Экспериментальные основы квантовой механики

21

После столкновения с квантом рентгеновских лучей энергия электрона может оказаться очень большой, поэтому целесообразно применять формулы теории относительности, учитывающие зависимость массы частицы от ее скорости. Согласно теории относительности кинетическая энергия электрона, движущегося со скоростью v , равна

E′=		m c2	−m0c	2	,	(4-2)
		0
		− v2 / c2
1

где m0 - масса покоя электрона; c - скорость света.

Рис. 4. Параллелограмм Комптона, иллюстрирующий принципиальную схему упругого столкновения фотона и электрона. До столкновения электрон покоился; pγ и pγ' - импульсы налетающего и рассеянного

фотонов, Pe — импульс отдачи электрона P =		mv	(v — его
e	1	- v2 /c2

скорость), θ - угол рассеяния фотона, ϕ - угол вылета электрона отдачи относительно направления падающего фотона.

При этом для импульса в векторной форме будет справедлива формула

′		m0 v
P	=		(4-3)
		1− v2 / c2

Если в выражениях (4-2) – (4-3) обозначить v2/c 2 через β и подставить их в уравнения (3-6) и (3-7), имея в виду, что E = 0, P = 0, можно получить

	2		1
=ω = =ω′+ m0c					−1	(4-4а)
				2
			1− β

				22
=k = =k	′	+	m0 v	(4-4б)
			1− β2

Здесь ω и k - частота и волновой вектор падающего излучения, а ω´ и k´ - эти же величины для рассеянного излучения.

Из уравнения (4-4а) непосредственно следует, что ω > ω´. Следовательно, рассеянное излучение должно обладать большей длиной волны, нежели падающее. Этот вывод подтверждается опытами Комптона, в то время как согласно классической теории частота рассеянного света должна равняться частоте падающего излучения (рэлеевское рассеяние). Из уравнений (4-4а) и (4-4б) можно сделать еще один важный вывод: свободный электрон не может поглощать излучение, он способен только рассеивать свет.

Действительно, полное поглощение означало бы, что ω´ = 0 (и k´ = 0). Тогда из уравнения (4-4б) следует, что k и v направлены одинаково. В этом случае выражение (4-4б) можно переписать в скалярной форме

	=k =			m0v			.	(4-5)
				1−β2
Комбинируя это выражение с уравнением (4-4а), можно получить, что для
поглощения
1				−1=		β	,	(4-6)
	1−β2					1−β2
откуда β		= 0, что приводит к						k = 0. Выполненные рассуждение доказывают

невозможность поглощения света свободным электроном.

В процессе рассмотренного выше явления фотоэффекта (см. п. 4), наблюдалось поглощение кванта света. Это возможно лишь по той причине, что электрон в металле находится в связанном состоянии. Поэтому для того, чтобы вырвать электрон с поверхности металла, необходимо выполнить определенную работу χ , что дает возможность передать импульс металлу.

Для того, чтобы иметь возможность проверить справедливость уравнения (4-4а), Комптону предстояла задача определить, как зависит частота рассеянного света ω´ от угла рассеяния θ. На рис. 4 линия OA показывает направление распространения пучка первичных рентгеновских лучей. Отрезок OC соответствует направлению, вдоль которого наблюдают прохождение излучения, рассеянного при столкновении с электронами. Изображенный на рис. 4 параллелограмм представляет импульс падающего рентгеновского кванта pγ = =k как сумму импульсов рассеянного кванта p′γ = =k′и импульса

электрона Pe′. При этом θ есть угол рассеяния, а ϕ представляет собой угол

23

между импульсом первичного рентгеновского кванта и импульсом получившего толчок электрона, так называемого «электрона отдачи». Для нахождения связи между значением угла θ и величиной энергии рассеянного

кванта =ω′необходимо спроектировать уравнение

(4-4а) на

две взаимно

перпендикулярные оси OA и OB. Учитывая, что

k

= ω/ c ,

а

k′

= ω′/ c ,

получаем

=ω

=

=ω′

cosθ +

m0v

cosϕ ,

(4-7а)

c

c

1−β2

0 =	=ω′sinθ−	m0v	sinϕ.
	c	1−β2

Из треугольника OAB, представленного на рис. формул элементарной тригонометрии можно вычислить равной по величине pγ = mv

2	v	2	=	=2ω2	+	=2	(ω′)2	−2=	2	ωω′	cosθ
m				c2			c2			c2

или

(4-7б)

4, с использованием квадрат стороны AB,

(4-8а)

m2v2c2 = =2ω2 + =2 (ω′)2 −2=2ωω′cosθ																							(4-8б)
Уравнение (4-4а) можно переписать в виде
mc2 = =(ω−ω′)+ m0c2																							(4-9)
и возвести в квадрат
m2c4 = =2ω2 + =2 (ω′)2 −2=2ωω′+ m02c4 + 2=m0c2 (ω−ω′).																							(4-10)
Вычитая выражение (4-8б) из (4-10), можно получить
	v	2		2	4			2										2
2 4
m c 1−			= m0 c −			2=			ωω′	1−			cosθ)+				2=m0c (		ω	−	ω′	).	(4-11)
		2
									(
	c
				2			v	2			2			2			2
												(			)
Учитывая,	что			m													0
								2
					1−				≡m 1−β							= m , простые преобразования в
							c

уравнении (4-11) позволяют получить

c(ω−ω′)= = ωω′(1−cosθ) m0c

или

ω−ω′= m=0c2 ωω′(1−cosθ)

Из уравнения (4-12б) можно вывести частоты рассеянного фотона

(4-12а)

(4-12б)

формулу для нахождения измененной

24

ω′ =

ω

=

ω

(4-13)

=ω

=ω

sin2 θ

1+

1−cosθ

)

1+2

m c2

m c2

(

2

0

0

Поскольку ω= 2πc / λ,

а ω′= 2πc / λ′, можно найти величину сдвига длины

световой волны ∆λ

∆λ =

4π=

sin2 θ

(4-14)

m c

2

0

Эта формула была впервые получена Комптоном. Меняя угол, под которым наблюдалось рассеянное излучение, а также измеряя величину сдвига световой волны ∆λ, Комптон и Ву сравнили результаты своих экспериментов с предсказанными по формуле (4-14) значениями и получили полное совпадение. Из формулы Комптона следует, что сдвиг длины волны ∆λ не зависит от самой длины волны падающего света ∆λ. Он определяется лишь углом рассеяния фотона θ и максимален при θ = 180°, т. е. при рассеянии назад:

∆λmax = 2λо

Таким образом, опыты американского ученого являются прямым подтверждением существования импульса у кванта света, величина которого определяется формулой (3-5).

Необходимо отметить, что снимки, полученные в камере Вильсона, позволяют установить направление вылета рассеянного при комптон-эффекте кванта, а также путь и энергию Ee электрона отдачи («комптоновского» электрона) в зависимости от угла его вылета ϕ. На рис. 5 представлена зависимость энергии рассеянного фотона от угла рассеяния θ, а также связанная с нею зависимость Ee от ϕ. Из рис. 5 видно, что электроны отдачи всегда имеют некоторую составляющую скорости по направлению движения падающего фотона (т. е. угол ϕ не превышает 90°).

	Встречающаяся в формуле (4-14) величина Λ=	=	= 3,9×10−11 см носит
		m c
		0

название комптоновской длины волны электрона (m0 — масса электрона). Эта характеристика имеет фундаментальное значение в релятивистской теории электрона, являясь одним из масштабов, свойственных микромиру. Зная ∆λ, по формуле (4-14) можно определить величину постоянной Дирака ħ. Таким образом, эффект Комптона дает еще один способ нахождения постоянной Планка.

Эксперименты по изучению комптоновского рассеяния подтвердили все теоретические предсказания. Опытным путем была доказана правильность

25

Рис. 5. Зависимость энергии рассеянного фотона Eγ′ от угла рассеяния θ (для

удобства изображена только верхняя половина симметричной кривой) и энергии электрона отдачи Ee от угла вылета ϕ (нижняя половина кривой). Величины, относящиеся к одному акту рассеяния, помечены одинаковыми цифрами. Векторы, проведённые из точки О, в которой произошло столкновение фотона с энергией Eγ с покоящимся электроном, до соответствующих точек этих кривых, изображают состояние частиц после рассеяния. Величины векторов дают энергию частиц, а углы, которые образуют векторы с направлением падающего фотона, определяют угол рассеяния фотона θ и угол вылета электрона отдачи ϕ. График вычерчен для случая рассеяния «жёстких» рентгеновских лучей.

корпускулярных представлений о механизме эффекта Комптона и тем самым правильность исходных положений квантовой теории.

В реальных опытах по рассеянию фотонов веществом электроны не свободны, а связаны в атомах. Если фотоны обладают большой энергией по сравнению с энергией связи электронов в атоме (фотоны рентгеновского и γ - излучения), то электроны испытывают настолько сильную отдачу, что оказываются выбитыми из атома. В этом случае рассеивание фотонов происходит как на свободных электронах. Если же энергия фотона недостаточна для того, чтобы вырвать электрон из атома, то фотон обменивается энергией и импульсом с атомом в целом. Так как масса атома очень велика (по сравнению с эквивалентной массой фотона, равной, согласно теории относительности, Eγ/с2), то отдача практически отсутствует; поэтому рассеяние фотона произойдет без изменения его энергии, то есть без изменения длины волны (или как говорят, когерентно). В тяжелых атомах с ядром слабо

26

связаны лишь периферические электроны (в отличие от электронов, заполняющих внутренние оболочки атома) и поэтому в спектре рассеянного излучения присутствует как смещенная, комптоновская линия от рассеяния на периферических электронах, так и не смещенная, когерентная линия от рассеяния на атоме в целом. С увеличением атомного номера элемента (то есть заряда ядра) энергия связи электронов увеличивается, и относительная интенсивность комптоновской линии падает, а когерентной линии — растет.

Движение электронов в атомах приводит к уширению комптоновской линии рассеянного излучения. Это объясняется тем, что для движущихся электронов длина волны падающего света кажется несколько измененной, причем величина изменения зависит от величины и направления скорости движения электрона (так называемый эффект Доплера). Тщательные измерения распределения интенсивности (рис. 6) внутри комптоновской линии, отражающего распределение электронов рассеивающего вещества по скоростям, подтвердили правильность квантовой теории, согласно которой электроны подчиняются статистике Ферми — Дирака.

Рис. 6. График зависимости полной интенсивности комптоновского рассеяния σ от энергии фотона Eγ (в единицах полной интенсивности классического рассеяния); стрелкой указана энергия, при которой начинается рождение электрон-позитронных пар.

27

5. Атомный спектр испускания

Еще одним источником создания квантовой теории послужили результаты изучения оптических спектров атомов. Еще в начале XIX столетия физики обнаружили, что при нагревании любое вещество излучает свет строго определенных длин волн. Систематическое изучение оптических спектров началось после того, как в 1859 г. немецкие ученые Г.Р. Кирхгоф и Р. Бунзен разработали основы метода спектрального анализа веществ. Был установлен фундаментальный факт: линии в оптическом спектре индивидуальны для каждого элемента. Благодаря спектральному анализу Периодическая система в 1860 – 1925 гг. пополнилась 25 новыми элементами.

Экспериментальные исследования показали, что атом может не только излучать, но и поглощать видимый свет. При этом, как показано на рис. 7,

Рис. 7. Спектры постоянных звезд и туманностей в сравнении со спектрами Солнца и некоторых химических элементов:

1 - Солнце; 2 – желто-красная звезда; 3 – голубая звезда; 4 – Сириус; 5 - α - Геркулеса; 6 - Τ – Венца; 7 – туманность Дракона; 8 – водород; 9 – азот; 10 – светильный газ.

атомные спектры поглощения также имеют линейчатый характер. Впервые в 1814 г. такие узкие темные полосы в солнечном спектре обнаружил немецкий физик Й. Фраунгофер. Ему удалось измерить длины волн, соответствующие темным полосам поглощения, которые позднее стали называть

фраунгоферовыми линиями.

28

Спустя 44 года Кирхгоф доказал, что фраунгоферовы линии возникают вследствие того, что определенные частоты в спектре излучения Солнца поглощаются веществом верхних слоев светила – хромосферой.

Во второй половине XIX века спектры различных элементов исследовали многие физики. Со временем выяснилось, что спектральные линии часто группируются в серии, одни из которых находятся в видимой области спектра, другие – в ультрафиолетовой, третьи – в инфракрасной. Впервые на этот факт обратил внимание швейцарский учитель физики И. Бальмер.

Наиболее простым примером является спектр испускания атома водорода. Атомный спектр водорода представляет собой совокупность линий, среди которых можно различить три группы линий, или серии (рис. 8). Одна из серий находится в видимой области спектра и называется серией Бальмера. В 1885 г. Бальмер установил, что длины волн этих линий подчиняются простому уравнению:

1/ λ = R	1			−	1			(5-1)
			2			2
∞		2			n

где λ - длина волны,

R∞ - так называемая постоянная Ридберга, n - целое число.

Серия, находящаяся в инфракрасной области спектра, называется серией

Пашена. Длины волн линий этой серии подчиняются уравнению:
1/ λ = R	1	−	1			(5-2)
	2			2
∞			n
	3

Рис. 8. Атомный спектр испускания водорода.

Серия линий в ультрафиолетовой области спектра называется серией Лаймана. Ее линии подчиняются уравнению:

								29
1/ λ = R	1			−	1			(5-3)
			2			2
∞					n
		1

В 1890 г. шведский ученый Ю. Ридберг установил взаимосвязь между различными сериями. Его идеи развил швейцарский физик В. Ритц. Он вывел

комбинационный принцип Ридберга – Ритца, согласно которому волновые числа спектральных линий можно представить в виде характерных для атомов данного элемента величин, называемых термами. В оптической спектроскопии часто применяют термин «спектральный терм», подразумевая под этим значение Т = – E/2πħc, отсчитываемое для атомов от границы ионизации и

выражаемое в см−1.
Вводя обозначения:
T (m) =	R	, T (n) =	R	(5-4)
			n2
	m2

уравнения (5-1) – (5-3), описывающие спектральные линии атомов водорода, можно обобщить в виде разности двух функций целых чисел:

ν = T (m) −T (n)

(5-5)

Таким образом, для атома водорода вся система термов получается из одной общей формулы:

	T =	R	(n = 1, 2 ...)	(5-6)
		n2

Позднее датский физик Н. Бор связал значения чисел п в этих уравнениях с «квантовыми числами» (порядковыми номерами) энергетических уровней электрона в атоме водорода (рис. 9). Когда этот электрон находится в своем основном состоянии, его квантовое число п = 1. Каждая линия серии Лаймана соответствует возвращению возбужденного электрона с одного из высших энергетических уровней в основное состояние. Серия Бальмера соответствует возвращению электронов с различных высокорасположенных энергетических уровней в первое возбужденное состояние (на уровень с квантовым числом п = 2). Серия Пашена соответствует возвращению электронов на уровень с квантовым числом п = 3 (во второе возбужденное состояние).

Обратим внимание на то, что линии каждой серии по мере уменьшения длины волны постепенно приближаются к некоторому пределу (см. рис. 8 и рис. 9). Длина волны такого предела сходимости для каждой серии

30

Рис. 9. Соответствие между электронными переходами и спектральными линиями атомарного водорода.

определяется соответствующей пунктирной линией на рисунках. По мере увеличения квантового числа энергетические уровни электрона в атоме водорода все больше сгущаются, приближаясь к некоторому пределу. Пределы сходимости спектральных серий соответствуют переходам электронов, находящихся на этих самых высоких энергетических уровнях.

С другими элементами все обстояло не так просто. Несмотря на то, что комбинационный принцип имел универсальное значение, разделить спектры испускания на серии удавалось только для щелочных и щелочно-земельных металлов. Спектры других элементов, например, железа, не поддавались никакому простому описанию.

К началу XX столетия был накоплен огромный спектроскопический материал. Однако описать его в рамках единой теории еще не представлялось возможным. Первоочередной проблемой оставался вопрос о том, как должен быть устроен атом, чтобы его строение объясняло реально наблюдаемый линейчатый характер спектров испускания.

6. Опыт Э. Резерфорда. Планетарная модель строения атома

После того, как в 1897 г. Джозеф Томсон открыл электрон, выдвигались различные гипотезы, призванные объяснить строение атома. Наибольшую популярность приобрела модель Томсона, которую окрестили моделью «сливового пудинга». Эта гипотеза позволяла правильно оценить размеры атома, но не могла объяснить линейчатый характер оптических спектров.