- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Глава I. Алгебра высказываний
- •§ 1. Понятие высказывания
- •§ 2. Язык исчисления высказываний
- •Примеры формул и не формул
- •§ 3. Истинностные значения формул
- •§ 4. Законы логики, противоречия, выполнимые и равносильные формулы
- •§ 5. Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы
- •§ 6. Булевы функции
- •§ 7. Логическое следование
- •§ 8. Некоторые применения алгебры высказываний
- •Глава II. Алгебра предикатов
- •§ 1. Предикаты и кванторы
- •Логические операции над предикатами
- •§ 2. Равносильные и тождественно истинные предикаты
- •§ 3. Язык исчисления предикатов
- •§ 4. Интерпретации формул исчисления предикатов
- •§ 5. Приведённая и предварённая нормальные формы
- •§ 6. О структуре современных математических теорий
- •§ 7. Виды математических утверждений
- •§ 8. Некоторые методы доказательства теорем
- •Глава III. Формальные аксиоматические теории
- •§ 1. Формальные и неформальные аксиоматические теории
- •Примеры формальных аксиоматических теорий
- •Примеры доказательств в формальном исчислении высказываний
- •(В): (введение квантора ), (в): (введение квантора ),
- •Примеры доказательств в формальном исчислении предикатов
- •Аксиомы равенства:
- •Аксиомы операций сложения и умножения:
- •Примеры теорем формальной арифметики
- •§ 2. Непротиворечивость аксиоматических теорий
- •§ 3. Полнота аксиоматических теорий
- •§ 4. Разрешимость аксиоматических теорий
- •§ 5. Независимость системы аксиом теории
- •§ 6. Формальное исчисление высказываний
- •Приложение: формальная теория множеств
- •§ 1. Азы наивной теории множеств
- •Основные операции над множествами
- •§ 2. Аксиоматика Цермело-Френкеля теории множеств
- •40. Аксиома существования булеана (множества всех подмножеств) :
- •50. Аксиома (неупорядоченной) пары :
- •§ 3. Формальная теория множеств: райские кущи или адские дебри ?
- •А) основная литература:
- •Б) дополнительная литература:
- •Список основных обозначений
- •Предметный указатель
- •Алексей Игоревич Валицкас
Основные операции над множествами
Если А, В – множества, то существует множество А В – объединение множеств А и В, которое состоит из всех элементов, являющихся элементами либо множества А, либо множества В: x A B x A x B.
Примеры: 1. Если A = {1, 2, 5, }, B = {{1}, 2, 5, }, то А В = {1, 2, 5, , {1}}.
2. Если A = {x R | 1 < x 5}, B = {x R | –1 x < 2}, то A B = [–1; 5], где [–1; 5] = {x R | –1 x 5}.
Если А, В – множества, то существует множество А В – пересечение множеств А и В, которое состоит из всех элементов, являющихся одновременно элементами и множества А, и множества В: x A B x A x B.
Примеры: 1. Если A = {1, 2, 5, }, B = {{1}, 2, 5, }, то А В = {2, 5, }.
2. Если A = {x R | 1 < x 5}, B = {x R | –1 x < 2}, то A B = (1; 2), где (1; 2) = {x R | 1 < x < 2}.
3. A B = {a A | a B}.
На основе понятий пересечения и объединения двух множеств можно ввести аналогичные операции над несколькими множествами:
A1 … An = (…((A1 A2) A3) …) An ,
A1 … An = (…((A1 A2) A3) …) An .
Если А, В – множества, то существует множество А \ В – разность множеств А и В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В: x A \ B x A x B.
Примеры: 1. Если A = {1, 2, 5, }, B = {{1}, 2, 5, }, то А \ В = {1}.
2. Если A = {x R | 1 < x 5}, B = {x R | –1 x < 2}, то A \ B = [2; 5].
3. A \ B = {a A | a B}.
Если А – множество, то существует множество всех его подмножеств B(A), называемое также булеаном множества А, и состоящее из всех подмножеств множества А: X B(A) X A.
Важно отметить, что булеан B(A) состоит из множеств (подмножество множества А само является множеством) и содержит в качестве элементов пустое множество и само множество А (которые в случае А = совпадают).
Примеры: 1. Если А = , то B(A) = {}.
2. Если A = {1}, то B(А) = {, {1}}.
3. Если A = {1, 2}, то B(А) = {, {1}, {2}, {1, 2}}.
4. Если A = {1, 2, 3}, то B(А) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
5. Можно доказать, что булеан n-элементного множества А состоит из 2n элементов. Поэтому булеан часто называют степенью множества А и обозначают 2A.
Если А, В – множества, то существует их прямое (декартово) произведение АВ, состоящее из всех упорядоченных пар (a; b), где а А, b B:
АВ = {(a; b) | a A b B}.
Примеры: 1. Если А = {1}, B = {0, 5}, то АВ = {(1; 0), (1; 5)}.
2. Если А = {0, 2}, B = {0, 5}, то АВ = {(0; 0), (0; 5), (2; 0), (2; 5)}.
3. Если множество А состоит из m элементов, а множество В – из n элементов, то можно доказать, что множество АВ состоит из mn элементов. По этой причине в названии множества АВ используется термин “произведение”. Если А = B, то множество АА состоит из m2 элементов и называется декартовым квадратом множества А и обозначается через A2.
Вслед за декартовым произведением двух можно ввести и декартово произведение A1 … An = ( … ((A1 A2) A3) …) An n множеств A1 , … , An . Множество называетсядекартовой степенью множества A и обозначается A n.
Декартово произведение АВ = {(a; b) | a A b B} двух множеств А и В иногда условно изображают на плоскости, трактуя компоненты упорядоченной пары (a; b) как координаты: a – координата по оси x, на которой отмечают множество А, а b – координата по оси y, на которой отмечают множество В. Таким образом, элементы (a; b) АB условно изображаются точками на плоскости с “координатами” a и b.
Особенно удобно графическое изображение декартова произведения АВ в случае, когда А и В – числовые множества, т.е. А R, B R . Тогда изображение принимает не условный характер, а имеет вполне конкретный геометрический смысл: множество АВ представляет из себя множество точек M(a; b) декартовой плоскости, первая координата а которых принадлежит множеству А, а вторая b – принадлежит множеству В.