- •Министерство науки и образования российской федерации
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге 13
- •Тема 1.2. Балансовые модели 49
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений 64
- •Тема 2.2. Линейное программирование 77
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа 105
- •Тема 2.4. Математические основы управления проектами 131
- •Тема 2.5. Математические методы логистики 163
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания 177
- •Тема 2.7. Состязательные задачи 196
- •Тема 2.8. Динамическое программирование 236
- •Тема 2.9. Многокритериальная оптимизация 268
- •Введение
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге
- •1.1.1. Основы моделирования спроса и потребления.
- •1.1.2. Коэффициенты эластичности спроса по цене: практическое значение, оценивание, свойства.
- •1.1.3. Функции спроса, уравнение Слуцкого
- •1.1.4. Производственные функции.
- •1.1.5. Функции выпуска продукции; функции затрат ресурсов.
- •1.1.6. Экономические примеры производственной деятельности фирм.
- •Пример 5. Предположим, что необходимо оценить работу некоторой отрасли, если известен объем производства отрасли y, затраты трудовых ресурсов l и объем используемого капитала к:
- •Исходя из теоретических знаний можем предположить, что зависимость объема производства от труда и капитала описывается пф Кобба-Дугласа .
- •Задания и задачи
- •1.1.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 1.2. Балансовые модели
- •1.2.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •1.2.2. Модель равновесных цен
- •1.2.3. Модель международной торговли.
- •1.2.4. Практический блок Пример
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •1.2.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений
- •2.1.1. Этапы математического моделирования.
- •2.1.2. Основные понятия математического моделирования.
- •2.1.3. Основные типы экономических моделей
- •2.1.4. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Что представляют собой ограничения экстремальной задачи?
- •Что представляет собой целевая функция экстремальной задачи.
- •Приведите примеры экономико-математических моделей.
- •2.1.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.2. Линейное программирование
- •2.2.1. Моделирование задачи оптимизации производства методами линейного программирования.
- •2.2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •2.2.3. Общая задача линейного программирования.
- •2.2.4. Устойчивость оптимального решения.
- •2.2.5. Обьективно-обусловленные оценки.
- •2.2.6. Двойственная задача линейного программирования.
- •2.2.7. Применение основной задачи линейного программирования к решению некоторых экономических задач
- •1. Задача использования ресурсов.
- •2. Задача оптимального использования удобрений.
- •3. Задача составления диеты.
- •4. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)
- •5. Задача о раскрое материалов.
- •2.2.8. Практический блок Пример
- •2. Графическое решение системы и определение оптимальных объемов производства.
- •5. Объективно обусловленные оценки ресурсов
- •6. Устойчивость решения при изменении удельной прибыли.
- •8. Объективно-обусловленные оценки ресурсов показывают:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.2.9. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа
- •2.3.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
- •2.3.2. Исходный опорный план.
- •2.3.3. Распределительный метод решения транспортной задачи.
- •2.3.5. Вырожденные случаи. Открытая транспортная задача.
- •2.3.6. Практический блок Пример
- •1. Математическая модель.
- •2. Получение начального (опорного) плана методом северо-западного угла
- •3. Итерации по улучшению плана до получения оптимального решения.
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.3.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.4. Математические основы сетевого моделирования
- •2.4.1. Построение сетевых графиков.
- •2.4.2. Временные параметры сетевого графика
- •2.4.3. Методы оптимизации сетевого графика
- •2.4.4. Организационные аспекты применения сетевых моделей
- •2.4.5. Практический блок Примеры
- •1. Построение сетевых графиков, согласно заданному порядку предшествования работ.
- •8. Критическое время это:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.4.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.5. Математические методы логистики
- •2.5.1. Экономическое содержание задач управления запасами.
- •2.5.2. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2.5.3. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •2.5.4. Простая вероятностная модель.
- •2.5.5. Практический блок Примеры
- •1. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •3. Вероятностная модель
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.5.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания
- •2.6.1. Общие понятия теории очередей.
- •2.6.2. Одноканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.3. Многоканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.4. Прикладные аспекты теории массового обслуживания.
- •2.6.5. Практический блок Примеры
- •1. Одноканальная система обслуживания с неограниченной очередью
- •2. Одноканальная система обслуживания с ограниченной очередью.
- •3. Многоканальная система обслуживания с неограниченной очередью.
- •Контрольные воросы
- •Задания и задачи
- •2.6.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.7. Состязательные задачи
- •2.7.1. Основные понятия теории игр.
- •2.7.3. Игры с природой
- •2.7.4. Биматричные игры
- •2.7.5. Понятие коалиционных игр.
- •2.7.6. Практический блок Примеры
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.7.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.8. Динамическое программирование
- •2.8.1. Область применения моделей динамического программирования.
- •2.8.2. Основные идеи динамического программирования.
- •2.8.3. Распределение q средств между n предприятиями.
- •2.8.4. Динамическая задача управления запасами.
- •2.8.5. Стохастическое динамическое программирование.
- •2.8.6. Задачи износа и замены оборудования
- •2.8.7. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.8.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •2.9. Многокритериальная оптимизация.
- •2.9.1. Понятие многокритериальности.
- •2.9.2. Оптимальность по Парето.
- •2.9.3. Метод идеальной точки.
- •Заданы две целевые функции
- •2.9.4. Принятие решений на основе метода анализа иерархий
- •2.9.5. Общая классификация эвристических методов решения многокритериальных задач
- •2.9.6. Практический блок Пример 1
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.9.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •1. Математические методы в маркетинге
- •2. Исследование производственных функций
- •Вопросы для подготовки к зачету
- •Итоговые тесты
- •Список рекомендуемой литературы
- •Предметный указатель
2.6.4. Прикладные аспекты теории массового обслуживания.
Рассмотренные модели дают методику определения средней длины очереди и среднего времени ожидания для случаев, когда скорости поступления заказов и их обслуживания являются случайными величинами с известными нам законами распределения (в основном, пуассоновским и экспоненциальным). Возможно построение моделей и с другими распределениями вероятностей. Анализ этих моделей гораздо сложнее и его результаты не позволяют получить такой большой объем полезной информации, как в случае моделей пуассоновского типа.
Если издержки, связанные с пребыванием в очереди и обслуживанием, определены, то можно установить и оптимальное отношение между ними. Оптимальный уровень обслуживания выбирается таким образом, чтобы значение суммы прибыли (качества обслуживания), получаемой за счет предоставления услуг, и потерями прибыли (качества обслуживания), обусловленными задержками в предоставлении услуг, было минимальным. Труднее всего количественно определить «цену» ожидания, т.к. связанная с этим потеря потенциальных клиентов не имеет однозначного денежного выражения (хотя оценка простоев оборудования не вызывает серьезных трудностей). Проиллюстрируем прикладные возможности модельного обеспечения задач принятия решений в сфере обслуживания клиентов, рассмотрев два типа стоимостных моделей. Модели первого типа ориентированны на определение оптимальной средней скорости обслуживания при одноканальной системе массового обслуживания, модели второго типа направлены на определение оптимального числа обслуживающих каналов в случае многоканальной системы.
Для определения оптимального значения μ построим стоимостную модель на основе одноканальных моделей 1, 2.
Пусть с1 – затраты на обслуживание одного заказа, отнесенные к единице времени, с2 – обусловленные вынужденным ожиданием потери в единицу времени в расчете на один заказ, тогда С(μ) =с1μ + с2n – суммарные затраты в единицу времени, минимизация которых даст нам оптимальное значение μ*.
Например, для модели 1, применяя (2.6.2), имеем
С(μ) = с1μ + с2λ/(μ – λ),
откуда, приравнивая к нулю первую производную, получаем
μ* = λ + √с2λ/ с1.
В случае модели 2 величина N рассматривается тоже как переменная, оптимальное значение которой (вместе с μ) определяется путем минимизации С(μ,N) = с1μ + с2n+ с3N + с4λPN, где с3 – затраты на оборудование одного места в блоке ожидания, с4 – потери, связанные с потерей потенциального клиента (приведены к единице времени). Подставляя (2.6.5)–(2.6.7), получим довольно сложное уравнение, для решения которого необходимо прибегать к соответствующим численным методам.
Для определения оптимального числа обслуживающих приборов (каналов) суммарный стоимостной показатель, отнесенный к единице времени, задается формулой
С(s) = с1s + с2n(s),
где с1 – отнесенные к единице времени затраты на функционирование одного обслуживающего канала, с2 – как и выше, затраты, связанные с ожиданием. Тогда оптимальное значение s* находится из условия
n(s*) – n(s*+1) ≤ с1/с2 ≤ n(s*–1) – n(s*).
Пример 2.6.7. Пусть заказы поступают на обслуживание со средним числом λ=17.5 заявок в час. Каждое оборудованное обслуживающее место способно удовлетворить в среднем μ=10 заявок в час. Затраты, связанные с добавлением одного обслуживающего места, оцениваются в с1=6 руб. в час. Пусть потери из-за ожидания составляют с2=30 руб. в час. Вычислим по формулам (2.6.11) и (2.6.13) Р0 и n для разных значений s и результаты поместим в таблицу 2.6.2.
Таблица 2.6.2
-
s
Р0
n
n(s*–1)– n(s*)
1
0
∞
–
2
0.067
.745
∞
3
0.156
0.468
5.28
4
0.170
0.092
0.376
5
0.173
0.019
0.073
6
0.174
0.004
0.015
Следует обратить внимание на то, что n(1)= ∞, так как λ > μ.
Поскольку с1/с2 = 6/30 = 0.2, имеем
n(4) –n(5) = 0.073 ≤ 0.2 ≤ 0.375 = n(3) –n(4).
Следовательно, оптимальное количество моечных мест s*=4.
Можно учесть еще потери, связанные с простоями оборудования, для этого необходимо по формуле (2.6.9) найти вероятности того, что обслуживаются ровно n (n=0,1,2,…< s) автомашин.
Также можно учесть ограничение на вместимость блока ожидания (модель 4), но получаемые стоимостные модели весьма сложны и требуют для своего решения специальных численных методов. При возникновении подобных трудностей, а также в случае невозможности выразить в аналитическом виде характеристики системы массового обслуживания, используют метод статистического моделирования (метод Монте–Карло).
Согласно методу Монте–Карло перебирают (с помощью ЭВМ) все возможные состояния системы с различной интенсивностью и разными законами распределения вероятностей входного и выходного потоков. В результате многократного искусственного воссоздания работы системы рассчитывают характеристики обслуживания, как если бы они были получены при наблюдении над реальным потоком клиентов. Для сложных систем обслуживания метод статистического моделирования оказывается проще аналитического.