ГЛАВА-1-06.13
.pdfТогда (в
lim x ψ x
x x0
или 0 .
силу |
непрерывности показательной функции) получают: |
|||
|
lim |
|
ψ x ln x |
0 |
e |
x x0 |
, что сводит задачу к неопределенности |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры с решениями |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 1. Вычислить lim |
1 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 log 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
Подстановка предельного значения аргумента x 1 приводит к |
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
неопределенности |
|
|
|
|
, т.е. выполняется |
первое |
условие теоремы: |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim 1 x3 1 13 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
и |
|
|
lim log 2 x log 2 1 0 . |
|
Второе условие |
теоремы |
|
тоже |
||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
f x 1 x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
выполняется, |
поскольку |
|
функции |
и |
|
g x log 2 x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференцируемы в некоторой окрестности точки |
x 1, причем g x x 0 |
||||||||||||||||||||||
для любого x |
из этой окрестности (в качестве окрестности можно рассмотреть, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
например, интервал |
|
|
|
; |
|
). Выполняется и третье условие: существует предел |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
отношения производных этих функций lim |
|
x |
lim |
|
3ln 2 . |
Итак, |
|||||||||||||||||
g |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
x |
x 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln 2
решение этой задачи можно коротко записать следующим образом:
|
1 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
|
0 |
lim |
1 x3 |
lim |
3 ln 2 lim x |
3 |
3ln 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
||||||
x 1 log 2 x |
|
|
0 |
log |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x ln 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ: 3ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx |
|
|
|
||||||
|
Пример 2. Вычислить |
lim |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
51
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 arctgx |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ln 1 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Пример 3. Вычислить |
lim |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
x3 |
|
lim |
|
x3 |
lim |
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
lim |
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3x |
3 |
|
|
ln 3 |
|
3x ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
6x |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
ln |
2 |
|
|
|
|
|
x |
ln |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x 3 |
|
3 |
|
|
x 3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 0
Пример 4. Вычислить lim x π ctg2x
x
Решение.
lim x ctg 2x 0 lim |
|
x |
|
||||||
|
1 |
|
|||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg 2x |
|
lim |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||
x |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
cos2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x |
|
0 |
|
lim |
x |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
tg 2x |
0 |
|
tg 2x |
||||||
x |
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Ответ: 12
52
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пример 5. Вычислить lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x |
|
1 |
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ln x x 1 lim |
|
ln x x 1 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 x 1 |
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x 1 ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x 1 ln x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|
ln x x 1 |
lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
1 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
x 1 x ln x x 1 |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x 1 x 1 ln x |
x 1 ln x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x ln x x |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 1 |
ln x x |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Ответ: |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 6. Вычислить |
lim |
|
|
|
xsin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
ln xsin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Решение. |
lim |
|
|
xsin 2 x |
00 e x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Рассмотрим |
lim ln xsin 2x |
|
lim |
sin 2x ln x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
lim |
|
sin 2x |
|
|
|
lim |
sin 2x 1 1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 cos 2x |
x 0 |
|
|
2x |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
ln xsin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
xsin 2 x |
00 e x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1.
Пример 7. Вычислить lim x cos x x x sin x
53
Решение. Перед нами неопределенность |
|
|
, в числителе дроби мы видим |
|
|
||
|
|
|
|
функции, дифференцируемые на всем множестве действительных чисел, но
|
|
|
1 sin x |
|
отношение производных |
x cos x |
|
не имеет предела при x . |
|
|
|
|||
|
1 cos x |
|
||
|
x sin x |
|
Однако, это не значит, что исходный предел не существует, его можно вычислить без использования правила Лопиталя, применяя лишь тождественные преобразования и свойства пределов:
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x cos x |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
lim |
|
|
|
x |
|
lim |
|
|
x |
|
|
1 |
1 |
|||||
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||
x x sin x |
x |
|
|
x |
1 |
|
sin x |
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1.
x2 sin 1
Пример 8. Вычислить lim x x 0 sin x
Решение. Правило Лопиталя не применимо, так как при отношения производных
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
x |
|
sin |
|
|
|
|
2x sin |
|
|
x |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
2x sin x |
cos x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
задача имеет решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x2 sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
sin x |
|
1 |
|||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
x sin |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
x sin |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x 0 |
sin x |
|
|
x 0 sin x |
|
|
x |
|
x 0 |
x |
|
|
x 0 |
|
|
x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Ответ: 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Пример 9. Вычислить |
|
lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
x 0 предел
не существует. Но
1 1 0 0
54
lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
x 2 |
2 |
lim 2 |
|
x 2 2 |
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
lim |
x 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x2 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
x |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило Лопиталя не приводит нас к решению этой задачи, но искомый предел существует и его легко вычислить, разделив числитель и знаменатель дроби на x:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
2 |
2 |
x |
2 |
2 |
|
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
x |
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1
Примеры для самостоятельного решения
Вычислить следующие пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10.1. lim |
1 e5x |
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
|
x 0 sin 3x |
10.6. |
lim |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
arcsin x 2 |
x |
ctg3x 1 |
||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10.2. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
tgπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 2 |
|
|
10.7. |
lim |
x ln x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|||
10.3. |
lim |
1 tgx |
10.8. lim 1 e |
6x |
ctg3x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||
|
x 4 |
4 |
x 0 |
x3 e 3x |
||||||||||||||
|
|
|
3x |
|
|
|
5x |
10.9. |
lim |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
10.4. lim |
e |
e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
sin 4x |
10.10. |
lim |
ln x ln x 1 |
||||||||||||||
|
x 0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10.5. |
lim |
x |
, где n N |
|
|
|
e x |
x3 |
||||||||||
x |
10.11. |
lim |
||||||||||||||||
|
x e |
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.12. |
lim |
x5 |
e2x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
55
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10.13. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.18. |
lim |
x |
1 ln x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x 4 x 4 |
|
|
|
x |
7x |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
10.14. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.19. |
lim |
x 3x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x 3 x 3 |
|
|
|
|
|
x 6 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.20. |
lim |
(ctgx)sin x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10.15. lim x1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10.16. lim 1 sin 3x ctg6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.21. |
lim |
ln |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
||||||
10.17. |
lim sin x tg 2 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10.1. |
5 |
; |
10.2. |
|
|
|
1 |
|
; |
10.3. |
2 ; |
10.4. |
|
1 |
; 10.5. 0 |
; 10.6. |
|
1 |
; 10.7. |
0 ; 10.8. |
2; |
||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
2 |
6 |
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.9. |
0 ; 10.10. 0 ; 10.11. ; 10.12. ; 10.13. 1; 10.14. |
1 |
; 10.15. e 1 ; |
|||
5 |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
10.16. |
|
e |
; 10.17. 1; 10.18. e3 ; 10.19. 3 ; 10.20. 1; 10.21. 1. |
|
|
§11. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции
Функция y f (x) называется возрастающей (убывающей) на интервалеa;b , если она определена на этом интервале ( a;b D( f ) ) и если для любых
двух точек |
x1 и x2 , |
|
принадлежащих этому |
интервалу, из условия |
x1 x2 следует неравенство |
f ( x1 ) f ( x2 ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ). |
|||
Функция |
y f (x) |
называется неубывающей |
(невозрастающей) на |
интервале a;b , если она определена на этом интервале ( a;b D( f ) ) и если для любых двух точек x1 и x2 , принадлежащих этому интервалу, из условия x1 x2 следует неравенство f ( x1 ) f ( x2 ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ).
Функция y f (x) называется монотонной на интервале a;b , если она
является неубывающей на этом интервале или невозрастающей на этом |
||||
интервале. Если функция y f (x) возрастающая на |
a;b |
|
или убывающая на |
|
a;b , то ее называют строго монотонной на интервале a;b . |
|
|||
Если функция y f (x) дифференцируема и |
является возрастающей |
|||
|
( f ( x) |
|
0 ) для любого |
x |
(убывающей) в некотором промежутке, то f (x) 0 |
|
|
56
из этого промежутка. При этом точки, в которых f ( x) 0 не заполняют никакого отрезка (необходимое условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в промежутке) .
Если функция y f (x) дифференцируема и является неубывающей (невозрастающей) в некотором промежутке, то f (x) 0 ( f (x) 0 ) для любого
x из этого промежутка – необходимое условие неубывания (невозрастания)
дифференцируемой функции в промежутке.
Если в любой точке x |
некоторого промежутка |
|
( f |
|
f (x) 0 |
(x) 0 ), то в |
|||
этом промежутке функция |
y f (x) возрастает (убывает) |
− |
достаточное |
условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в промежутке.
Рассмотрим |
функцию |
y f (x) , непрерывную |
в |
точке x0 . Точка x0 |
|||||||
называется точкой |
максимума функции |
y f (x) , |
если |
существует |
такая |
||||||
окрестность точки |
x0 , |
что для все x x0 из |
этой окрестности f ( x) f ( x0 ) . |
||||||||
Значение функции |
в |
точке |
максимума |
называется |
|
максимумом |
функции: |
||||
ymax f ( xmax ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка x0 |
называется точкой минимума функции |
y f (x) , |
если |
||||||||
существует такая |
окрестность точки x0 , |
что для |
всех |
x x0 |
из |
этой |
|||||
окрестности f ( x) f ( x0 ) . Значение функции |
в точке |
минимума называется |
|||||||||
минимумом функции: ymin f ( xmin ) |
|
|
|
|
|
|
|
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции. Значения функции в точках экстремума называются экстремумами функции.
Если функция y f (x) имеет в точке x0 экстремум, то f ( x0 ) 0 или f ( x0 ) не существует – необходимое условие экстремума. Отсюда следует, что
точки экстремума функции следует искать только среди тех точек, в которых производная функции равна нулю или не существует, такие точки называются
критическими или стационарными точками функции.
Если функция y f (x) непрерывна в некоторой окрестности критической точки x0 и дифференцируема в этой окрестности (за исключением может быть, самой точки x0 ) и если при переходе x0 (слева направо):
1)f (x) меняет знак с «+» на «−», то x0 – точка максимума функции,
2)f (x) меняет знак с «−» на «+», то x0 – точка минимума функции,
3)f (x) не меняет знак, то в точке x0 функция не имеет экстремума.
Если в критической точке x0 функция y f (x) дважды дифференцируема, то определить характер экстремума (если в точке x0 функции имеет экстремум) можно по знаку второй производной, а именно:
1)если f ( x0 ) 0 , то x0 − точка максимума функции,
2)если f ( x0 ) 0 , то x0 − точка минимума функции.
57
|
|
|
|
|
Примеры с решениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример |
1. |
Найти |
интервалы |
возрастания |
и |
убывания |
функции |
||||||||||||
f (x) x3 3x2 9x 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
D f ; . |
|
|
|||||||||
Решение. |
Область |
|
определения |
функции |
|
Находим |
|||||||||||||
производную |
|
|
2 |
6x 9. |
Для |
нахождения |
интервалов |
|
возрастания |
||||||||||
f (x) 3x |
|
|
|||||||||||||||||
функции |
решаем |
неравенство |
|
0 , |
3x |
2 |
6x 9 0 , |
x |
2 |
2x 3 0 , |
|||||||||
f (x) |
|
|
|||||||||||||||||
получаем |
x ; 1 3; , на этих интервалах функция возрастает. |
Для |
|||||||||||||||||
нахождения |
интервалов |
убывания |
решаем |
|
неравенство |
|
|
|
|
0 , |
|||||||||
|
|
|
|
f (x) |
|||||||||||||||
3x 2 6x 9 0 , x 2 |
2x 3 0 , получаем x 1;3 , на этом интервале функция |
||||||||||||||||||
убывает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно поступить и так: находим точки, в которых |
|
|
3x |
2 |
6x 9 0 , |
||||||||||||||
f (x) 0 , |
|
|
|||||||||||||||||
x 2 2x 3 0 , |
x |
1, x |
2 |
3. |
Эти |
точки отметим |
на |
числовой |
|
прямой и |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определим знаки производной на образовавшихся интервалах:
Интервалы, на которых производная функции имеет знак «+», являются интервалами возрастания функции, а те, на которых «−» − интервалами убывания.
Ответ: |
функция возрастает на интервале ; 1 и |
3; ; |
функция |
|||||
убывает на интервале 1;3 |
|
|
|
|
||||
Пример 2. Найти интервалы монотонности функции f (x) x ln x |
|
|||||||
Решение. |
Область |
определения функции |
|
D f 0; . |
Находим |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
производную |
f (x) ln x x x ln x 1, решаем уравнение f |
( x) 0 , |
|
|||||
|
|
|
ln x 1 0,ln x 1, x |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
e |
|
|
Изображаем область определения функции и наносим на нее точку x 1e ,
после чего определяем знак производной на каждом из образовавшихся интервалов:
|
|
|
1 |
|
Теперь видим, что на интервале 0; |
|
функция убывает, а на интервале |
||
|
||||
|
|
|
e |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; возрастает. |
|
|
|
|
|
||
e |
|
|
|
58
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: функция возрастает на интервале |
|
|
, |
убывает на интервале |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Пример 3. Найти экстремумы функции y x 5 3 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
Область |
определения |
функции |
|
D y ; . |
Находим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 x 5 |
|
|
|
3x 2x 10 |
|
5 x 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
3 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 3 x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
производную |
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
33 |
x |
|
|
|
|
33 x |
33 x . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Находим критические точки: y не существует при x 0 , |
|
y 0 при |
x 2 . |
Изображаем область определения функции (это вся числовая прямая) и наносим на нее критические точки, после чего определяем знак производной на каждом из образовавшихся интервалов:
По знаку производной на каждом интервале определяем характер монотонности функции и видим точки экстремума. Остается вычислить сами
экстремумы функции: ymax y 0 0, ymin y 2 334 .
Ответ: ymax y 0 0, ymin y 2 334
Пример 4. Найти экстремумы функции y 13 x3 2x2 21x 4 .
Решение.
D y ;
y x2 4x 21 D y ;
Критические точки: y 0 : x1 7, x2 3 y 2x 4
y 7 14 4 10 0 x1 7 xmax ,
ymax y 7 13 7 3 2 7 2 21 7 4 134 23 y 3 6 4 10 0 x2 3 xmin ,
ymin y 3 13 33 2 32 21 3 4 32
Ответ: ymax y 7 134 23 , ymin y 3 32 .
Примеры для самостоятельного решения
Найти интервалы возрастания и убывания функций:
59
11.1. y 3x4 |
4x3 12x2 1 |
11.9. y x e x |
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
11.10 y x e x2 |
||||||||
11.2. y 3 x |
|
|
2 x |
|
6x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
||||||||||||||||
11.3. y 1 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.11. y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11.4. y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.12. y |
|
||||||||||
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||||
11.5. y ln x 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
11.13. y x sin x |
|||||||||||||||||||
11.6. y x ln x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
11.7. y x arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
11.14. y 2 x 2 |
|||||||||||||||||||
11.8 y x arctg2x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Найти экстремумы функций: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11.15. y |
1 |
x |
3 |
|
|
1 |
|
x |
2 |
2x |
11.19. y sin 2 x,0 x 2π |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11.20. y x cos 2x,0 x π |
|||||||||||||||
3 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11.16. y |
1 |
x3 |
|
1 |
x2 |
6x |
11.21. y |
x3 |
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11.17. y x2 |
e x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11.18. y x e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы
11.1.убывает при x ;0 , возрастает при x 0; ;
11.2.возрастает при x ;2 и x 3; убывает при x 2;3 ;
11.3.убывает при x ; ;
11.4. возрастает при x ; 2 и |
x 2; , убывает при |
x 2;0 и |
x 0;2 ; |
|
|
11.5.возрастает при x 1; ;
11.6.убывает при x 0;1 , возрастает при x 1; ;
11.7.убывает при x ;0 , возрастает при x 0; ;
11.8.возрастает при x ; 1 и при x 1; , убывает при x 1;1 ;
11.9. возрастает при x ;1 , убывает при x 1; ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
11.10. |
|
убывает при |
x |
; |
|
|
|
|
и |
при |
x |
|
|
; |
, |
возрастает при |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x ;0 |
|
|
|
|
|
|
x 4; , |
|
|
|
|
|
при x 0;2 и |
||||||||
11.11. возрастает при |
|
и |
|
при |
|
убывает |
||||||||||||||||||||
x 2;4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|