Содержание

Понятие комбинаторной задачи……………………….………...13

История возникновения и развития комбинаторики………...13

Конечные множества…………………………...……………..…..24

Операции над множествами……………………………………...25

Декартово произведение множеств А и В………………………33

Задачи для самостоятельного решения…………………………34

Нахождение числа всех подмножеств данного множества…...36

Понятие факториала………………………………….……….......38

Задания для самостоятельного решения…………….……….....39

Правила суммы и произведения……………………….………...40

Задачи для самостоятельного решения………………….….......45

Вопросы для самопроверки……………………………….….......48

Виды соединений без повторений……………………………49

Перестановки без повторений…………………………….….......49

Задачи для самостоятельного решения…….……………..…….52

Размещения без повторений………………………………….......52

Задачи для самостоятельного решения……………………........54

Сочетания без повторений………………………………...….......56

Свойства чисел ………………………………………………...58

Задачи для самостоятельного решения……………………........61

Почему 0!=1?......................................................................................62

Вопросы для самопроверки………………………………….…...62

Виды соединений с повторениями……………………….…..65

Сочетания и размещения с повторениями…………..…………65

Перестановки с повторениями……………………….………......69

Задачи для самостоятельного решения…..…………………......70

Бином Ньютона…………………….……………………….……...71

Задачи для самостоятельного решения…………………………77

Вопросы для самопроверки………………………………………77

Контрольные вопросы……………………………………….........78

Примеры решения некоторых комбинаторных задач...….…..79

Задачи для самостоятельного решения…………………………88

Примеры решения некоторых комбинаторных задач...….…. 90

Задачи для самостоятельного решения…………………………93

Примеры решения некоторых комбинаторных задач...….…..94

Задачи для самостоятельного решения…………………………96

Примеры решения некоторых комбинаторных задач...….…..97

Задачи для самостоятельного решения…………………………99

Формула включений и исключений…………………………...100

Примеры решения комбинаторных задач...…………………..102

Задачи для самостоятельного решения по курсу «Комбинаторика»………………………………………………….....…….........112

Задачи для самостоятельного решения………………..….…...143

Понятие комбинаторной задачи

Комбинаторика – один из разделов дискретной математики, который приобрел важное значение, в связи с использованием его в теории вероятностей, математической логике, теории чисел, вычислительной технике, кибернетике. Комбинаторные соображения лежат в основе решения многих задач теории вероятностей – важного раздела современной математики, посвященного изучению случайных явлений.

Решая разнообразные жизненные задачи, мы нередко сталкиваемся с теми, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называюткомбинаторикой.

«Комбинаторика – раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов, обычно конечного, множества в соответствии с заданными условиями»¹.

Комбинаторика (теория соединений) – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторика изучает количество комбинаций, удовлетворяющих определенным условиям, которые можно составить из элементов заданного конечного множества. «Особая примета» комбинаторных задач  вопрос, который можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: «Сколькими способами…»². В данном разделе математики решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств.