- •Лекция 4.
- •4. Работа. Механическая энергия.
- •4. 1. Работа. Мощность.
- •4. 1. 1. Элементарная работа силы.
- •4. 1. 2. Элементарная работа нескольких сил.
- •4. 1. 3. Работа на конечном участке траектории.
- •4. 1. 4. Работа диссипативных и гироскопических сил.
- •4. 1. 5. Мощность.
- •4. 2. Силовые поля. Консервативные и потенциальные силовые поля. Потенциальная энергия.
- •4. 2. 1. Консервативные силовые поля.
- •4. 2. 2.Потенциальная энергия материальной точки.
- •4. 2. 3. Потенциальная энергия и работа силы.
- •4. 2. 4. Сила как градиент потенциальной энергии.
- •4. 2. 5. Потенциальное силовое поле.
- •4. 2. 6. Работа и функция нестационарного потенциального поля.
- •4 . 2. 7. Потенциальная энергия материальной точки в поле центральных сил.
- •4. 2. 8. Потенциальная энергия системы из двух материальных точек, между которыми действуют центральные силы.
- •4. 2. 9. Потенциальная энергия при упругой продольной деформации.
- •4. 2. 10. Характерные особенности потенциальной энергии.
- •4. 3. Кинетическая энергия.
- •4. 3. 1. Связь работы и кинетической энергии.
- •4. 3. 2. Теорема о кинетической энергии.
- •4. 3. 3. Кинетическая энергия механической системы.
- •4. 3. 4. Закон изменения кинетической энергии механической системы.
- •4. 3. 5. Зависимость кинетической энергии от выбора системы отсчёта. Теорема Кёнига.
- •4. 3. 6. Характерные свойства кинетической энергии.
- •4. 4. Закон сохранения энергии.
- •4. 4. 1. Вывод закона сохранения механической энергии.
- •4. 4. 2. Закон сохранения и превращения энергии – фундаментальный закон природы.
- •4. 4. 3. Механическая энергия замкнутой системы.
- •4. 4. 5. Механическое равновесие системы.
4. 3. 3. Кинетическая энергия механической системы.
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех её частей. Например, для системы, состоящей из N материальных точек:
|
(4.35) |
4. 3. 4. Закон изменения кинетической энергии механической системы.
Изменение кинетической энергии механической системы равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних сил:
|
(4.36) |
где и - элементарные работы внутренних и внешних сил.
Например, для системы, состоящей из Nматериальных точек:
|
(4.37) |
где: -радиус - вектор i-той точки; -результирующая внешних сил, действующих на i-тую точку; - сила, действующая наi-тую точку со стороны k-той точки,
Если система не деформируется, то работа внутренних сил равна нулю и :
|
(4.38) |
Например, изменение кинетической энергии абсолютно твёрдого тела, движущегося поступательно, определяется выражением:
|
(4.39) |
где -главный вектор внешних сил (равный сумме всех внешних сил); -вектор элементарного перемещения теля.
4. 3. 5. Зависимость кинетической энергии от выбора системы отсчёта. Теорема Кёнига.
Если в инерциальной системе отсчёта кинетическая энергия механической системы равна Ек,а в системе отсчёта ,движущейся относительно поступательно со скоростью ,она равна ,то:
|
(4.40) |
где: M-масса системы, -импульс системы относительно системы отсчёта ; -скорость центра масс системы относительно системы отсчёта .
Вообще говоря, соотношение (4.40) справедливо как для случая ,т.е. когда -инерциальная система, так и для случая, когда .
Система может двигаться относительно системы со скоростью центра масс, т.е. и, соответственно ,тогда:
|
(4.41) |
Это равенство выражает теорему Кёнига.
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, обладающая массой, равной массе всей системы, и движущаяся со скоростью её центра масс, а также кинетической энергии той же системы в её движении относительно поступательно движущейся системы отсчёта с началом в центре масс.
Из теоремы Кёнига следует, что кинетическая энергия абсолютно твёрдого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения этого тела со скоростью его центра масс и кинетической энергии вращательного движения тела вокруг его центра масс.
4. 3. 6. Характерные свойства кинетической энергии.
Кинетическая энергия:
Всегда положительна;
неодинакова в различных инерциальных системах отсчёта;
является функцией состояния системы.
4. 4. Закон сохранения энергии.
Полной механической энергией называется энергия механического движения и взаимодействия.
По определению .
4. 4. 1. Вывод закона сохранения механической энергии.
Рассмотрим систему из Nматериальных точек, имеющих массы и скорости .Массы точек постоянны.
Выпишем второй закон Ньютона для каждой материальной точки:
|
(4.42) |
где -равнодействующая внутренних потенциальных сил;
-равнодействующая внешних потенциальных сил;
f- -равнодействующая неконсервативных сил;
Потенциальные силы будем считать стационарными.
За малое время dtкаждая точка совершает малое перемещение Умножим скалярно каждое уравнение системы (4.42) на это малое перемещение:
|
(4.43) |
Сложим уравнения системы (4.61):
|
(4.44) |
Правая часть уравнения определяет полную элементарную работу потенциальных (консервативных) сил, действующих на систему:
|
|
Первый член левой части выражения (4.44) представляет собой суммарное элементарное изменение кинетической энергии всей системы:
|
|
Второй член в левой части выражения (4.44) является работой внешних и внутренних потенциальных сил и, с учётом (4.39) представляет собой элементарное изменение потенциальной энергии всей системы:
|
|
Таким образом, получаем выражение для изменения полной механической энергии системы:
|
(4.45) |
Изменение полной механической энергии системы равно работе непотенциальных сил, действующих на систему.
В случае отсутствия неконсервативных сил, получаем:
|
(4.46) |
Закон сохранения полной механической энергии: при движении консервативной системы её механическая энергия не изменяется.
Закон сохранения энергии может выполняться и для замкнутых неконсервативных систем: механическая энергия замкнутой системы не изменяется, если все внутренние непотенциальные силы не совершают работы.
Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однородность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тело в поле сил тяжести. Его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда это тело начало падать.