2.2.7. Применение основной задачи линейного программирования к решению некоторых экономических задач

Линейное программирование возникло из практических потребностей, поэтому оно находит применение при решении широкого класса различных практических, в частности, экономических задач. Рассмотрим постановку и решение некоторых из них.

1. Задача использования ресурсов.

Предприятие имеет m видов ресурсов, количество которых соответственно равно b_i, (i = 1,…,m) единиц, из которых производится n видов продукции. Предприятие может обеспечить выпуск продукции j-го вида в количестве не более d_j (j = 1,…,n) единиц. Для производства единицы j-й продукции необходимо a_ij единиц i-го ресурса. При реализации единицы j-й продукции прибыль составляет c_j единиц.

Необходимо составить план выпуска продукции, который обеспечивал бы получение максимальной прибыли при реализации всей выпущенной продукции.

Если обозначить через х_j (j=1,…,n) количество единиц j-й продукции, которое необходимо выпустить, то поставленная задача имеет следующую математическую модель.

Найти максимальное значение линейной функции F = (c_j•x_j)

при ограничениях (a_ij•x_j) ≤ b_i, i = 1,…, m (2.2.13)

0 ≤ x_j ≤ d_j, j = 1,…, n

2. Задача оптимального использования удобрений.

Пусть для выращивания некоторой культуры применяется m видов удобрений, соответственно, в количестве b_i, (i = 1,…, m) единиц. Вся посевная площадь разбита из n почвенно-климатических зон, каждая по d_j, (j = 1,…,n) единиц. Пусть а_ij – количество i-го удобрения, вносимого на единицу площади j-й зоны, а c_j – повышение средней урожайности, получаемой с единицы площади j-й зоны. Составить такой план распределения удобрений между посевными зонами, который обеспечивал бы максимальный суммарный прирост урожайности культуры.

Обозначим через х_j (j = 1,…, n) площадь j-й зоны, которую необходимо удобрить; тогда математическая модель поставленной задачи имеет вид (2.2.13).

3. Задача составления диеты.

Дневная диета должна содержать m видов различных питательных веществ, соответственно, в количестве не менее b_i (i = 1,…, m) единиц. Имеется n различных продуктов в количестве d_j (j=1,…, n) единиц.

Пусть а_ij – количество единиц i-го питательного вещества, содержащегося в единице j-го продукта; c_j – стоимость единицы j-го продукта.

Определить, какие продукты и в каком количестве необходимо включить в диету, чтобы она удовлетворяла минимальной дневной потребности в каждом питательном веществе при наименьшей общей стоимости используемых продуктов.

Обозначим через х_j (j = 1,…, n) количество единиц j-го продукта в диете; тогда задача имеет следующую математическую модель.

Найти минимальное значение линейной функции F = (c_j•x_j)

при ограничениях (a_ij•x_j) ≥ b_i, i = 1,…, m (2.2.14)

0 ≤ x_j ≤ d_j, j = 1,…, n

К этому виду задач относятся также задачи составления дневного рациона, задачи на составление смесей, а также некоторые задачи планирования производства.