(x) = 0.

x!a

x!a

3. Если существуют конечные пределы lim f(x) = A, lim g(x) = B, òî

x!a

x!a

a) lim f(x)

§

g(x) = A

§

B,

b) lim f(x)

¢

g(x) = A

¢

B,

x

a

x a

!

!

c) lim f(x)=g(x) = A=B, åñëè B = 0.

x

a

6

!

4. Если существует окрестность U точки a такая, что на множестве

U

nf

a

g

функции f(x), g(x) определены и f(x)

·

g(x), òî lim f(x)

lim g(x)

x

a

· x a

!

!

(при условии, что каждый из этих пределов существует).

5. Пусть существует окрестность U точки a такая, что на множестве

U n fag функции f(x), '(x) è g(x) определены и f(x) · '(x) · g(x). Åñëè

lim f(x) = lim g(x) = A, то существует и предел lim '(x) = A.

x!a x!a x!a

6. Критерий Коши. Функция f(x) имеет конечный предел при x ! a

тогда и только тогда, когда функция определена в некоторой окрестности точки x = a за исключением может быть самой этой точки и для любого

" > 0 существует окрестность U точки a такая, что для всех x; y 2 U n fag выполнено неравенство jf(x) ¡ f(y)j < ".

Определение 3.4. Функция f(x) непрерывна в точке x = a, åñëè f(x) определена в некоторой окрестности точки a è lim f(x) = f(a).

x!a

Определение 3.4 эквивалентно следующим двум определениям. Определение 3.5. Функция f(x) непрерывна в точке x = a, åñëè f(x)

определена в некоторой окрестности точки a и для любой последователь-

ности xn ! a ïðè n ! 1, f(xn) ! f(a) ïðè n ! 1.

Определение 3.6. Функция f(x) непрерывна в точке x = a, åñëè f(x) определена в некоторой окрестности точки a и для любого " > 0 cуществует

± > 0 такое, что при jx ¡ aj < ±, выполнено jf(x) ¡ f(a)j < ".

16

Определение 3.7. Функция f называется равномерно непрерывной на множестве X, если для любого " > 0 существует ± > 0 такое, что для любых x0; x00 2 X, удовлетворяющих неравенству jx0 ¡ x00j < ±, выполнено

jf(x0) ¡ f(x00)j < ".

Основные пределы, характеризующие степень роста на бесконечности степенной, показательной и логарифмической функций:

lim	x®	= 0 (a > 1; ® > 0); lim	logax	= 0 (a > 1; ® > 0):
			x®
x!+1 ax		x!+1

Первый и второй замечательные пределы

lim	sin x	= 1	lim(1 + x)1=x = e:
x!0 x			x!0

Теорема Вейерштрасса. Если функция f непрерывна на отрезке [a; b],

òî:

1) f ограничена на этом отрезке;

2) f достигает на нем своих нижней и верхней граней.

Теорема Кантора. Если функция f непрерывна на отрезке [a; b], òî

fравномерно непрерывна на [a; b].

Âпрактике отыскания пределов более часто применяется теорема об арифметических действиях над пределами. Однако ее непосредственное применение бывает невозможно в особых ситуациях, называемых неопределенностями. Например, lim f(x) = lim g(x) = 0 и необходимо найти

x!a x!a

lim f(x)=g(x). В этом случае говорят о неопределенности вида 0=0. Åñëè

x!a

lim f		x	) = 1	, lim g		x	) = 1	, òî lim f(x)=g(x) называется неопределенно-
x a	(			x a	(			x a
!				!				!

ñòüþ 1=1.

Если ищется lim[f(x) + g(x)], причем f(x) è g(x) имеют при x ! a

x!a

бесконечные пределы противоположных знаков, то здесь неопределенность

1 ¡ 1.

При вычислении предела lim[f(x) ¢ g(x)] создается неопределенность

x!a

0 ¢ 1, åñëè f(x) ! 0, g(x) ! 1, ïðè x ! a. Кроме этих неопределенно-

стей, связанных с арифметическими действиями над пределами, существуют неопределенности 11, 00, 10, относящиеся к пределу вида lim[f(x)]g(x).

x!a

Чтобы найти пределы при наличии неопределенности, надо эту неопределенность устранить, открыв тем самым возможность использования тех или иных теорем о пределах. Это достигается, с одной стороны, применением алгебраических и тригонометрических преобразований, заменой пе-

17

	ременных, а с другой стороны, использованием 1-го и 2-го замечательного
	предела и некоторых других соотношений:
	1.	lim	ln(1 + ®)					= 1.
		®!0	a	® ®
	2.	lim		¡ 1	= ln a, a > 0.
		®!0		®		p	¡ 1
	3.	lim	(1 + ®)						= p.
		®!0		®

Неопределенность 0=0. В простейших случаях такая неопределен-

ность устраняется путем выделения в числителе и знаменателе общего мно-

жителя, создающего неопределенность, и сокращении на него, после чего

можно применять теорему о пределе частного.

Пример 3.1. Вычислить lim

x3

¡ 4x2

¡ x ¡ 20

: Многочлены,

x!5 3x4

9x3

¡

12x2

¡

91x + 5

x = 5

стоящие в числителе и знаменателе,¡

обращаются в нуль при

. Ïî

теореме Безу каждый из них делится на x ¡ 5.

Следовательно, искомый предел можно представить в виде:

lim

(x ¡ 5)(x2 + x + 4)

= lim

x2 + x + 4

:

(x ¡ 5)(3x3 + 6x2 + 18x ¡ 1)

3x3 + 6x2 + 18x ¡ 1

x!5

x!5

Неопределенность исчезла. По теореме о пределе частного находим ответ:

34/614 = 17/307.

p

1 + cos x

Пример 3.2. Вычислить

lim

sin x .

x!¼+0

p

p

p

lim

1 + cos x

=

lim

1 + cos x

1 ¡ cos x

=

x!¼+0

sin x

x!¼+0

sin xp1 ¡ cos x

p

= lim

1 ¡ cos2 x

= lim

j sin xj

=

x!¼+0 sin xp1 ¡ cos x

x!¼+0 sin xp1 ¡ cos x

=

lim

1

=

1

:

¡ x!¼+0 p1 ¡ cos x

¡p2

Пример 3.3. Вычислить lim

arcsin x

x!0

x .

Замена переменной arcsin x = t позволяет свести этот предел к 1-му

замечательному пределу. Действительно, x = sin t è t ! 0 ïðè x ! 0,

	поэтому	arcsin x		t
	lim		= lim		= 1:
		x		sin t
	x!0		t!0

18

Пример 3.4. Неопределенность 1

1. Эта неопределенность раскрывается теми же методами, что и 0=0, а иногда просто сводится к ней. Вы-

числить lim 3x3 ¡ 9x2 + 13x + 1 x!1 4x3 + 8x2 ¡ 7x + 16.

Если в числителе и знаменателе вынести множитель x3 за скобки и со- кратить на него, то неопределенность исчезнет:

lim	x3	(3	¡ 9=x + 13=x2 + 1=x3)	= lim	3	¡ 9=x + 13=x2 + 1=x3	= 3=4:
		(4	+ 8=x ¡ 7=x2 + 16=x3)		4	+ 8=x ¡ 7=x2 + 16=x3
x!1 x3				x!1

Слагаемые ¡9=x, 13=x2, 1=x3, 8=x, ¡7=x2, 16=x3 стремятся к нулю при

	x ! 1.	tg x + tg 5x
	Пример 3.5. Вычислить lim
		tg 3x .
	x!¼=2

Поделим почленно на знаменатель и выразим тангенсы через синусы и косинусы:

lim	tg x	+	tg 5x		=		lim
x!¼=2 tg 3x tg 3x							x!¼=2
		lim		sin x			lim
	x!¼=2 sin 3x x!¼=2

sin x

¢

cos 3x

+ x

lim

sin 5x

cos 3x

=

sin 3x

cos x

cos 5x

!

¼=2 sin 3x ¢

cos 3x

+

lim

sin

5x

lim

cos 3x

=

cos x

x!¼=2 sin

3x x!¼=2 cos 5x

=

¡ x

lim

cos 3x

¡ x

lim

cos 3x

:

cos x

!

¼=2

!

¼=2 cos 5x

Положив x = ¼=2 ¡ t, вычислим полученные пределы:

lim

cos 3x

=

lim

cos(3¼=2

¡

3t)

= lim

sin 3t

= 3;

¡ x ¼=2 cos x

¡ t

!

0 cos(¼=2

¡

t)

t

!

0 sin t

!

lim

cos 3x

=

lim

cos(3¼=2

¡ 3t)

= lim

sin 3t

= 3=5:

cos(5¼=2

¡ x ¼=2 cos 5x

¡ t

!

0

¡

5t)

t

!

0

sin 5t

!

Таким образом,

lim

tg x + tg 5x

= 3 + 3=5 = 18=5:

x!¼=2

tg 3x

Неопределенность 0 ¢ 1. Преобразованиями, использованием заме- чательных пределов, заменой переменной свести к неопределенности 0=0 èëè 1=1.

	Пример 3.6. Вычислить lim x2 sin	2x + 1
		x2 + 4x3 .
	x!+1

19

2x + 1

Заметив, что при x ! 1 x2 + 4x3 ! 0, выделим 1-й замечательный предел:

sin

2x+1

2x + 1

x2(2x + 1)

sin

2x+1

2 3

2 3

lim x2

x +4x

= lim

lim

x +4x

=

2x+1

¢ x2 + 4x3

x2 + 4x3

2x+1

x +

1

x +

1

x

!

+

1

!

x2+4x3

!

x2+4x3

lim

2 + 1=x

¢

1

= 1=2:

4 + 1=x

= x +

1

!

Неопределенность 1¡1. Раскрытие этой неопределенности дости-

гается использованием замечательных пределов или сведением к неопределенностям 0=0, 1=1, 0 ¢ 1.

	Пример 3.7. Вычислить lim	2		17
		µ2x ¡ 5		¡ 6x2 ¡ 13x ¡ 5¶.
	x!5=2

Приведением к общему знаменателю приходим к неопределенности 0=0, которая раскрывается сокращением дроби на множитель 2x ¡ 5:

lim

µ

2

¡

17

=

lim

6x + 2 ¡ 17

=

2x ¡ 5

6x2 ¡ 13x ¡ 5

x!5=2

¶

x!5=2 (2x ¡ 5)(3x + 1)

= lim

3(2x ¡ 5)

= 3 lim

1

= 6=17:

(2x ¡ 5)(3x + 1)

3x + 1

x!5=2

x!5=2

Пример 3.8. Будет ли ограниченной функция

y = 3x2 arctg x +x 2 + (x3 ¡ x + 1) sin p1 + x2

на промежутке [0; 200]? Существуют ли значения аргумента, при которых

функция принимает наибольшее и наименьшее значения?

Данная функция непрерывна на [0; 200] как функция, составленная по-

средством арифметических действий и суперпозиций над непрерывными функциями.

Следовательно, по теореме Вейерштрасса данная функция ограничена на [0; 200] и существуют x1; x2 2 [0; 200], при которых она принимает наи-

большее и наименьшее значения (которые являются точными верхней и
нижней гранями функции).
Пример 3.9. Доказать, что функция f(x) = x2 не является равномерно
непрерывной на всей числовой оси.
Зададим " = 1	и возьмем	x1 = pn è x2 = pn + 1 (n натуральное).
2

20