Глава I. Алгебра высказываний

§ 1. Понятие высказывания

Математика, как это ни кажется странным, – наука устная: математики, рассуждая, оперируют высказываниями, именно общение является питательной средой математического творчества, в которой создаётся математический фольклор, передаваемый изустно. На интуитивном уровне высказывание – это повествовательное предложение, которому можно приписать одно из значений истина или ложь. Нужно отчётливо понимать, что данное описание понятия “высказывание” не является определением, т.к. строго не объяснено, что значит “можно приписать значение” предложению, и не определены понятия истина и ложь. Поэтому следует задуматься: что же такое определение ?

Определение – это лишь введение синонима, заменяющего некоторое описание свойств объекта. Например, определение “прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов прямой” вводит синоним “прямоугольный треугольник” для словосочетания “треугольник, у которого один из углов прямой”. В свою очередь, чтобы объяснить использованные в определении прямоугольного треугольника понятия, необходимо дать определения треугольника, величины угла треугольника и равенства величин. Для этого придётся привлечь понятия геометрической фигуры, числа и их равенства.

Таким образом, давая очередное определение, мы вынуждены опираться на неопределённые до сих пор понятия и их отношения. Поскольку человек не может оперировать сразу бесконечным количеством понятий, при построении любой содержательной теории невозможно дать определение всему: рано или поздно приходится опираться на первопонятия, т.е. неопределяемые понятия и первоотношения, т.е. неопределяемые отношения между неопределяемыми понятиями. Например, в геометрии первопонятиями являются “точка”, “прямая”, “плоскость”, а первоотношениями “точка лежит на прямой”, “прямая лежит в плоскости”, “точка A лежит на прямой между точек B и C” и другие, полный список которых можно составить, открыв школьный учебник геометрии на последних страницах и проанализировав какую-либо конкретную аксиоматику евклидовой геометрии. Первопонятия и первоотношения есть и в любой другой науке: в физике таковыми являются “сила”, “энергия”, “время”, “материальная точка”, “действие силы на материальную точку” и другие.

Высказывание – это одно из неопределяемых понятий математики, смысл которого был проиллюстрирован предыдущими нестрогими рассуждениями. Ещё более сложно объяснить смысл понятий истина и ложь, которые в математике также являются неопределяемыми. По этой причине не существует строгого математического алгоритма приписывания произвольным предложениям значений истина и ложь. На интуитивном уровне этот “алгоритм” можно описать так:

(1): уяснить смысл высказывания,

(2): убедиться, что объекты и их отношения, о которых идёт речь, можно сравнить с действительностью,

(3): если установленные в высказывании отношения между объектами согласуются с действительностью, то высказывание считается “истинным”, в противном случае – “ложным”.

Здесь под объектами, их отношениями и действительностью следует понимать не только объекты и их отношения в грубом физическом мире, но и всю совокупность идеальных объектов и их отношений, с которыми имеет дело та или иная теория, в рамках которой исследуется истинность или ложность того или иного утверждения. В противном случае, нет возможности оценить истинность, например, такого математического высказывания: “5 – простое число”. Конечно, сравнить с действительностью какое-либо утверждение не просто, а часто и невозможно, т.к. эта действительность должна включать не только известные факты рассматриваемой науки, но и ещё не известные в данный момент факты, объекты и отношения. Поэтому, истинность большинства научных утверждений лишь относительна, приближённа.

Если пользоваться таким алгоритмом приписывания истинностных значений, то становится понятно, что не всякое повествовательное предложение является высказыванием.

Примеры: 1. Любое определение – не высказывание, т.к. весь его смысл сводится к введению синонима для какого-либо перечня свойств объекта.

2

Утверждение в этой рамке ложно.

. Это – не высказывание. Действительно, если это утверждение истинно, то справедливо то, что оно говорит о себе: оно ложно, – противоречие. Если же оно ложно, то неверно то, что оно говорит о себе: оно говорит, что ложно, а значит, является истинным, – опять противоречие. Таким образом, в любом случае попытка приписать значение истинности этому утверждению ведёт к противоречию.

В чём причина невозможности приписать утверждению в рамке значение истинности ? Она состоит в том, что не срабатывает схема (1) – (3) приписывания истинностного значения. Это утверждение оперирует единственной реальностью – своей ложностью, а значит, для проверки истинности этого утверждения нужно проверить его ложность, в свою очередь, для этого, необходимо опять проверить ложность рассматриваемого утверждения, и.т.д. – получается замкнутый круг, из которого нет выхода. Вот почему рассматриваемое утверждение не является выс­ка­зыванием.

3

Утверждение в этой рамке истинно.

.Если это утверждение истинно, то никакого противоречия не возникает: оно и утверждает свою истинность. Если это утверждение ложно, то неверно то, что оно говорит о своей истинности, и значит, оно ложно – противоречия нет и в этом случае. Так каково же истинностное значение этого предложения ?

На самом деле, в этом примере, как и в предыдущем, нет возможности разумным образом реализовать схему (1) – (3) приписывания истинностного значения. Рассматриваемое утверждение оперирует единственной реальностью – своей истинностью, а значит, для проверки истинности этого утверждения нужно проверить его истинность. В свою очередь, для этого, необходимо опять проверить истинность рассматриваемого утверждения, и.т.д. – получается замкнутый круг, из которого нет выхода. Рассматриваемое утверждение не является высказыванием¹.

Упражнение: Найдите ошибку в “доказательстве” следующей “теоремы”. Зелюки, о которых в ней идёт речь – это персонажи книги Л. Кэрролла “Алиса в стране чудес”:

Варкалось… Хливкие шорьки

Пырялись по наве,

И глюкотали зелюки,

Как мумзики в мове…

(Л. Кэрролл “Алиса в стране чудес”,

перевод Н. Демуровой)

“Теорема”. Зелюки существуют.

“Доказательство”. Рассмотрим следующие три утверждения:

1. зелюки существуют,

2. 1 = 1,

3. среди утверждений (а), (b), (c) ровно два ложных.

Для утверждения (с) возможны два случая:

1) утверждение (с) истинно. Это значит, что среди (a), (b), (c) ровно два ложных. Но (с) не ложно, и поэтому ложны первые два утверждения (a), (b), что невозможно, т.к. утверждение (b) заведомо истинно. Значит рассматриваемый случай 1) не реализуется.

2) утверждение (с) ложно. Тогда среди высказываний (а), (b), (c) число ложных не равно двум. Если бы (а) было ложно, то (ввиду заведомой истинности (b)) высказывание (с) оказалось бы истинным, вопреки рассматриваемому случаю. Итак, (а) истинно, что и доказывает существование зелюков. “Теорема” доказана.

Этот же “метод” годится для “доказательства” любого утверждения.