Экспериментальные основы квантовой механики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И КВАНТОВАЯ ХИМИЯ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Пособие для студентов Специальность: Химия (011000)

Воронеж - 2005

2

Утверждено научно методическим советом химического факультета (20 июня 2005 г., протокол № 10)

Составители: – Кондрашин В.Ю., Пшестанчик В.Р., Самойлов А.М., Соцкая Н.В.

Науч. рецензент проф. А.М. Ховив

Пособие подготовлено на кафедрах физической химии и неорганической химии химического факультета Воронежского государственного университета

Рекомендуется для студентов второго курса д/о и четвертого курса в/о.

3

ВВЕДЕНИЕ

В XX столетии физика, а вместе с ней и все понимание об окружающем мире, претерпели глубочайшие изменения.

К концу XIX века система физической науки, в основе которой лежали механика Ньютона и электродинамика Максвелла – Герца, казалась полностью завершенной. Однако уже в первые годы XX столетия лорд Кельвин, один из величайших физиков своего времени, в лекциях, прочитанных в Балтиморском университете, отметил, что на безупречно ясном небосводе физики все же можно наблюдать два небольших облачка. Первое из этих облаков представляло собой отрицательный результат опыта Майкельсона, проведение которого планировали с целью разрешить все имеющиеся противоречия в проблеме увлекаемого и неувлекаемого эфира. Следовательно, оно омрачало картину блестящих успехов классической электродинамики Максвелла – Герца. Второе облако символизировало трудности в создании теории излучения абсолютно черного тела и свидетельствовало об ограниченности статистической механики, основанной на классической механике Ньютона.

Таким образом, в начале XX столетия были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости обычной классической теории электромагнитного поля к процессам взаимодействия света с веществом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установлением на опыте двойственной природы света (дуализм света); вторая — с невозможностью объяснить на основе классических представлений устойчивое существование атома, а также спектральные закономерности, открытые при изучении испускания света атомами.

Из этих, как казалось на первый взгляд, несущественных проблем выросла вся современная физика. Вопреки первоначальным опасениям, современная физика не опровергла классические теории. Она показала, что классическая физика вовсе не обязательно применима ко всем явлениям. Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели, в конечном счете, к открытию законов квантовой механики. Одним из решающих этапов при разработке квантовой теории явилась гипотеза М. Планка, которая позволила впервые ввести новую физическую константу h – элементарный квант действия. Постоянная Планка имеет первостепенное значение в механике микрочастиц. Открытие постоянной Планка было первым серьезным предупреждением о несостоятельности механического переноса закономерностей из области макромира в область микрочастиц и их систем. Последующие экспериментальные исследования

4

показали, что явления, в которых постоянная Планка играет существенную роль, следует считать квантовыми.

Как оказалось, квантовое явление не может быть истолковано в рамках классической физики. В 20-х годах прошлого столетия были открыты новые экспериментальные факты, которые окончательно заставили ученых отказаться от попыток применить законы классической физики для объяснения квантовых явлений. Было показано, что электроны обнаруживают волновые свойства, испытывая дифракцию при прохождении через кристалл. Позднее было доказано, что явление дифракции свойственно не только электронам, но и вообще всем микрочастицам.

Движение микрочастиц оказалось во многих отношениях более родственно движению волн, нежели перемещению материальной точки по определенной траектории. Как показали эксперименты, явление дифракции несовместимо с предположением о движении частиц по траекториям.

Непреходящее значение тех экспериментов, которые были выполнены в начале XX столетия при изучении микрочастиц, состоит в том, что ученым удалось представить неопровержимые факты, свидетельствующие о волново - корпускулярной двойственности микрочастиц. Опытным путем было доказано, что объекты исследований, которые классическая физика рассматривала как

электромагнитные волны, обладают корпускулярными свойствами. И,

наоборот, для объектов, которые обладали всеми неоспоримыми признаками частиц, оказались присущи волновые свойства. Таким образом, была открыта принципиально новая и совершенно общая закономерность.

Глубокое осмысление этих экспериментальных данных привело ученых к созданию квантовой механики, сумевшей обнаружить в кажущемся хаосе микроявлений поразительные по своей общности и красоте закономерности.

5

1. Излучение абсолютно черного тела и гипотеза квантов М. Планка

1.1. Законы теплового излучения

Еще на заре цивилизации люди заметили, что любое нагретое тело служит источником тепла. Если тело разогреть до очень высокой температуры (накалить), оно начинает испускать видимый свет. На языке волновых представлений, тело при постепенном нагревании сначала испускает тепло – невидимые инфракрасные лучи, затем – световые волны: красного, оранжевого цвета и далее по спектру. Долгое время процессы испускания тепла и света люди использовали на практике, не умея объяснить суть происходящих явлений.

Первый крупный шаг в теоретическом исследовании свойств равновесного излучения был сделан немецким физиком Г.Р. Кирхгофом1. Было известно, что

Рис. 1. Схема, иллюстрирующая соотношение между падающим, отраженным

ииспускаемым излучением.

вравных условиях спектр излучения зависит от вещества тела. Г.Р. Кирхгофу удалось доказать, что в природе действуют общие законы излучения нагретых тел, которые не зависят от их природы, формы и размеров.

1 КИРХГОФ Густав Роберт (1824-1887), немецкий физик, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1862 г.). Установил правила для электрической цепи, названные его именем. Совместно с Р. В. Бунзеном заложил основы спектрального анализа (1859 г.), открыл цезий (1860 г.) и рубидий (1861 г.). Ввел понятие абсолютно черного тела и открыл закон излучения, названный его именем.

6

Опираясь на представления об объемной плотности излучения u и спектральной (объемной) плотности излучения ρν, которые для сплошного спектра в интервале частот от 0 до + ∞ связаны соотношением:

∞	∞
u = ∫duω = ∫ ρωdω		(1-1)
0	0

Г.Р. Кирхгоф показал, что при постоянной температуре ρν совершенно не зависит от природы и свойств тел. Немецкий физик подчеркивал, что особенность равновесного излучения вытекает непосредственно из второго начала термодинамики. В частности, свойства равновесного излучения он объяснял, исходя из невозможности создания вечного двигателя второго рода, поскольку нельзя получить энергию за счет перехода тепла от холодного тела к горячему.

Как показано на рис. 1, если на тело падает излучение, то часть его неизбежно отражается от поверхности раздела между телом и средой, а остальная часть проникает внутрь тела. Доля всей падающей энергии для

фиксированного интервала частот ω, ω + ∆ω , которая остается внутри тела и

превращается в тепло, называется поглощательной способностью Aω. Энергия, излучаемая единицей площади поверхности за 1 секунду, называется

испускательной способностью Eω.
Установленное Кирхгофом соотношение:
Iω =	Eω	=	c	ρω ,	(1-2)
	Aω		8π

где Iω - спектральная яркость,

c – скорость света в вакууме,

означает, что отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности, пропорциональное спектральной плотности равновесного излучения, для всех тел одно и то же.

Тело, которое обладает максимальным значением Aω, равным единице, Кирхгоф назвал абсолютно черным (рис. 2). Пользуясь уравнением (2) при

	Aω = 1, можно получить:
	Iω = Eω =	c	ρω .	(1-3)
		8π

Это означает, что испускательная способность абсолютно черного тела

7
является универсальной функцией частоты и температуры:
ρν dν = F(ν,T )dν	(1-4)

Рис. 2. Модель абсолютно черного тела.

Дальнейшая задача заключалась в раскрытии явного вида этой функции. После ряда важных работ российских физиков В.А. Михельсона и Б.Б. Голицина наиболее значительных шаг в этом направлении был сделан В. Вином1, который в своей работе, помимо термодинамического подхода, воспользовался электромагнитной теорией света. В. Вин показал, что спектральная плотность излучения черного тела должна иметь максимум и длина волны, соответствующая этому максимуму, обратно пропорциональна

абсолютной температуре тела:
ρν dν =ν	3		ν	(1-5)
		F	dν
		T

Несмотря на присутствие неявной функции F(ν/T) формула Вина ведет к некоторым совершенно определенным количественным соотношениям. Прежде всего, при помощи соотношения (1-5) можно рассчитать интегральную плотность излучения u:

∞	∞			ν
u = ∫ ρν dν	= ∫ν	3			(1-6)
			F	dν .
0	0		T
Вводя новую переменную ν/T = ξ и обозначая величину, получающуюся при
вычислении интеграла, через α, можно получить
u = αT4 ,					(1-7)

т. е. известный закон Стефана – Больцмана.

1 ВИН Вильгельм (1864-1928), немецкий физик. Труды по излучению абсолютно черного тела; в 1893 г. вывел законы излучения и смещения, которые были названы его именем. Нобелевская премия по физике в 1911 г.

8

Чаще всего результаты расчетов Вина представляют в виде так называемого закона смещения:

b = λmaxT ,

(1-8)

где b = 2,9 10−5 м К – постоянная Вина;

λmax – длина волны, на которую приходится в спектре максимум излучения.

Используя закон смещения, по измеренной кривой распределения энергии по частотам стало возможным определять температуру тела. Таким способом, например, была установлена температура Солнца.

1.2. «Ультрафиолетовая катастрофа»

В 1896 г. В. Вин предложил эмпирическую формулу для определения интегральной плотности излучения

	ω 3			−c ω / 2πT
uω (T ) = c1			e	2	,	(1-9)
	2π

где c1 и c2 – коэффициенты, определяемые опытным путем.

Целый ряд известных физиков своего времени, анализируя формулу (1-9), продемонстрировали, что кривая спектральной плотности всегда имеет максимум, который смещается при повышении температуры, как и предсказывал закон смещения Вина (уравнение (1-8)). Вместе с тем, из экспериментов следовало, что формула (1-9) справедлива только в области коротких длин волн (при низких температурах).

На рубеже XIX – XX веков лорд Рэлей1 на основе статистического закона о равномерном распределении энергии по степеням свободы вывел другое соотношение, которое было призвано определить спектральную зависимость плотности излучения для абсолютно черного тела:

ρω (T )dω =	2ω2	kTdω	,	(1-10)
	πc3

где k – постоянная Больцмана.

1 РЭЛЕЙ (Рейли) Джон Уильям, барон (до получения в 1873 г. титула после смерти отца — Стретт, Strutt) (1842-1919), английский физик, один из основоположников теории колебаний, с 1873 г. член, а в 1905-1908 гг. - президент Лондонского королевского общества. С 1896 г. иностранный член-корреспондент Петербургской АН. Директор Кавендишской лаборатории (1879-1884 гг.). Фундаментальные труды по акустике, молекулярному рассеянию света и др. В 1894 г., совместно с У. Рамзаем, открыл аргон. Вывел закон излучения Рэлея — Джинса. Нобелевская премия (1904 г.).

9

Поскольку в уточнении формулы (1-10) принимал участие Дж. Х. Джинс1, она получила название закона Рэлея – Джинса. Эксперименты показали, что в области длинных волн (или при высоких температурах) спектральная плотность излучения пропорциональна температуре в соответствии с законом Рэлея – Джинса. Однако попытки распространить зависимость (1-10) на всю область частот неизменно приводили к абсурду: интегрирование ρν(T) по всем частотам от нуля до бесконечности приводило к бесконечно большой плотности энергии излучения. Это означало, что равновесие между материальными телами и излучением могло бы наступить только при бесконечно большой плотности излучения. Другими словами, тело должно излучать энергию до тех пор, пока его температура не упала бы до абсолютного нуля. Такой результат находился в принципиальном противоречии с экспериментом, поскольку равновесие между излучением и его материальными центрами возможно при любой температуре. Кроме того, в условиях равновесия плотность излучения очень мала по сравнению с плотностью энергии, заключающейся в материальных телах.

Согласно закону Рэлея – Джинса, значительная часть энергии в спектре теплового излучения приходится на его коротковолновую (ультрафиолетовую) область, что также коренным образом противоречило эксперименту. Такое несовпадение теоретических и экспериментальных данных один из основателей квантовой механики Пауль Эренфест назвал «ультрафиолетовой катастрофой» или парадоксом Рэлея – Джинса.

Таким образом, подводя итог всему сказанному выше, следует подчеркнуть, что в теории теплового излучения классическая физика потерпела решительное поражение. По образному выражению известного физика Х.А. Лоренца2 «уравнения классической физики оказались неспособными объяснить, почему угасшая печь не испускает желтых лучей наряду

1ДЖИНС Джеймс Хопвуд (1877 - 1946), английский физик и астрофизик. Основные труды по кинетической теории газов, теории теплового излучения; фигурам равновесия вращающихся жидких тел, строению и эволюции звезд, звездных систем и туманностей. Автор космогонической гипотезы (гипотеза Джинса).

2ЛОРЕНЦ Хендрик Антон (1853 - 1928), нидерландский физик, иностранный членкорреспондент Петербургской АН (1910), иностранный почетный член АН СССР (1925). Труды по теоретической физике. Создал классическую электронную теорию, с помощью которой объяснил многие электрические и оптические явления, в т. ч. эффект Зеемана. Разработал электродинамику движущихся сред. Вывел преобразования, названные его именем. Близко подошел к созданию теории относительности. Нобелевская премия (1902, совместно с П. Зееманом).

10

излучением больших длин волн».

1.3. Формула М. Планка

К концу XIX столетия существовали две формулы, каждая из которых соответствовала экспериментальным данным в ограниченном участке спектра, но ни одна из них не описывала всю экспериментальную кривую. Среди физиков, пытавшихся найти явный вид функции uλ или uν, который согласовывался бы с экспериментальными данными, был немецкий физиктеоретик Макс Планк1. В октябре 1900 г. ему удалось найти сначала чисто эмпирически формулу, которая хорошо согласовывалась с опытными данными, и в двух предельных случаях (для длинных и для коротких волн) соответственно переходила в формулу Рэлея – Джинса или в уравнение Вина:

	uλ =	aλ−5			,	(1-11)
		eb / λT −1
	где и - коэффициенты, получаемые эмпирическим путем.
	М. Планк понимал,		что полученное им соотношение являлось «лишь счастливо

обнаруженной интерполяционной формулой». Позднее немецкий ученый писал: «…с самого дня ее установления передо мной возникла задача – отыскать ее подлинный физический смысл». В результате нескольких недель напряженнейшей работы на основе чрезвычайно смелой гипотезы М. Планку удалось придти к новой формуле, которая была обнародована на заседании Немецкого физического общества 14 декабря 1900 года. М. Планк предложил невозможную с точки зрения классической физике гипотезу: энергия макроскопических систем может принимать только определенные, дискретные значения, а электромагнитное излучение испускается и поглощается только порциями - квантами (первоначально немецкий ученый назвал их элементами энергии). При выводе своей формулы Планк схематизировал излучающие материальные центры, рассматривая их как линейные гармонические осцилляторы всевозможных частот, несущие электрический заряд, при посредстве которого они могут обмениваться энергией с окружающим электромагнитным полем. Современная формулировка гипотезы, которую

1 ПЛАНК (Planck) Макс (1858-1947), немецкий физик, один из основоположников квантовой теории, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1913 г.) и почетный член АН

СССР (1926 г.). В 1900 г. ввел понятие о кванте действия (постоянная Планка) и, исходя из идеи квантов, вывел закон излучения, который был назван его именем. Труды по термодинамике, теории относительности, философии естествознания. Нобелевская премия

(1918 г.).