ГЛАВА-1-06.13

Из соотношения ch2 y sh2 y 1 выразим ch2 y 1 sh2 y , а поскольку ch y 0

для всех y R , то получим ch y 1 sh2 y , где sh y x .

	y 'x		1				1					1
Таким образом,
			ch y				sh2 y					x2 .
				1				1

Итак, формула производной функции, обратной к гиперболическому синусу, имеет вид:

(arsh x) '

1

x2

1

Ответ: (arsh x) '

1

.

1

x2

Примеры для самостоятельного решения

Найти производную

от функции y = y(x), заданной неявно уравнением:

yx

6.1. x3 y3

3xy 0

6.5. x y yx

6.2. x6 y6

3x2 y2

6x 12y 0

y

ey

x 3

y

0

6.6.

6.3. x3 ln y x2ey

0

x

x

6.4. xsin y y sin x 0

6.7.

arctg

y

1

ln(x2

y2 )

x

2

6.8. Доказать, что функция y(x), заданная неявно уравнением xy ln y 1,

удовлетворяет также уравнению y2 (xy 1) y ' 0 . Продифференцировать функции, используя логарифмическую

производную:

arctg

1

(x2 4)3

(x 2)3

6.9. y (sin 3x)

x

6.13. y

4

(x 1)(x

2

x 2)

6.10.

y (cos 2x)tg5 x

5

6

x 3 (x 1)

x

6.14. y

y (x2 2)sh x

6.11.

(2 x)4 (x 5)2 (2x 1)3

6.12.

y (cth x)ch x

6.15. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = y(x)

в точке M0 (1;1) , если функция задана уравнением x3 2x2 y2 5x y 5 0.

31

6.16. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y=y(x) в точке M0=(–2; 1), если функция задана уравнением

2x2 3xy3 5x 3y 1 0

Найти производные функций, обратных к заданным:

6.17.	y ch x, x (0; )	6.20.	y arccos 2x
6.18.	y cos x		y 2x2 x, x (	1		; )
		6.21.
6.19.	y arcsin 3x			2
6.22. Составить уравнения касательных к графику функции y x3						и к графику

обратной к ней функции, проходящих через точку Mo(1; 1). Сделать чертѐж.

6.23. Составить уравнения касательных к графику функции

y

1

x2

и к

2

графику обратной к ней функции, проходящих через точку M0(2; 2). Сделать

чертѐж.

Ответы

6.1. y '

x

2

y

xy

2

x

5

1

(2xe

y

3x

2

) y

y '

; 6.2.

; 6.3.

y '

;

y

2

x

y

5

x

2

y 2

1 x2 yey

6.4. y ' sin y y cos x ; 6.5. sin x x cos y

	y '	y(x ln y y)	; 6.6.	y '	y	; 6.7.	y '	x y	;
		x( y ln x x)			x			x y

		arcctg	1	ln sin 3x			1
6.9.	y ' (sin 3x)		x			3ctg 3x arcctg
					x2 1
							x

				5 ln cos 2x
	6.10.	y ' (cos 2x)tg 5 x			2 tg 2x tg 5x
				cos2 5x
						2x sh x
	6.11.	y ' (x2	2)sh x ch x ln(x2 2)
						x2 2

	ch x		1
6.12. y ' (cth x)		sh x ln cht x
			sh x

6.13.	y '	1					(x4 4)3 (x 2)5												6x						5					1						2x 1
				4							2								2																	2
		4				(x 1)(x							x 2)			x				4				x 2					x 1					x			x 2
							x 3 (x 1)5 x6													1					5				6				4				2				6
6.14.	y '
		(2 x)						4	(x 5)			2	(2x 1)		3			2(x 3)							x 1								x					x 5			2x 1
																													x 2

32

6.15.

4x 3y 1 0,

3x 4 y 7 0 ; 6.16.

2x 5y 9 0,

5x 2 y 8 0 ;

6.17.

(arch x) '

1

, x (1; ) ; 6.18. (arccos x) '

1

, x ( 1;1) ;

x2 1

x2

1

6.19.

ctg x

log3 e ctg x ; 6.20.

tg x

log

2 e tg x ; 6.21.

1

ln 3

ln 2

8x 1

6.22.

y 3x 2,

y

1

x

2

; 6.23.

y 2x 2,

y

1

x 1 .

3

3

2

§7. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Зависимость между переменными x и y иногда удобно задавать двумя уравнениями

	x (t)
		(1)
	y (t),

где t – вспомогательная переменная (параметр). Такое задание функции y(x) называют параметрическим заданием. Особенно часто его используют в механике, где параметр t обычно обозначает время, а уравнения системы (1) представляют собой параметрические уравнения траектории движущейся точки M (x; y).

Исключив из уравнений (1) переменный параметр t , если это возможно, получают явное или неявное задание функции y=y(x).

Полезно знать параметрические уравнения следующих кривых:

x a cos t

1)окружности: y a sin t

x a cos t

2)эллипса: y bsin t

3)циклоиды:

4)астроиды:

x a (t sin t)y a (1 cos t)

x 4 cos3 t

y 4 sin3 t

33

Если функция y=y(x) задана параметрически системой уравнений

x (t)	где функции (t) и	(t) дифференцируемы и					'(t) 0 , то производная
y (t)
этой функции может быть вычислена по формуле
		y 'x	'(t)		y 't	.	(2)
			'(t)
					x '
					t

Примеры с решениями Пример 1. Определить вид кривой, заданной параметрически системой

уравнений:

x t 2

y 2t2 1 1.

Решение. Из первого уравнения системы выразим переменную t через x и подставим во второе уравнение t x 2 , получим функцию y, зависящую от x:

y 2 (x 2)2 (x 2) 1, y 2x2 8x 8 x 2 1

y 2x2 9x 11. Графиком полученной функции является парабола. Ответ: парабола y 2x2 9x 11.

Пример 2. Определить вид кривой, заданной параметрически системой

x 2 cos t

уравнений y 2sin t.

Решение. Возведѐм в квадрат обе части каждого уравнения системы, а затем сложим левые и правые части полученных уравнений.

x2 4 cos2 t

y2 4 sin 2 t

x2 y2 4 cos2 t 4 sin2 t x2 y2 4(cos2 t sin2 t)

x2 y2 4

Ответ: x2 y2 4 – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R = 2.

34

Пример 3. Найти производную функции y = y(x), заданной параметрически

x t

5

уравнениями

y t7

y 't

7t

6

7

Решение. Воспользуемся формулой (2)

y 'x

t2

x '

5t

4

5

t

Ответ:

y 'x

7

t2 .

5

Примеры для самостоятельного решения

Определить вид кривой, заданной параметрически системой уравнений, и нарисовать еѐ.

x 5t 3

7.1.y 4 3t

x t 4

7.2.y 7t 3

x 3cos t

7.3.y 5sin t

x 4cos t

7.4.y 4sin t

x 3t2 t 2

7.5.y 1 t

x 2t 4

7.6.y 3 t2

Найти производную функции y = y(x), заданной параметрически системой уравнений

x a ch t

x a cos

3

t

7.11.

7.7.

y a sin3 t

y b sh t

x a cos t

2t t2

x

7.8.

1 t

3

y b sin t

7.12.

2t t

2

y

2t

1 t

x 3

3

7.9.

t 1

y 5t 2

x 4 t3

y 3 2t 1

35

			x t sin t
7.13. Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде									,
			y 1				cos t
проведенных в точке, для которой t =	.
	2
							3
		x		2 cos				t
7.14. Составить уравнения касательной и нормали к астроиде		y			sin3 t ,
				2
проведенных в точке, для которой t =	.
	4
		x 5cos t
7.15. Составить уравнения касательной и нормали к эллипсу			7sin t			,
		y
проведенных в точке, для которой t =	. Сделать чертѐж.
	4
		x 2cos t
7.16. Составить уравнения касательной и нормали к эллипсу						,
		y	4sin t
проведенных в точке, для которой t =	. Сделать чертѐж.
	6
7.17. Составить уравнения касательной и нормали к		кривой, заданной

	x t	2	2
параметрически системой уравнений				,
	y 2t 3
проведенных в точке М0 (–1;1)
7.18. Составить уравнения касательной и			нормали к кривой, заданной

x 3t 2

параметрически системой уравнений ,

y 1 t 2t2

проведенных в точке М0 (1;–2)

Ответы

7.1. 3x + 5y – 11= 0 – уравнение прямой; 7.2. y = 7x + 31 – уравнение прямой;

7.3.

x2

y2

1

– уравнение эллипса;

7.4.

x2 y2

16

– уравнение

9

25

окружности;

7.5.

x 3y2

5y 4 – уравнение параболы; 7.6.

y

x2

2x 1

–

4

уравнение параболы; 7.7.

y 'x tg t ; 7.8.

y 'x

b

ctg t ;

a

y 'x

2

b

y 'x (1 10t) 3 2t

7.9.

; 7.10.

9t2

3 2t 1 2

; 7.11.

y 'x

a cth t

;

7.12.

y '

t 4 4t3 2t 2

; 7.13. y x 2

,

y x

; 7.14. y = x+1, y = x;

x

t 4 4t3 2t 2

2

2

7.15. 7x+5y 35 2 0 , 5x

7y+12

2 0 ; 7.16. 2

3 x+y–8=0,

3 x

6y+9=0;

7.17. y =

x, y = x + 2; 7.18. 5x+3y+1=0, 3x

5y

13=0.

§8. Дифференциал функции

Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х0 , если еѐ приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента ∆х, может быть представлено в виде

∆y = A·∆x+α(∆x)· ∆x,

(1)

где А – число, не зависящее от ∆x (А зависит от х0 ), α(∆x) – бесконечно малая функция при ∆x→0.

Дифференциалом этой функции в точке х0 называется главная часть еѐ приращения функции А·∆x (линейная относительно приращения аргумента). Для того чтобы функция y = f(x) была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная f (x0 ) ;

при этом справедливо равенство A f (x0 ) . Этот факт позволяет называть дифференцируемой всякую функцию, имеющую конечную производную.

Выражение для дифференциала функции y = f(x) в точке х0 имеет вид
dy(х0) = f '(х0)· ∆x.	(2)
Для независимой переменной х еѐ приращения совпадает	с еѐ

дифференциалом: ∆x = dx. Таким образом, для вычисления дифференциала

функции используют формулу
dy= f '(х)· dx.	(3)
Геометрически дифференциал функции y = f(x) в точке х0	равен
приращению ординаты касательной к графику этой функции в	точке
М0(х0; f(х0)) при приращении аргумента ∆x.

37

Основные свойства дифференциала

Если с const , u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции, то:

1.dc 0

2.d(u ± v) du dv

3.d(c u) c du

4.d(u v) u dv v du

	u				v du u dv		,(v 0)
5.	d
					v	2
	v

6. Cвойство инвариантности: дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, будет ли аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией от другой независимой переменной, т.е. если u = u(x) – функция, дифференцируемая в точке x, а y = f(u) – функция, дифференцируемая в соответствующей точке u, то

dy f '(u) du f (u(x)) ' dx

Таблица дифференциалов некоторых элементарных функций

	Пусть u = u(x) – дифференцируемая функция, тогда
1.	d(uα)=α·uα-1·du	3.	d(eu)=eu · du
2.	d(au)=au · ln a·du	4.	d (loga u)	du
				u ln a

38

5. d(ln u) duu

6. d (sin u) cosu du

7. d (cosu) sin u du

8.

d (tgu)

du

cos2 u

9.

d(ctgu)

du

sin2 u

10. d (arcsin u)

du

1

u2

11. d (arccos u)

du

1

u2

12. d (arctg u)					du
					u2
		1
13. d (arcctg u)							du
							u2
					1
14.d(sh u) = ch u · du
15.d(ch u ) = sh u · du
16. d (thu)	du
	2	u
	ch

17. d(cthu) du sh2u

Если приращение аргумента ∆х мало по абсолютной величине, то ∆y ≈ dy, т.е. f (x0+∆x) – f (x0) ≈ f '(x0 )·∆x, откуда получаем формулу для приближѐнных

вычислений значения функции в точке:
																			f (x0+∆x) ≈ f (x0) + f '(x0 )·∆x.																																																	(4)
																						Примеры с решениями
																																																											x		2ctg							2
	Пример 1. Найти дифференциал функции y 4																																									x3					log52 arccos																						.
																																																																				x
																																																											2
	Решение. Воспользуемся формулой (3).
								1
dy		f '(x)dx							3	x			log52 arccos										x					4			5arccos			x									1														1									1
																														x3
											4
								4																																						x																				2
																																																												x2
																						2											2					arccos											ln 2								1
																																													2
																																																											4
	ctg	2						1											1
2		x ln 2														2									dx
													2									2
								sin2													x
													x
	Ответ:
																																				x											2
																			54								x2 log42 arccos																						1
																																											ctg							ln 2
				3													x																								2							x
																																			2
dy							log52 arccos																																																		dx
				4 4 x													2																				x														2 2
																					ln 2							4 x				2	arccos									x		2				sin
																																					2																x

39

Пример 2. Вычислить приближѐнно 1,986.

Решение. Рассмотрим число 1,986 как конкретное значение функции y = x6 в точке х0+∆х=1,98. Возьмѐм х0=2, тогда ∆х=–0,02. Вычислим f(x0) = f(2) = 26=64. Найдем f '(x) = (x6 )'=6x5 и вычислим f '(x0) = f '(2)=6·25=6·32=192. Поставим полученные значения в формулу (4):

1,986 ≈ f(x0)+f '(x0)·∆x=64+192·(–0,02)=64–3,84=60,16. Ответ: 1,986 ≈ 60,16.

Пример 3. Найти приближенно значение объѐма V шара радиусом r =1,02 м.

Решение. Поскольку V(r) = 43 r3 , то, полагая r0 = 1, ∆r = 0,02 и используя формулу (4), получаем:

V(1,02) ≈ V(r0)+V '(r0)·∆r = V(1)+V '(1)·0,02 = 43 +4π·0,02≈4,44.

Ответ: 4,44 м 3.

Примеры для самостоятельного решения

8.1.Найти приращение ∆y и дифференциал dy функции y = x2 – 3x + 2, соответствующие значению аргумента x0=2 и двум различным приращениям аргумента (∆x)1 =0,1 и (∆x)2=0,01.

8.2.Найти приращение ∆y и дифференциал dy функции y = x3 – 2x –5, соответствующие значению аргумента х0 = –3 и приращениям аргумента

(∆x)1=0,1 и (∆x)2 =0,01.

8.3.Доказать, что для линейной функции y = kx + b приращение ∆y и дифференциал dy совпадают.

8.4.Вычислить приближѐнное значение площади круга, радиус которого равен

3,02 м.

8.5.Вычислить приближѐнное значение arcsin 0,51.

8.6.Вычислить приближѐнное значение arctg 0,98.

8.7.Вычислить приближѐнное значение 31, 02 .

8.8.Вычислить приближѐнное значение 415, 968 .

				1	ln	x 4
	8.9. y(x) ln(x	x2 4)					,	dy ?
				8 x 4

40