§ 2. Аксиоматика Цермело-Френкеля теории множеств

В § 1 приложения были даны основные понятия теории множеств. Однако развиваемая на этом основании Г. Кантором наивная теория множеств столкнулась в конце XIX в. с трудностями. Вот – лишь один пример парадокса наивной теории множеств.

Парадокс Рассела: Пусть U – множество всех множеств. Рассмотрим множество M = {A  U | A  A} и попробуем ответить на вопрос: верно ли, что M  M ? Если это утверждение истинно, т.е. M  M, то получаем противоречие с определением множества M – оно образовано только из тех множеств, которые не являются элементами самих себя. Однако и предположение M  M тоже ведёт к противоречию, т.к. в этом случае (по определению множества M) должно быть выполнено M  M. Итак, получено противоречие.

Выход из создавшейся ситуации только один – нельзя считать “множество всех множеств” U множеством: если U – не множество, то не является множеством и образованное из U с помощью конструкции выделения “множество” M, а значит, к нему не применимы дальнейшие рассуждения о множествах, и противоречие исчезает. Однако наивное изложение теории множеств не позволяет строго определить, является ли та или иная совокупность объектов множеством. Таким образом, требуется более строгий подход при определении операций над множествами.

Ниже неформально излагается система аксиом Цермело-Френкеля для формальной теории множеств, предложенная в 1908 г. Э. Цермело и усовершенствованная к 1922 г. А. Фре­н­келем. Хотя за всё время пользования этой аксиоматикой не выявлено ни одного парадокса, её непротиворечивость невозможно доказать внутренними средствами теории множеств (теорема К. Гёделя). Поэтому математики и в настоящее время не могут спать спокойно, ибо почва под их ногами постоянно колышется и даже не видно средств хоть как-то её укрепить.

Неопределяемыми понятиями теории множеств будут “множество”, “элемент”, двухместный предикат принадлежности  и двухместный предикат равенства элементов =. Как и при построении всякой математической теории, зафиксируем алфавит теории множеств, состоящий из объектных переменных, обозначаемых большими и малыми буквами латинского алфавита, двухместных предикатных символов  и = , логических связок  ,  ,  ,  , , кванторов  ,  и служебных символов ( , ) –скобок. На этом этапе совокупность всех этих символов не рассматривается как множество, чтобы не возникало замкнутого круга, порочащего создаваемую теорию.

Хотя большие буквы, как правило, обозначают множества, а малые – элементы множеств, строгого разделения в обозначениях на элементы и множества не будет, ибо a’priori невозможно сказать, является ли элемент некоторого множества множеством: большие буквы будут использованы для обозначения множеств лишь в случаях, не вызывающих сомнения.

Как и в любой специальной математической теории, вводится понятие формулы теории множеств – подмножество “осмысленных” предложений в алфавите. Кроме того, введём следующие общеупотребительные сокращения: x  A будет обозначать ,A  B будет употребляться вместо , формулы( x  A Ф(x)) и ( x  A Ф(x)) – вместо ( x ((x  A)  Ф(х))) и ( x (x  A  Ф(х))) соответственно, а ( x  A Ф(x)) и ( x  A Ф(x)) – вместо ( x ((x  A)  Ф(х))) и ( x (x  A  Ф(х))). Запись ( ! x  A P(x)) является синонимом более длинного выражения (( x  A P(x))  ( y  A (P(y)  (y = x)))). В формулах теории множеств будем для краткости опускать внешние скобки, которые не несут информации.

Теперь рассмотрим аксиомы теории множеств.

1⁰. аксиома объёмности :  А, В ((А = В)  ( x (x  A  x  B)))

Эта аксиома говорит о том, что два множества равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые элементы. В наивной теории множеств именно так определялось равенство двух множеств.

2⁰. аксиома равенства :  а, А, b ((a = b  a  A)  b  A)

Эта аксиома согласовывает понятия равенства элементов с предикатом принадлежности: было бы странным, если бы равные элементы отличались бы принадлежностью к какому-нибудь множеству. Наивная теория множеств на такие “мелочи” внимания не обращает.

Назовём множество В подмножеством множества А, если  x (x  В  x  A). В этом случае будем говорить также, что А содержит В (А включает В или А – надмножество В) и писать В  А. Ясно, что  A, B ((А = В)  ((A  B)  (B  A)) . Для двух множеств X, Y будем писать коротко X  Y , если (X  Y  X  Y).

3⁰. аксиома выделения :  А ( B ( x (x  B  (x  A  Р(х))))), где Р(х) – произвольная формула теории множеств со свободной переменной х, в которую не входят предметные переменные А и В.

Заметим, что при фиксированных значениях свободных переменных в формуле P(x) множество В определено однозначно: если C – другое множество, удовлетворяющее 3⁰, то  х (х  В  (x  A  P(x))) и  x (x  C  (x  A  P(x))), так что  x ((x  В)  (x  C)), т.е. B = C по аксиоме объёмности. Множество В будет в дальнейшем обозначаться через {x  A | P(x)}. Ограничение, накладываемое на формулу P(x) существенно ограничивает возможности принципа выделения.

Из аксиомы выделения следует, в частности, существование множества, не имеющего элементов, которое называется пустым множеством, и будет обозначаться символом  . Его можно задать, например, так:  = {x  A | x  x}, где А – любое множество. Легко понять, что пустое множество определено однозначно: если Е – любое множество без элементов, то  х (х  Е  x  ) и, по аксиоме объёмности, Е =  .

Кроме того, аксиома выделения позволяет построить пересечение и разность двух множеств: А  B = {x  A | x  B} , A \ B = {x  A | x  B}. Следует отметить, что эти множества корректно определены, если A и B – разные буквы. Если же A = B, то дополнительно нужно положить А  A = A, A \ A = . Аксиома выделения не позволяет образовать объединение двух множеств A  B = {x  ? | x  A  x  B}, т.к. не известно, из какого множества нужно брать элементы объединения. В то же время, если A  C, B  C для некоторого множества C, то по аксиоме выделения уже можно создать объединение A  B = {x  С | x  A  x  B}.