ГЛАВА-1-06.13

			1
14.9. y x 2
	e		x ;			14.11. y x arctgx ;
	1
14.10. y x e x2 ;						14.12. y arctgx .

Ответы

14.1.x 3; y 3 x ;

14.2.x 1; y 5x 7 ;

14.3.x 2; x 2; y x ;

14.4.x 3; y x 5;

14.5.x 1; x 1; y 1;

14.6.x 3; y 1;

14.7.x 1 при x 1 0; y 0 при x ;

14.8.x 0 при x 0 ;

14.9.x 0 при x 0 ;

14.10.x 0; y x ;

14.11.y π2 x 1 при x ; y π2 x 1 при x ;

14.12.y π2 при x ; y π2 при x .

§15. Исследование функции и построение еѐ графика

Если требуется построить график функции y f (x) , то необходимо предварительно провести исследование еѐ свойств. Это можно сделать по следующему плану:

1.Область определения функции D f .

2.Точки разрыва, поведение функции в окрестности точек разрыва.

3.Вертикальные асимптоты.

4.Точки пересечения графика функции с координатными осями.

5.Интервалы знакопостоянства функции.

6.Чѐтность, нечѐтность функции.

7.Периодичность функции.

8.Наклонные асимптоты графика функции.

9.Интервалы монотонности.

10.Экстремумы.

11.Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

12.Для более точного построения графика, можно найти значения функции в дополнительных точках.

71

Заметим, что приведѐнная схема исследования функций не является обязательной, этот порядок исследования может быть изменѐн в каждом конкретном случае.

Пример. Исследовать функцию y

x3

и построить еѐ график.

3 x

2 2

Решение.

1.

Область определения функции D y ; 2 2; .

2.

x0 2 – точка разрыва

lim

y x

lim

x3

8

2

x 2 0

x 2 0 3 x 2

0

lim

y x

lim

x3

8

2

x 2 0

x 2 0 3 x 2

0

3.

Прямая x 2 является вертикальной асимптотой графика функции.

4.

Точки пересечения графика функции с координатными осями:

y 0

y 0

x 0

x3

Ox :

;

;

y

x

3 0

y 0.

3 x

2

2

x 0

x 0

x3

Oy :

;

y

y

0.

3 x

2

2

Отсюда видно, что график рассматриваемой функции пересекает обе координатные оси в начале координат, т.е. в точке O 0;0 .

5.	Интервалы знакопостоянства функции:
а)	y x 0,	x3			0, x3	0, x 0, x 0; ;
		3 x 2 2
б)	y x 0,	x3			0, x3	0, x 0, x ;0 .
		3 x	2 2
6.	Чѐтность, нечѐтность функции: рассматриваемая функция не является ни

чѐтной, ни нечѐтной, поскольку еѐ область определения не симметричная

относительно нуля.			К этому		же выводу можно прийти, рассмотрев
	x 3		x3		x3
y x						y x .
	3 x 2 2		3 2 x 2		3 2 x 2

7.Рассматриваемая функция не является периодической.

8.Наклонная асимптота графика имеет уравнение y kx b,

72

где

k

lim

f x

lim

x3

lim

1

1

;

x

2

x

2

3

x

x 3 x 2

x 3 1 2

x

x

x

x

f x kx

x3

1

x3

x

x2 4x 4

b

lim

lim

x

lim

2

2

x

x

3

x

3 x

2

3 x 2

x

x

x

4

4x2 4x

4

4

lim

lim

x

.

2

2

3

x

3 x 2

x

2

x

x 3 1

x

Следовательно,

y

1

x

4

– наклонная

асимптота при

x и

при

3

3

x .

9. Интервалы монотонности найдѐм, исследуя производную функции:

3

2

x

3

2 x 2

x 2 3x

3

6x

2

2x

3

y

x

1

3x x 2

1

2

4

4

3

3

3 x 2

x 2

x 2

1

x3 6x2

x2 x 6

3

x 2 3

3 x 2 3

Критические точки:

а)

y не существует при x 2 D y ;

б)

y 0 при x1

0, x2

6.

Отсюда видно, что функция возрастает при x ; 6 и при											x 2; ,
убывает при x 6; 2 .
10. Экстремумы:
Из п. 9 видим, что точкой максимума является xmax 6, вычислим
y		y x		y 6			6 3		9	.
	max		max				6 2 2
					3			2

11. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба найдѐм, исследуя производную второго порядка:

x3

6x 2

1

3x 2

12x x 2 3

3 x 2 2 x

3 6x 2

y

3

6

3

x

3 x 2

2

1

x 2 2 3x3 18x 2 24x 3x3 18x 2

24x

3

x 2 6

3 x 2 4

73

Критические точки II рода:

а) y не существует при x 2 D y ; б) y 0 при x 0

Отсюда видно, что функция имеет выпуклый график на интервале ; 2 и2;0 и вогнутый на интервале 0; .

Кроме	того,	график имеет точку перегиба, ее вторая координата
y 0	03	0 , таким образом O 0;0 – точка перегиба.
	3 0 2 2

Результаты проведенных исследований можно свести в таблицу:

x	; 6	6			6; 2	2	2;0	0	0;
y	+	0			–	не сущ.	+	0	+
y	–	–			–	не сущ.	–	0	+
y x			9			x 2 –		0
			2			вертикал.
						асим-та
	возрастает,						возрастает,		возрастает,
	график				убывает,		график		график
	выпуклый				график		выпуклый		вогнутый
					выпуклый

74

Примеры для самостоятельного решения

Исследовать функции и построить их графики:

15.1. y 3x 1 x2

;

15.9. y e

x 2

15.2. y x2 x 3 ;

2 ;

15.3.

y

x

2

;

15.10. y x e x ;

ln x

x 2

15.11. y

;

y

x

2

x

15.4.

;

15.12. y x 2 ln x ;

x2 1

15.13. y x 5 3 x2 ;

15.5. y

x 2

;

15.14. y 3

x2

x3 x2 ;

15.6. y

x3

;

15.15. y

x

2

ln x .

x 1 2

2

15.7.y x e x2 ;

15.8.y x2 e x ;

																	Ответы
15.1. D y ; , асимптот нет;
							3						3
	;																интервалы убывания;
							3				,		3			;
		3					3
					;							интервал возрастания;
		3					3

			3					2 3				3					2 3
																				;
	ymin y		3					3			, ymax y	3					3
	;0 интервал вогнутости,

0; интервал выпуклости, O 0;0 точка перегиба.

15.2. D y ;2 2; , асимптот нет;

;0 , 2; интервалы возрастания;0;2 интервал убывания;

ymin y 2 4, ymax y 0 0 ;

;1 интервал выпуклости,1; интервал вогнутости, M 1; 2 точка перегиба.

15.3.D y ;2 2; ; x 2, y x 2 асимптоты;

;0 , 4; интервалы возрастания;0;2 , 2;4 интервал убывания;

ymin y 4 8, ymax y 0 0 ;

75

;2 интервал выпуклости,2; интервал вогнутости, точек перегиба нет

15.4.D y ; 1 1;1 2; ;

x1, x 1, y 1 асимптоты;

; 1 , 1;0 интервалы возрастания;0;1 , 1; интервал убывания;

ymax y 0 0;

1;1 интервал выпуклости,; 1 , 1; интервал вогнутости, точек перегиба нет

15.5.D y ;0 0; ; x 0, y 0 асимптоты;

;0 , 4; интервалы убывания,0;4 интервал возрастания;

y						y 4																			1			;
		max
																								8
;0 , 0;6 интервал выпуклости,
6; интервал вогнутости,
						1							точка перегиба.
M				6;
						9
15.6. D y ;1 1; ; x 1, y x 2 асимптоты;
;1 , 3; интервалы возрастания;
1;3 интервал убывания;
ymin y 3																							27							;
																								4
;0 интервал выпуклости,
0;1 1; интервал вогнутости,
O 0;0 точка перегиба.
15.7. D y ; ; y 0 асимптота;
													2											2
	;
													2					,						2									; интервалы убывания;
					2								2
									;												интервал возрастания;
				2									2
																						2																	2e				2					2e
																																									, ymax										;
ymin y																					2																	2e				y	2				2e
													6																					6
	;
													2					0;																2				интервал выпуклости;

76

		6					6
											интервал вогнутости;
				;0
		2				,	2			;

									e	3											e	3
		6					6							6					6
M					;					2		,O 0;0 , N					;					2			точки перегиба.
		2				2								2				2

15.8.D y ; ; y 0 асимптота при x ;;0 , 2; интервалы убывания;0;2 интервал возрастания;

y

y 0 0, y

y 2

4

;

min

max

e2

2

интервал выпуклости;

2;2

2

;2

, 2

2; интервал вогнутости;

2

M 2

6 4

e

, N 2

2; 6 4

e

2 2

2 2

точки перегиба.

2;

2

2

15.9.D y ; ; y 0 асимптота;0; интервалы убывания;;0 интервал возрастания;

ymax

y 0 1 ;

1;1 интервал выпуклости;

; 1 , 1; интервал вогнутости;

1

1

M

1;e

2

1;e

2

точки перегиба.

, N

15.10. D y ; ; y 0 асимптота при x

1; интервалы убывания;

;1 интервал возрастания;

;2 интервал выпуклости;

2; интервал вогнутости;

2

M 2;

точка перегиба.

e2

15.11.

D y 0; ; x 0, y 0 асимптота;

e2 ; интервалы убывания;

0;e2

интервал возрастания;

y

y e2

2

;

max

e

8

0;e 3

интервал выпуклости;

77

	8
e 3		;						интервал вогнутости;
			8		8				4
M		e	3	;			e		3		точка перегиба.
					3
15.12. D y				0; ; x 0 асимптота;
0;2 интервалы убывания;
2; интервал возрастания;

ymin y 2 2 ln 4 ;

0; интервал вогнутости; точек перегиба нет.

15.13. D y ; ;асимптот нет;0;2 интервалы убывания;

;0 , 2; интервал возрастания;

y 0 0, y

y 2 3 3

;

y

max

min

4

; 1

интервал выпуклости;

1; интервал вогнутости;

M 1; 6 точка перегиба.

15.14. D y ; , y x

1

асимптота;

3

2

0;

интервалы убывания;

3

2

;0 ,

; интервал возрастания;

3

2

3

0 0, ymin

4

ymax

y

y

;

3

3

1; интервал выпуклости;

;1 интервал вогнутости;

M 1;0 точка перегиба.

15.15. D y 0; , x 0 асимптота;

0;1 интервалы убывания;

1; интервал возрастания;

ymin y 1

1

;

2

0; интервал вогнутости; точек перегиба нет.

78