Экспериментальные основы квантовой механики

11

Планк положил в основу вывода своей формулы, выглядит следующим образом:

Осцилляторы могут находиться только в некоторых избранных состояниях, в которых их энергия является целым кратным наименьшего количества энергии ε0:

ε0 , 2ε0, …, nε0, …;

при излучении или поглощении осцилляторы переходят из одного состояния в другое скачкообразно, минуя промежуточные состояния.

На основании этой гипотезы Планк вывел формулу для объемной спект-

ральной плотности излучения в следующем виде:

ρ

=

c

u

= 8πhv3

1

(1-12а)

ehν / kT −1

ν,T

4 ν,T

c3

или

ρ

λ,T

=

c

u

λ,T

=

8πhc

1

,

(1-12б)

λ5

ehc / λkT −1

4

где h — постоянная Планка,

k — постоянная Больцмана.

Вид функции (1-12б)

для разных температур представлен на рис. 3. Видно, что

с ростом Т максимум функции смещается в сторону малых длин волн.

Рис. 3. Графическая интерпретация закон излучения Планка.

12

Закон излучения Планка находится в согласии с экспериментальными данными. Для случая, когда hν = ħω >> kT , т.е. для высоких частот или низких

температур уравнение Планка (1-12а) совпадает с формулой Вина (1-9). С помощью формулы (1-12а) можно рассчитать интегральную плотность излучения u (уравнение (1-6)). При этом величина u оказывается конечной величиной. Таким образом, формула Планка устранила так называемую «ультрафиолетовую катастрофу». Из уравнения Планка следует, что средняя энергия ε , приходящаяся на одну степень свободы, не одинакова для стоячих волн с различными частотами. Справедливость формулы:

	ε	=	hν		=	=ω		(1-13)
			ehν / kT −1			e=ω / kT −1

для средней энергии, приходящейся на одну степень свободы, позднее использовал А. Эйнштейн, чтобы устранить серьезные затруднения в классической теории теплоемкости.

Закон излучения М. Планка нашел широкое практическое применение. С его помощью оказалось возможным вычислить значения h и k. На его основе, используя пирометры, можно определять температуру нагретых тел (например, поверхности звёзд). При температурах > 2000 К единственное надёжное определение температуры основано на законах излучения чёрного тела и законе излучения Кирхгофа. Закон излучения Планка используют при расчётах различных источников света.

М. Планк впервые ввел новую физическую константу h – элементарный квант действия. Эта константа имеет размерность [энергия × время]1. Новую фундаментальную физическую константу Планк называл «таинственным послом из реального мира». На основании опытных данных он рассчитал значение этой константы, которое составило h = 6,548 ×10−34 Дж сек.

Фундаментальное значение открытий, сделанных немецким ученым, заключается в обосновании идеи о квантовой природе света. Вывод формул

1 Планка постоянная, квант действия, фундаментальная физическая постоянная, определяющая широкий круг физических явлений, для которых существенна дискретность действия. Эти явления изучаются в квантовой механике. На основании экспериментальных данных, полученных при изучении эффекта Джозефсона, было получено самое точное значение этой константы. Это значение составило h = (6,626196 ± 0,000050)×10−34 Дж сек. Чаще пользуются постоянной ħ = h/2π = (1,0545919 ± 0,0000080)×10−34 Дж сек, которую иногда называют постоянной Дирака.

13

(1-12а) и (1-12б) привел к открытию новой фундаментальной постоянной. На основании закона излучения Планка была разработана гипотеза о том, что энергия переносится квантами – дискретными порциями. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света и равна:

E = hν = ħω

(1-14)

Создание такой гипотезы оказалось поистине революционным шагом в развитии физики. Как писал французский физик и математик Ж.А. Пуанкаре1 в 1912 г., теория Планка, согласно которой «физические явления перестают повиноваться законам, выражаемым дифференциальными уравнениями, есть, без всякого сомнения, самая большая и самая глубокая революция, которую натуральная философия претерпела со времен Ньютона».

Несмотря на революционность своего открытия, М. Планк не мог отбросить хорошо проверенную на опыте волновую теорию. Немецкий ученый был воспитан в духе старой доброй классической физики и оставался ревностным ее хранителем. Еще не раз с помощью различных моделей он пробовал объяснить распространение излучения на основе волновых представлений. В конце концов, под напором экспериментальных фактов М. Планк отказался от дальнейших попыток. Вместе с тем в одной из работ 1911 г. он получил парадоксальный результат, который оказался чрезвычайно важным в современной физике: при абсолютном нуле средняя энергия осциллятора не

обращается в нуль, а равна =2ω . Эту величину в дальнейшем назвали нулевой

энергией осциллятора.

Установление закона излучения Планка ознаменовало глубокий разрыв с классической физикой. Таким образом, 1900 г., когда впервые была сформулирована гипотеза о квантах энергии, явился началом новой эры в развитии теоретической физики. От закона излучения Планка можно проследить две взаимосвязанные линии эволюции, которые к 1927 г. завершились окончательной формулировкой квантовой механики в двух ее формах.

1 ПУАНКАРЕ Жюль Анри (1854-1912), французский математик, физик и философ, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1895 г.). Труды по дифференциальным уравнениям, теории аналитических функций, топологии, небесной механике, математической физике. В труде «О динамике электрона» (1905 г., опубликован в 1906 г.) независимо от А. Эйнштейна развил математические следствия «постулата относительности». В философии основатель конвенционализма.

14

2. Явление фотоэффекта

Фотоэффектом называется процесс испускания электронов веществом под действием электромагнитного излучения (фотонов).

Это явление было открыто в 1887 г. немецким физиком Генрихом Герцем1. Он экспериментировал с разрядником для излучения электромагнитных волн – парой металлических шаров. Если к этим шарам приложить разность потенциалов – между ними проскакивает искра. Генрих Герц обнаружил, что электрический разряд усиливается, если один из шаров освещать ультрафиолетовыми (УФ) лучами. На основании проведенных экспериментов был установлен внешний фотоэффект.

В 1888 г. еще один немецкий ученый Вильгельм Гальвакс2 наблюдал, что облученная ультрафиолетовым светом металлическая пластинка заряжается положительно. Так произошло второе открытие фотоэффекта. Третьим ученым, изучавшим это явление независимо от опытов Герца и Гальвакса, был итальянец Аугусто Риги. Ему удалось обнаружить фотоэффект в металлах и диэлектриках. А. Риги сконструировал фотоэлемент – прибор, преобразующий световое излучение в электрический ток.

Четвертым ученым, независимо от других открывших фотоэффект в том же 1888 г., был российский физик А.Г. Столетов3. Используя фотоэлемент собственной конструкции, Столетов два года всесторонне исследовал новое явление и вывел его основные закономерности. Он установил, что в возникновении фототока (электрического тока, возникающего под действием УФ – излучения) в цепи, содержащей металлические электроды и источник

1 ГЕРЦ Генрих Рудольф (1857 — 1894), немецкий физик, один из основателей электродинамики. Основные работы по электродинамике. Исходя из уравнений Максвелла, в 1886 – 1889 гг. экспериментально доказал существование электромагнитных волн и исследовал их свойства. Подтвердил выводы максвелловской теории о том, что скорость распространения электромагнитных волн в воздухе равна скорости света, установил тождественность основных свойств электромагнитных и световых волн. Работы Герца по электродинамике сыграли огромную роль в развитии науки и техники.

2 ГАЛЬВАКС Вильгельм (1859 - 1922), немецкий физик. Исследования в области фотоэлектрического эффекта. Впервые показал, что металлы под действием ультрафиолетового излучения теряют отрицательный заряд.

3 СТОЛЕТОВ Александр Григорьевич (1839 - 1896), российский физик. Получил кривую намагничивания железа (1872 г.), систематически исследовал внешний фотоэффект (1888 – 1890 гг.), открыл первый закон фотоэффекта. Исследовал газовый разряд, критическое состояние и др. В 1874 г. основал физическую лабораторию в Московском университете.

15

напряжения, существенную роль играет освещение отрицательного электрода и что сила фототока пропорциональна интенсивности света. Кроме того, при фиксированной интенсивности облучения сила фототока сначала растет по мере повышения разности потенциалов, но, достигнув определенного значения (ток насыщения), уже не увеличивается. Фотоэффект не исчерпывается выбиванием электронов с поверхности твердых тел. При воздействии УФ – излучения на атомы или молекулы, находящиеся в газообразном состоянии, также происходит выбивание электронов. Кроме внешнего фотоэффекта существует и внутренний фотоэффект. При облучении световым потоком полупроводника или диэлектрика в нем появляются дополнительные свободные носители заряда: электроны и/или дырки, что сопровождается увеличением электропроводности этих материалов.

В 1899 г. немецкий ученый Ф. Ленард1 и англичанин Дж. Томсон2 доказали, что падающий на металлическую поверхность свет выбивает из нее электроны, движение которых и приводит к появлению фототока. Однако понять природу фотоэффекта с помощью классической электродинамики так и не удалось. Необъяснимым оставался тот факт, почему фототок возникает лишь тогда, когда частота падающего света превышает строго определенную для каждого металла величину. Первое теоретическое объяснение законов фотоэффекта в 1905 г. дал А. Эйнштейн.

Фотоэффект – квантовое явление, его открытие и исследование сыграли важную роль в экспериментальном обосновании квантовой теории. Свободный электрон не может поглотить фотон, т.к. при этом не могут быть одновременно соблюдены законы сохранения энергии и импульса. Возможность фотоэффекта для атома, молекулы или конденсированной среды обусловлена связью этого электрона с окружением. Эта связь характеризуется в атоме энергией

7ЛЕНАРД (Lenard) Филипп Эдуард Антон (1862 - 1947), немецкий физик. Исследовал природу и свойства катодных лучей. Нобелевская премия (1905). Во времена Третьего рейха был активным нацистом.

3ТОМСОН Джозеф Джон (1856 - 1940), английский физик, основатель научной школы, член (с 1884 г.) и президент (в 1915 – 1920 гг.) Лондонского Королевского общества. Директор Кавендишской лаборатории (1884-1919 гг.). Исследовал прохождение электрического тока через разреженные газы. Открыл (1897) электрон и определил (1898) его заряд. Предложил (1903) одну из первых моделей атома. Один из создателей электронной теории металлов. Очень плодотворной оказалась и идея использования скрещенных полей для измерения отношений зарядов частиц к их массам. Предсказал существование изотопов и экспериментально обнаружил некоторые из них. Дж. Дж. Томсон был одним из ярчайших физиков-классиков. Нобелевская премия (1906).

16

ионизации, в конденсированной среде – работой выхода χ. Закон сохранения энергии при фотоэффекте выражается соотношением Эйнштейна:

Eк = =ω − χ ,

(2-1)

где E – кинетическая энергия фотоэлектрона, ħω – энергия фотона,

ħ– постоянная Дирака,

χ– энергия ионизации атома или работа выхода электрона из конденсированного тела.

При ħω < χ, фотоэффект невозможен.

В дальнейшем теория этого явления была развита в наиболее последовательном виде И. Е. Таммом1 и С. П. Шубиным2 (1931).

Фотоэффект может наблюдаться в газах на отдельных атомах и молекулах (фотоионизация). Первичным актом здесь является поглощение фотона атомом и ионизация с испусканием электрона. С высокой степенью точности можно считать, что вся энергия фотона за вычетом энергии ионизации передаётся испускаемому электрону. В конденсированных средах механизм поглощения

фотонов зависит от их энергии. Если энергия падающего фотона ħω равна или

не очень сильно (в десятки и сотни раз) превышает работу выхода электрона, то излучение поглощается электронами проводимости (в металлах) или валентными электронами (в полупроводниках и диэлектриках), принадлежащими всему твердотельному объекту. В результате может наблюдаться фотоэлектронная эмиссия (внешний фотоэффект) с граничной

1ТАММ Игорь Евгеньевич (1895 – 1971), советский физик, академик АН СССР. С 1934 г. работал в Физическом институте АН СССР. Основные и труды по квантовой механике и ее применениям, теории излучения, теории космических лучей и взаимодействия ядерных частиц. Построил квантовую теорию рассеяния света в твёрдых телах (1930 г.) и теорию рассеяния света электронами (1930 г.). В 1937 г. совместно с И. М. Франком создал теорию излучения быстро движущегося в среде электрона (излучение Черенкова – Вавилова). Создал школу физиков-теоретиков к которой принадлежат многие известные советские учёные. Нобелевская премия (1958).

2ШУБИН Семён Петрович (1908 – 1938), советский физик-теоретик, доктор физикоматематических наук (1935). Основные труды по классической теории колебаний, квантовой теории твёрдого тела, квантовой теории. Совместно с И. Е. Таммом в 1931 г. построил квантовую теорию фотоэффекта металлов. Предложил зонную теорию жидких металлов (1933). Автор полярной и s-d-обменной моделей кристаллов.

17

энергией фотонов, равной работе выхода, или фотоэффект внутренний (фотопроводимость и другие фотоэлектрические явления) с граничной энергией фотонов, равной ширине запрещенной зоны полупроводника.

Если энергия падающего фотона ħω во много раз превышает энергию

межатомных связей в конденсированной среде (гамма-излучение), фотоэлектроны могут вырываться из «глубоких» оболочек атома. Влияние среды на первичный акт фотоэффекта в этом случае пренебрежимо мало по сравнению с энергией связи электрона в атоме и фотоэффект происходит так же, как на изолированных атомах.

3. Элементарная квантовая теория света А. Эйнштейна

Законы фотоэффекта из металлов являются одним из наиболее четких проявлений корпускулярных свойств света. Энергия освобождаемых фотоэлектронов не зависит от интенсивности освещения, а определяется только длиной волны падающего фотона. Один и тот же спектральный интервал, выделенный из спектра Солнца и слабой лампочки накаливания, создает фотоэлектроны с одинаковой энергией. А. Эйнштейн впервые доказал, что свет состоит из своеобразных частиц – фотонов, энергия которых равна:

E = hν = =ω

(3-1)

Таким образом, квант энергии ħω, открытый Планком в процессах

испускания и поглощения света, оказывается имманентным (внутренне присущим) свойством самого излучения. Другими словами, природа света носит двойственный характер – одновременно волновой и корпускулярный. Процесс поглощения света при фотоэффекте состоит в исчезновении целого фотона и освобождении за его счет электрона. Причем энергию (кинетическую) электрона можно выразить уравнением А. Эйнштейна, переписав соотношение

(2-1):

=ω = mv2	+ χ	(3-2)
2

Для полноты корпускулярной картины света должны существовать явления, в которых фотон обнаруживает импульс (момент количества движения). Представление о квантах света получило законченную форму,

после того, как А. Эйнштейн показал необходимость помимо энергии E = ħω приписать фотону еще и импульс p = E/c, направление которого совпадает с

								18
направлением распространения						света. Согласно			теории относительности
Эйнштейна этот импульс должен быть равен:
		p = E =	=ω		= 2π=				(3-3)
		c		c	λ
Если ввести волновой вектор k , компоненты которого равны:
k	x	= 2π cosα; k	y	=	2π cos β;	k	z	= 2π cosγ;	(3-4)
		λ			λ			λ

где λ - длина волны,

cos α, cos β и cos γ - направляющие косинусы нормали к световой волне,

то формула для импульса кванта света может быть записана в векторной форме

p = =k

(3-5)

Формулы (3-1) и (3-5) являются основными уравнениями квантовой теории света и связывают энергию E и импульс p фотона не только видимого света, но и γ - излучения с частотой ω и длиной волны λ плоской монохроматической волны, направление распространения которой задается вектором k.

В 1907 г. А. Эйнштейн, работая над теорией теплоемкости твердых тел, сделал еще одно уточнение квантовой гипотезы. Почему тело (атом, молекула, кристалл) излучает свет только порциями? А потому, отвечал ученый, что атомы имеют лишь дискретный набор возможных значений энергии. Таким образом, теория излучения и поглощения света приняла законченный вид.

Глубокий смысл квантовой теории света заключается, главным образом, не в том, что свет иногда представляют в виде газа, состоящего из частиц с энергией E = hν = =ω и импульсом p = =k (такое представление полезно ввиду наглядности, однако является достаточно односторонним). Фундаментальное значение квантовой теории света обусловлено тем, что согласно этой теории обмен энергией и импульсом между микросистемами (электрон, атом, молекула и т. п.) и электромагнитным излучением происходит путем порождения одних и уничтожения других квантов света.

Эта мысль получает свое точное выражение в применении закона сохранения энергии и импульса к какой-либо системе, взаимодействующей с любым видом электромагнитного излучения. Закон сохранения энергии и

импульса можно выразить с помощью уравнений:
=ω + E = =ω′+ E′		(3-6)
=k + P = =k′+ P′	,	(3-7)

19

где E и P – энергия и импульс системы до взаимодействия с квантом света; E´ и P´ - энергия и импульс системы после взаимодействия;

=ω и =k - энергия и импульс фотона до взаимодействия с системой; =ω′ и =k′ - энергия и импульс фотона после взаимодействия.

С помощью уравнений (3-6) и (3-7) можно описать все три основных процесса: поглощение, испускание и рассеяние света.

Если ω´ = 0 (тогда и k´ = 0), то уравнения (3-6) и (3-7) относятся к поглощению кванта света ħω, если ω = 0 (k = 0), то эти же уравнения определяют излучение кванта =ω′.

Если же ω и ω´ отличны от нуля, то эти уравнения относятся к рассеянию света, когда квант ( =ω и =k ) превращается в квант иной энергии =ω′ и иного импульса =k′.

Закон сохранения энергии и импульса в форме (3-6) и (3-7) противоречит как волновому, так и корпускулярному представлению о свете и вообще не может быть истолкован в рамках понятий классической физики.

Таким образом, А. Эйнштейн доказал недостаточность классических понятий для выражения явлений, происходящих на субатомном уровне. Свет имеет двойственную природу и обладает, как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Для окончательной победы представлений о двойственной природе света большое значение оказали результаты опытов Р. Милликена (1916 г.), строго доказавшего, что энергия испускаемых при фотоэффекте электронов определяется частотой световой волны, но не его интенсивностью. В настоящее время уравнение Эйнштейна (3-2) является одним из основных уравнений, лежащих в основе теории электронных

приборов.
Импульс фотона проявляется как в	явлении давления света,

экспериментально открытом П.Н. Лебедевым, так и при рассеянии рентгеновских лучей. В этом случае наряду с рассеянием, при котором сохраняется длина волны падающих лучей и которое обусловливает интерференцию рентгеновских лучей в кристаллах, существует еще некогерентное рассеяние – эффект Комптона1.

1 КОМПТОН (Compton) Артур Холли (1892-1962), американский физик. Открыл и объяснил эффект, названный его именем. Обнаружил полное внутреннее отражение рентгеновских лучей. Открыл широтный эффект в космических лучах. Участник создания атомной бомбы. Нобелевская премия

(1927).

20

4. Эффект Комптона

В эффекте Комптона впервые во всей полноте проявились корпускулярные свойства излучения. В 1922 г. американский физик Артур Комптон, изучая рассеяние излучения с малыми длинами волн — рентгеновского и гаммаизлучения, экспериментально доказал справедливость совокупности уравнений (3-6) и (3-7), что еще раз подтвердило верность гипотезы о существовании квантов света.

Эффект Комптона - упругое рассеяние электромагнитного излучения на свободных электронах, сопровождающееся увеличением длины волны.

В качестве материалов, рассеивающих рентгеновские лучи, А. Комптон использовал вещества, в которых электроны относительно слабо связаны с атомом (парафин, графит). Поскольку энергия кванта рентгеновских лучей велика, то при расчете можно пренебречь энергией связи электрона с атомным остовом (по крайней мере, для электронов внешних энергетических уровней) и рассматривать такие электроны как свободные, покоящиеся частицы.

А. Комптон обнаружил, что рассеянные в парафине рентгеновские лучи имеют большую длину волны, чем падающие. Классическая теория не могла объяснить такого сдвига длины волны. Объяснить результаты такого эксперимента можно лишь с позиций квантовой теории света. Эффект Комптона в квантовой теории выглядит как упругое столкновение двух частиц

— налетающего фотона, обладающего импульсом pγ, и покоящегося электрона, импульс которого можно принять равным нулю. В каждом таком акте столкновения соблюдаются законы сохранения энергии и импульса. Фотон, столкнувшись с электроном, передает ему часть своей энергии и импульса и изменяет направление движения (рассеивается). После столкновения с электроном импульс фотона равен pγ´. Уменьшение энергии фотона и означает увеличение длины волны рассеянного света. Электрон, ранее покоившийся, получая от фотона энергию и импульс pe, приходит в движение — испытывает отдачу. Направление движения частиц после столкновения, а также их энергии определяются законами сохранения энергии и импульса. При этом:

pγ = pγ´ + pe

(4-1)

После столкновения фотон разлетается под углом θ, а электрон – под углом φ по отношению к направлению движения падающего фотона.

Схема, иллюстрирующая упругое столкновение фотона и электрона в эффекте Комптона, представлена на рис. 4.