ГЛАВА-1-06.13

11.12.убывает при x ;0 и x 4; , возрастает при x 0;4 ;

11.13.возрастает при x ; ;

11.14.убывает при x ;2 и x 2; ;

11.15.ymax y( 1) 76 , ymin y(2) 103 ;

11.16.ymax y( 3) 272 , ymin y(2) 223 ;

11.17.ymax y(2) e42 , ymin y(0) 0 ;

11.18.ymin y(2) 2e ;

11.19. ymax y( π2 ) y(3π2 ) 1, ymin y(π) 0 ;

11.20. y y(

π

)

π 6 3

, y

y(

5π

)

5π 6 3

;

min

max

12

12

12

12

11.21. ymin y(3)

27.

§12. Наименьшее и наибольшее значение функции, непрерывной на отрезке

Непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений (теорема Вейерштрасса). Эти значения функция может принимать либо в точках экстремума, находящихся внутри рассматриваемого отрезка, либо на концах этого отрезка. Поэтому решать задачу на наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке можно, руководствуясь следующим правилом:

1)найти критические точки функции, принадлежащие интервалу a;b ;

2)вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка a;b ;

3)из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечание 1. Если функция имеет внутри отрезка лишь одну критическую точку, которая является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Замечание 2. Если функция внутри отрезка не имеет критических точек, то это означает, что она строго монотонна на всем этом отрезке и своих наибольшего и наименьшего значений достигает в концах отрезка.

				Примеры с решениями
Пример 1. Найти		наименьшее и наибольшее значения функции
y x3 3x 3 на отрезке		3		x	5	.
		2		2

61

Решение.	Находим					y 3x2 3 3 x 1 x 1 .								Отсюда		видим,							что
критические точки:		x1 1 и x2								1. Находим значения функции в этих точках
и на концах данного отрезка:
y 1 5, y 1			3		15				5			1
	1, y						, y				11		.
			2		8				2			8
									что y 1 1 − наименьшее, а								5			11		1
Из полученного				следует,											y									−
																	2					8
наибольшее значение функции на заданном отрезке.
															5						1
Ответ: наименьшее значение y 1 1, наибольшее значение y																			11				.
															2						8
Пример 2. Имеется						смесь,					состоящая из двух			газов: оксида						азота и

кислорода. При какой концентрации кислорода содержащийся в смеси оксид азота окисляется с максимальной скоростью?

Решение. При наличии условий критической необратимости можно

считать,

что

скорость реакции

2NO O2 2NO2

выражается формулой

kc2c

2

, где

c

1

– концентрация NO в момент времени t ;

c

2

– концентрация

1

O2 ; k –

константа

скорости, зависящая только

от

температуры. Выражая

концентрации

NO

и O2

в объѐмных процентах,

будем иметь

c2 100 c1 ,

kc2 100 с k 100c2

c3 .

Находим

первую

производную

1

1

1

1

d

k

200c

3c2

и, приравнивая еѐ к нулю:

k

200c

3c2 0 .

Найдѐм

dc1

1

1

1

1

c

0,

c

200

66,7

% .

1

1

2

1

3

Найдем

вторую

производную:

d

2

k 200 6c1 ,

так

как

dc 2

1

d

2

d2

0,

0 , то

заключаем, что

при c

66,7 % скорость

2

2

1

dc1 c 0

dc1

c 66,7

1

1

окисление

имеет

максимум.

Далее,

так

как

при

c1 66,7 % ,

c2 100 66,7 33,3 % , то заключаем, что

скорость

окисления

азота имеет

максимум, если кислорода в газовой смеси содержится 33,3 %.

Ответ: При концентрации кислорода 33,3 %.

Пример 3. Требуется изготовить фильтр путѐм вырезания из круга радиуса

R сектора и свѐртывания последнего в конус. При каком центральном угле

сектора объѐм фильтра будет наибольшим?

Решение.

Обозначим

угол

сектора

через

x , а радиус окружности

основания конуса через y . Тогда

Rx 2 y ,

откуда

y

Rx

.

Если высота

2

62

фильтра z , то объѐм его V

y 2 z

,

3

R2 x2

1

x2

.

где z

R2 y 2

или z R2

R

4π2

4π2

π

x2

R3 x2

Поэтому V

y 2 R

1

4π2 x2 .

3

4π2

24π2

R3 x 2

Итак, V

4π2 x 2

−

функция от

x , наибольшее

24π2

значение которой на отрезке 0;2π нужно найти. Находим

первую производную и приравняем еѐ к нулю:

x 8π

.

dV

R

3

x

3

R

3

2

3x

2

2x 4π2 x4

2

dx

24π

4π2 x2

24

4π2 x2

	dV	0 , если x 8 2 3x2		0 , откуда, рассматривая только то решение, которое
	dx
имеет смысл, находим x 2π											2	.
								3
По смыслу задачи ясно,					что при									x 2π							2			фильтр будет иметь наибольший
																			3
объѐм, равный:
							R3											2
																									8π2			2πR3
														2					2										3
		Vнаиб																	4π
					24π			2 2						3											3			27
		Ответ: при x 2π		2			фильтр будет иметь наибольший объѐм.
				3

Примеры для самостоятельного решения

Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанных отрезках: 12.1. y x3 на отрезке 1;4 .

12.2.y x2 5x 6 на отрезке 5 ;4 .

2

12.3.y 2x3 3x2 12x 1 на отрезке 1;5 и на отрезке 10;12 .

12.4.y x 2 x на отрезке 0;4 .

					π		π
12.5. y sin 2x x на отрезке						;		.
					2		2
12.6. y		x	на отрезке 2;3 .
		x2
1

12.7. y sin 4 x cos4 x на отрезке 0;2 .

63

12.8. Какова должна быть сторона основания правильной треугольной призмы объѐма V , чтобы еѐ полная поверхность была наименьшей?

12.9.Каковы должны быть радиус основания и высота прямого кругового цилиндра объѐма V , чтобы его полная поверхность была наименьшей?

12.10.Из квадратного жестяного листа, сторона которого a , желают сделать открытый сверху ящик наибольшего объѐма, вырезая равные квадраты по углам, удаляя их и затем загибая. Какова должна быть длина сторон у вырезаемых квадратов?

12.11.Из круга радиуса R вырезан сектор с центральным углом . Из этого

сектора свѐрнута коническая поверхность (прямой круговой конус). При какомобъѐм полученного конуса будет наибольшим?

12.12.Разделить число 10 на такие две части, чтобы сумма их квадратов была

наименьшей.

12.13.Найти высоту прямого кругового конуса с наибольшей боковой поверхностью, который можно вписать в данный шар радиуса R .

12.14.Найти высоту прямого кругового конуса с наименьшим объѐмом описанного около шара радиуса R .

12.15.Найти измерения прямоугольника наибольшей площади, вписанного в

	эллипс	x2		у 2	1.
		a2		b2

12.16.Принимая, что прочность бруска с прямоугольным поперечным сечением прямо пропорциональна ширине и кубу высоты, найти ширину бруска наибольшей прочности, который можно вырезать из бревна, диаметр которого равен 16 см.

12.17.Газ, содержащий оксид NO , смешивается с воздухом. Определить, при каком содержании кислорода (%) в полученной смеси скорость окисления азота максимальна и какой объѐм добавленного к газу воздуха обеспечивает это количество кислорода в смеси?

12.18.Лампа висит над центром круглого стола радиуса R . При какой высоте лампы над столом освещѐнность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая? (Освещѐнность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света).

12.19.Из круглого бревна диаметра d требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление:

а) на сжатие; б) на изгиб?

(Сопротивление балки на сжатие пропорционально площади еѐ поперечного

сечения, а на изгиб −	произведению ширины этого	сечения	на	квадрат
его высоты).
12.20. Определить, при	каком диаметре x круглого	отверстия	в	плотине

секундный расход воды Q будет иметь наибольшее значение, если

64

Q cxh x ,

где

h постоянная,

равная

глубине

низшей

точки

отверстия,

а

c эмпирический коэффициент пропорциональности.

Ответы

12.1.

yнаим 1

при x 1; yнаиб 64 при

x 4 ; 12.2. yнаим

1

при x

5

;

4

2

yнаиб

2 при x 4 ;

12.3. а)

yнаим 6 при x 1;

yнаиб 266

при x 5,

б) yнаим 1579

при

x 10 ;

yнаиб 3,745

при

x 12 ; 12.4.

yнаим 0

при

x 0 ;

yнаиб 8

при x 4 ;

12.5.

yнаим

π

при

x

π

;

yнаиб

π

при x

π

;

2

2

2

2

12.6.

yнаим 0,5 при

x 1;

yнаиб 0,5

при

x 1; 12.7.

yнаим

1

при

2

x

π

π

yнаиб 1;

k ;

12.8.

3 4γ ; 12.9. Высота цилиндра и диаметр основания

4

2

a

равны; 12.10.

; 12.11.

2

6π

; 12.12. 5 и 5; 12.14. 4R ; 12.15. 2ab ; 12.16. 8 см;

6

3

2R

3d

и

6d

.

12.17. 7 %; 12.18. 0,5R

2 ;12.19. а) 0,5 2d и 0,5 2d ;б)

; 12.20.

3

3

3

§13.	Направление	выпуклости	графика	функции.
Точки перегиба
График	функции y = f(x)	называется выпуклым вверх		(выпуклым) на

интервале (a; b) если в пределах этого интервала график функции y = f(x) лежит ниже любой своей касательной.

График функции y = f(x) называется выпуклым вниз (вогнутым) на интервале (a; b) если в пределах этого интервала график функции y = f(x) лежит

выше любой своей касательной.
Точка графика функции y = f(x)		M0 (x0; f(x0)) называется точкой перегиба
графика, если при переходе x через x0		график меняет направление выпуклости.
Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на интервале (a;b), тогда
если в каждой точке этого интервала				, то график функции на (a; b)
			f (x) 0
выпуклый вверх (выпуклый), а если				, то график функции на (a; b)
			f (x) 0
выпуклый	вниз (вогнутый). Это		достаточные условия выпуклости
(вогнутости) графика.
Если точка M0 (x0; f(x0)) является точкой перегиба графика функции y=f(x),
то f (x) 0	или f (x0 ) не существует – необходимое условие точки перегиба.

Точка x0 области определения функции, в которой вторая производная функции обращается в ноль или не существует, называется критической точкой II рода.

65

f (x0 )

Для того чтобы точка M0 (x0; f(x0)) графика функции y=f(x) была точкой

перегиба, достаточно, чтобы существовала конечная		в некоторой
	f (x0 )

окрестности точки x0 (за исключением, может быть, самой точки x0) и чтобы меняла знак при переходе x через x0.

Пример 1. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба

графика функции y x4 2x2 .

12

Решение.

D y ; .

y x3 4x, y x2 4 x 2 x 2 . 3

Находим критические точки II рода: а) y не существует: o ,

б) y 0при x1 2, x2 2.

Вычислим							y 2					2 4							2					2 2										4						8		20	,
													12																					3						3
							y 2 y 2														20				.
																						3
								2;				20												2;					20
Получим M1														и				M 2															− точки перегиба.
													3																	3
Ответ: ; 2 , 2;																									–			интервалы вогнутости, 2; 2 − интервал
															20																				20
выпуклости, M1 2;																		и					M 2				2;														− точки перегиба.
															3																			3
Пример 2. Найти интервал выпуклости, вогнутости и точки перегиба
графика функции y 1 3 x.
Решение.
D y							; .
				1					2						2				1			2								2
									3
																						3
		3					x						9 x
y										, y																				3		x		2 .
																										9x
Находим критические точки II рода:
а) y не существует при x 0 ,
б)		y		0			:	o

66

Вычислим y 0 1 30 1. Получим M 0; 1 − точка перегиба.

Ответ: ; 0 − интервалы выпуклости, 0; − интервал вогнутости, M1 0; 1 − точка перегиба.

Примеры для самостоятельного решения

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегибы следующих функций:

13.1. y x3

5x2

3x 5 ;

13.6. y x e x2 ;

13.2. y 3x5 5x4

3x 2 ;

13.7. y x2 ln x ;

13.3.

y

x

;

13.8. y arctgx x ;

1 x2

y

x

3

x 1 2

13.9.

;

13.4. y

;

x

2

x 2

13.10 y 3

x3 12x.

13.5. y e x2 ;

Ответы

5

5

13.1.

;

−

интервал

выпуклости,

;

−

интервал вогнутости,

3

3

5

;

250

M

− точка перегиба;

3

27

13.2. ; 1 − интервал выпуклости, 1; − интервал вогнутости, M 1; 1 −

точка перегиба.

;

,

0;

−

интервалы

выпуклости,

3; 0 ,

3; −

13.3.

3

3

3

3

интервалы вогнутости, M

3;

3;

− точки перегиба.

4

, O 0; 0 , N

4

13.4. ; 2

−

интервал выпуклости, 2;

−

интервал вогнутости, точек

перегиба нет.

2

2

2

2

13.5.

;

2

,

2

;

− интервалы вогнутости,

2

;

2

− интервал

2

1

2

1

выпуклости, M

;

;

2

e

, N

2

e

− точки перегиба.

67

			6					6																					6													6
13.6.		;					0;					−		интервалы								выпуклости,										; 0																−
			2			,		2																					2							,		2						;
																								3																						3
															6				6										6									6
																								2																							2
интервалы вогнутости,												M						;				e													;							e						−
																									, O 0; 0 , N
															2				2										2							2

точки перегиба.

13.7.

0; e 32

−

интервал выпуклости,

e 32 ; −

интервал вогнутости,

3

2 ;

3

e

3

M e

2

− точка перегиба.

2

13.8.

; 0

− интервал вогнутости, 0;

− интервал выпуклости, O 0; 0

−

точка перегиба.

интервалы вогнутости, 0; 2 − интервал выпуклости,

13.9.

; 0 ,

2; −

O 0; 0 − точка перегиба.

;

, 0;

−

интервалы

вогнутости,

3; 0 ,

3;

−

13.10.

3

3

интервалы выпуклости,

M

3; 0 , O 0; 0 , N

3; 0 − точки перегиба.

§14. Асимптоты графика функции

Прямая l называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние от точки M (x; y) кривой до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:

lim f x или

		x a 0									(1)
		lim f x						или
		x a 0
Прямая y = k x + b наклонная асимптота кривой y=f(x) при x (при
x ), если выполнены условия:
lim	f x			k			и	lim	f x k x b
x		x						x			(2)
		f	x
lim						k	и	lim	f x k x	b .
x			x					x
Частный случай наклонной асимптоты при k 0 и										b – горизонтальная

асимптота y = b.

68

Примеры с решениями

Пример 1. Найти асимптоты графика функции y

3x2

x 2

.

x

2

Решение. Область определения D y ; 2 2 ; .

x0 2

− точка

разрыва

графика

функции,

через нее

может

проходить

вертикальная асимптота.

Рассмотрим

lim

f x lim

3x2

x 2

12

, следовательно, и

x x 0

x 2 0

x 2

0

0

выполнено одно из условий (1) и прямая x0 2 является вертикальной

асимптотой.

Наклонная асимптота: y = k x + b, где k и b находим по формулам (2)

k lim

f x

lim

3x2 x 2

разделим числитель

x

x 2 x

и знаменатель на x

2

x

x

x

x

3

1

2

x2

lim

x

3;

1 2

x

x

x

b lim

f x k x

lim

3x2 x 2

3x

lim

3x2 x 2 3x2

6x

x

x

x 2

x

x 2

x

x

x

2

5x 2

5

5 .

lim

lim

x

x

x 2

x

1 2

x

x

x

Получили k = 3 и b = 5, следовательно, наклонная асимптота имеет уравнение y = 3 x + 5.

Ответ: x = 2; y = 3 x + 5.

Пример 2. Найти асимптоты графика функции y 3x2 x 2 . x 2 2

Решение. D y ; . Область определения функции не имеет

точек разрыва, следовательно, вертикальных асимптот нет. Наклонная асимптота: y = k x + b, где k и b находим по формулам (2).

k lim

xx

	f x	lim
	x
		x
		x

	3 x2 x 2
	x	2	2 x

		3		1						2
lim	x			x2						x3			0	0;
						2							1
x			1
x						x		2

69

f x k x

3x

2

x 2

b lim

lim

x2

2 x

x

x

x

x

3

1

2

lim

x

x2

3.

2

x

1

x

x

2

0 x		lim
		x
		x

		3x2	x 2
		x	2	2

Получили k = 0 и b = 3, следовательно, прямая y = 3 является горизонтальной асимптотой графика рассматриваемой функции.

Ответ: y = 3.

Пример 3. Найти асимптоты графика функции y x 2x. Решение. D y ; , вертикальных асимптот нет.

Наклонная асимптота: y = k x + b, где k и b находим по формулам (2).

		f x			x2 x		при x
	k lim			lim		lim	2 x	0 при x	, следовательно, при
		x			x
	x			x		x
	x			x		x

x наклонной асимптоты нет.

b lim

f x k x

lim

x 2 x 0 x lim

x 2 x 0

lim

x

x

x

x

x

x 2

lim

x

lim

1

1

0.

x

x 2

ln 2

x 2 x

Получили k = 0 и b = 0 при x , это значит, что прямая y = 0

горизонтальной асимптотой при x .

Ответ: y = 0 (при x ).

Примеры для самостоятельного решения

Найти асимптоты графиков следующих функций:

y

2 x2

14.5. y

x 2

14.1.

;

;

x 2

x 3

1

14.2.

y

5x2 2x 1

;

x2

1 x

14.6. y x 3 2 ;

14.3. y

x3

1

;

14.7. y

ln 1 x

;

x 2 4

x

14.4. y x 1 2

;

14.8. y x ln x ;

x 3



является

70