- •§ 1. Понятие функции двух переменных.
- •§ 2. Частные производные и дифференциалы функции двухпеременных.
- •§ 4. Дифференцирование сложных функций.
- •§ 5. Дифференцирование неявной функции.
- •§ 6. Производная по направлению, градиент.
- •§ 7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •§ 8. Локальный экстремум функции нескольких переменных.
- •§ 9. Условный экстремум функции.
- •§ 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
§ 9. Условный экстремум функции.
Функция имеет условный максимум (минимум) в точке,если существует такая окрестность точкидля всех точек которой, удовлетворяющих уравнениям связивыполняется неравенство.
Исследование функции на условный экстремум сводят к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа
Константы называют множителями Лагранжа.
Необходимые условия условного экстремума выражаются системой
(25)
Решение системы (25) даёт координаты точки(или системы точек), в которой возможен условный экстремум.
Достаточные условия условного экстремума вытекают из исследования на знак при условии, что дифференциалыудовлетворяют уравнениям
(26)
Точнее говоря, функция имеет условный максимум (минимум) в точке, если для всевозможных наборов, удовлетворяющих (26), выполняется неравенство
()
Пример 13. Найти условный экстремум функции при условии
Решение: Составим функцию Лагранжа
Имеем
Система имеет два решения
Далее
При поэтому функцияв точкеимеет условный минимум, а при,следовательно, функцияимеет в точкеусловный максимум.
Пример 14. Найти условные экстремумы функции при наличии ограничения
Решение: Построим функцию Лагранжа
Стационарные точки определим из системы
(27)
Умножим первое уравнение на , а второе – на. После вычитания получим
(28)
Если , то из первых двух уравнений системы. Но такие значения переменныхине удовлетворяют уравнению связи. Значити так как то из (27) имеем . Подставляя это в уравнение связи, получаем:откуда. Таким образом, из (27) .
Итак, единственная стационарная точка функции Лагранжа.
Далее,
Тогда для при
Получаем
Из уравнения связи при находим соотношение для дифференциалови,.
Подставляя в(28), получаем равенство
Поэтому, при в точкефункция имеет условный максимум, а при– условный минимум. Экстремальное значение равно .
Примеры для самостоятельной работы:
Найти условный экстремум функции.
Ответы: 9.1. 9.2. 9.39.4. 9.5седловая точка, . 9.6
9.7
§ 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции необходимо найти стационарные точки внутри области, вычислить значения функции в этих точках и сравнить с верхней и нижней гранью на границе области.
Пример 15.
Решение: Функция непрерывна в замкнутом круге. Поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, она на этом множестве достигает своих, наибольшего и наименьшего, значений функции.
Система
имеет решение . Так както в кругерешений нет. Поэтому экстремум достигается на границе круга
Составим функцию Лагранжа
Для определения точек локального экстремума функции Лагранжа решим систему уравнений
Итак, находим две точки возможного экстремума
Вычислим значения функции в этих точках
Следовательно,
Примеры для самостоятельной работы:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области D.